Đề thi học sinh giỏi lớp 12 – năm học 2009 - 2010 thời gian làm bài: 180 phút( không kể thời gian giao đề)

UBND TỈNH SỞ GD – ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – NĂM HỌC 2009 - 2010 Thời gian làm bài:180’( không kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 4 điểm) Cho hàm số . Chứng minh rằng nếu thì Câu 2: ( 5 điểm) Giải hệ phương trình: Câu 3: ( 3 điểm) Giải phương trình: Câu 4: ( 5 điểm) Cho hai đường thẳng d1: 3x + 4y + 5 = 0 và d2: 4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2 ? Câu 5: ( 3 điểm) Chứng minh rằng nếu 0 < x ≤ y ≤ z thì ta có: --------------------------------------Hết------------------------------------ UBND TỈNH SỞ GD – ĐT ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – NĂM HỌC 2009 - 2010 Thời gian làm bài:180’( không kể thời gian giao đề) Câu 1: Giả sử => f(0) > 0 => m > 0. Đảo lại, giả sử m > 0, thì rõ ràng Vì thế (1) Ta có: f ’(x) = 4x3 + 4mx; f ’’(x) =12x2 + 4m; f ’’’(x) =24x ; f(4) = 24. Vậy (2) Ta có: (3) và m>0 suy ra: (4) Lại thấy (5) Từ (2), (3), (4), (5) suy ra: (đpcm). Câu 2: Điầu kiện x>0, y>0, z>0. Khi đó dùng công thức đổi cơ số ta được: Từ đó suy ra x.y.z =2.3.4 Bởi vậy: là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Câu 3: Phương trình đã cho được biến đổi như sau: (4sin22x – 4sin2x.sin26x + sin46x) – sin46x + sin26x = 0 ó (2sin2x – sin26x)2 + sin26x.cos26x = 0 Từ đó suy ra: Pt ó Xét hai trường hợp: a) sin6x = 0. Khi đó suy ra: sin2x = 0 ó Giá trị này thoả mãn sin6x = 0. b) cos6x = 0. Khi đó sin26x = 1 và từ (2) suy ra: Cả hai họ giá trị này đều thoả mãn cos6x = 0. Kết luận: Phương trình đã cho có ba họ nghiệm: ; ; . Câu 4: Tâm I của đường tròn cần tìm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 nên có toạ độ I(6a + 10; a). Vì đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2 nên khoảng cách từ I đến hai đường thẳng đó bằng nhau: Với a = 0 ta có I (0;0) và R = 7 nên phương trình đường tròn là: (x – 10)2 + y2 = 49. Với: ta có và nên phương trình đường tròn cần tìm là: . Câu 5: Ta có: Bất đẳng thức cuối đúng vì 0 < x ≤ y ≤ z, do đó ta có điều phải chứng minh.