Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Sở GD&ĐT Quảng Trị (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS Năm học 2008 – 2009 Môn : Toán Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức . Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . Rút gọn biểu thức A . Bài 2 (4 điểm) Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : . Bài 3 (3 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : . Bài 4 (2 điểm) Cho phương trình : . Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . Giải phương trình . Bài 5 (6 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB Chứng minh đồng dạng với . Chứng minh . HẾT Giải Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức . Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . Rút gọn biểu thức A . Điều kiện : Bài 2 (4 điểm) Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : . Phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó ta có : Vậy : Kết hợp (*) và (**) ta có : Vậy để phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa : thì : và . Bài 3 (3 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : . Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0 (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0 (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*) Nên (*) x + y + 2 = 0 x + y = - 2 vì . Vậy MaxM = -2 x = y = -1 . Bài 4 (2 điểm) Cho phương trình : . Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . Giải phương trình . điều kiện : Đặt = a ; = b ( a ; b 0) . Vì ab + 4 > 0 nên : Bài 5 (6 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB Chứng minh đồng dạng với . Chứng minh . ABCD : AB // CD ; CD > AB ; . ; AG = CE ; BG = DF . Chứng minh : a) ~ . b) Chứng minh : a) Ta có AB // CD , mà AG = CE ; BG = DF Xét và có : ~ ( c-g-c) b) Ta có ~ GFCE nội tiếp cùng chắn mà