Đề thi học sinh giỏi khối 10 - Trường THPT Thuận An

Sở GD – ĐT Thừa Thiên Huế Trường THPT Thuận An ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 Thời gian: 120 phút Câu I. (2 điểm) Cho phương trình , m là tham số 1. Tìm m để phương trình có một nghiệm 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia Câu II. (2 điểm) Cho hệ phương trình , a là tham số 1. Giải hệ phương trình khi a = 5 2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Câu III. (1 điểm) Giải phương trình: Câu IV. (2 điểm) 1. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm M, N, P thỏa mãn , , . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho A( - 2; -1); B(2; - 4). Tìm trên đường thẳng x = 1 điểm M sao cho góc Câu V. (1 điểm) Gọi a, b, c là ba cạnh của tam giác; là độ dài ba đường cao tương ứng ba cạnh đó; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó Chứng minh: Câu VI. (2 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh: HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I.1  (2 điểm) Cho phương trình , m là tham số 1. Tìm m để phương trình có một nghiệm m = 0: : Pt có 1 nghiệm Vậy: m = 0 hoặc 0,25đ 0,5đ 0,25đ I.2  2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia Pt có 2 nghiệm Theo Viet và gt ta có: Giải được: (thỏa) Vậy 0,25đ 0, 25đ 0, 5đ II.1 (2 điểm) Cho hệ phương trình , a là tham số 1. Giải hệ phương trình khi a = 5 a = 5: ta có đặt S = x + y ; P = xy , ta có: hoặc + Với giải được hoặc + Với : vô nghiệm Vậy hpt có 2 nghiệm (1;2);(2;1) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ II.2 2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Ta có: (*) : (*) vô nghiệm : (*) có nghiệm S = -1 : vô nghiệm :(*) có 2 nghiệm: hoặc ĐK hệ pt có nghiệm (a) giải được : (b) : vô nghiệm Vậy 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ III (1 điểm) Giải phương trình: (*) ĐK: Với ĐK trên (*) (thỏa) Vậy: 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ IV Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm M, N, P thỏa mãn , , . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. Ta có hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm = Mà : = ++= Vậy ta có ĐPCM 0, 5đ 0, 5đ IV.2 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho A( - 2; -1); B(2; - 4). Tìm trên đường thẳng x = 1 điểm M sao cho góc Gọi M(1; y) thuộc đt x = 1 GT: Vậy : 0,25đ 0, 25đ 0,25đ 0,25đ V (1 điểm) Gọi a, b, c là ba cạnh của tam giác; là độ dài ba đường cao tương ứng ba cạnh đó; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó Chứng minh: Ta có : Tương tự: ; Do đó: : ĐPCM 0, 5đ 0,5đ VI (2 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: Mà = Suy ra: : ĐPCM 0, 5đ 0, 5đ 0, 5đ 0, 5đ