Đề thi HSG cấp Huyện Toán 9 - Năm học 2011-2012 - PGD Lục Nam (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN : TOÁN 9 Năm học 2011-2012 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1.(4 điểm): 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4x2 – 4xy + y2 – 9 b) a4 + a2 + 1 2 3 5 13 48 2. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức: là một số 2 6 nguyên. 3 x 2 15 x 11 2 x 3 Câu 2. (4 điểm): Cho biểu thức: P 1 x x 2 x 3 x 3 1. Rút gọn P. 2. Tìm giá trị của x để P đạt giá trị lớn nhất Câu 3. (6 điểm): 1. Giải phương trình: x 4 2 x 3 5 2. Tính giá trị của biểu thức A x2013 y2013 biết x 2013 x2 y 2013 y2 2013 3. Cho hai số x 1; y 1. 1 2 1 Chứng minh rằng: 1 x2 1 xy 1 y2 Câu 4. (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AK. Qua A kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AK. Gọi D và E lần lượt là giao điểm của đường phân giác của các góc AKB và AKC với đường thẳng (d). a) Chứng minh rằng tứ giác EDBC là hình thang. 1 b) Chứng minh rằng: EC.BD BC 2 . 4 Câu 5. (2 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Tính độ dài đoạn thẳng MN biết độ dài BN 2sin và CM 2cos ( 00 900 ) . Hết PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN : TOÁN 9 Năm học 2011-2012 Hướng dẫn chấm gồm : 02 trang CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 4 1 a) 4x2 – 4xy + y2 – 9 = (2x- y)2 – 9 0.5 = (2x – y + 3)(2x – y – 3) 0.5 4 2 4 2 2 2 b) a + a + 1 = a + a + a + 1- a 0.5 = (a2 + 1)2 - a2 = (a2 + 1 – a)( a2 + 1 + a) 0.5 2 2 2 3 5 13 48 2 3 5 (2 3 1) 0.5 - Ta có: = 2 6 2 6 2 3 5 2 3 1 2 3 4 2 3 2 3 ( 3 1)2 = = = 0.5 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 = = 2 3 1 2 3 1 2 4 2 3 2( 3 1) = = 1 0.75 2 3 1 2 3 1 0.25 - Kết luận 2 4 1 3 x 2 15 x 11 2 x 3 Cho biểu thức P 1 x x 2 x 3 x 3 ĐKXĐ : x 0; x 1 0.25 (3 x 2)( x 3) 15 x 11 (2 x 3)( x 1) Ta có: P ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) 3x 7 x 6 15 x 11 2x x 3 0.75 ( x 1)( x 3) 7 x 5x 2 x 1 2 5 x 0.5 x 1 x 3 x 1 x 3 2 5 x 0.5 x 3 2 Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất 2 5 x 17 -Ta có P = = 5 0.5 x 3 x 3 17 - Chỉ ra được Pmax khi max 0.5 x 3 2 - Lập luận chỉ ra được MaxP = đạt được khi x = 0 3 0.5 - KL 0.5 3 6 1 Giải phương trình: x 4 2 x 3 5; ĐK: x 3 : 0.5 x 4 2 x 3 5 x 3 2 x 3 1 5 0.5 2 x 3 1 5 0.5 - HS lập luận, đối chiếu ĐK tìm được x 13 0.5 2 Ta có x 2013 x2 y 2013 y2 2013 x 2013 x2 x 2013 x2 y 2013 y2 2013 x 2013 x2 0.5 2013 y 2013 y2 2013 x 2013 x2 y 2013 y2 x 2013 x2 (1) 0.5 Tương tự x 2013 x2 y 2013 y2 2013 2 2 x 2013 x y 2013 y (2) 0.5 - Từ (1) và (2) x = - y 2013 2013 - A x y 0 0.5 3 1 2 1 1 1 2 Ta có: 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy xy x2 xy y2 0 0.5 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy x(y x)(1 y2 ) y(x y)(1 x2 ) 0 1 x2 1 y2 1 xy (y x)(x xy2 ) (x y)(y x2 y) 0 1 x2 1 y2 1 xy 0.5 (y x)(x xy2 y x2 y) 0 1 x2 1 y2 1 xy (y x)2 (xy 1) 0x, y 1 1 x2 1 y2 1 xy 0.5 1 2 1 Vậy (đpcm) 1 x2 1 xy 1 y2 0.5 4 4 d E A D B K C a) - Chứng minh được AKD BKD từ đó suy ra góc DBK 900 0.5 - Tương tự AKE CKE từ đó suy ra góc ECK 900 0.5 DB // EC tứ giác EDBC là hình thang. 1 b) - Chứng minh được DB = DA 0.5 EC = AE - Măt khác theo hệ thức trong tam giác vuông DKE ta có AK2 = AD.AE 0.5 1 - Trong tam giác ABC ta lại có AK BC 2 0.5 1 2 - Suy ra AD.AE = BC 0.5 4 5 2 A M N C B Áp dụng định lý Pitago trong tam giác: MAC, NAB ta có: BN2 AN2 AB2 2 2 2 0.5 CM AM AC BN2 CM2 AN2 (2AM)2 AM2 +(2AN)2 0.5 4(sin2 cos2 ) 5(AN2 AM2 ) 5.MN2 HS lập luận MN là đường trung bình và chỉ ra: sin2 cos2 = 1 để tính được 0.5 2 5 MN 5 0.5 - KL