Đề thi học sinh giỏi thành phố hà nội năm 2008

Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội năm 2008 Bài 1. (4đ) a) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn: p + 4; p + 8 cũng là số nguyên tố b) Tìm số hữu tỉ a thỏa mãn a2 + 5a là số tự nhiên và là số chính phương Bài 2. (4đ) Cho x³ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của : Bài 3. (4đ) Cho phương trình a) Giải phương trình với m = 1 b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm? Bài 4. (4đ) Cho đa giác đều 91 đỉnh. Mỗi đỉnh của đa giác được tô bởi 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh luôn tìm được 3 đỉnh trong 91 đỉnh của đa giác thỏa mãn: 3 đỉnh này cùng màu, là ba đỉnh của một tam giác cân có ít nhất 1 góc nhỏ hơn 60o. Bài 5. (4đ) Cho (O;R) dây BC cố định (BC <2R) A di chuyển trên cung lớn BC (A khác B và C). M là trung điểm đoạn AC. H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Tìm vị trí của A để CH có độ dài lớn nhất.