Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Thị trấn Tân Uyên (Có đáp án)

Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012 Môn: Toán - lớp 9 Thời gian: 150 phút(Không tính thời gian giao đề) (Đề có 01 trang) Câu 1. (4,0 điểm). a, Không dùng máy tính, hy tính: A = 3 35 2 7 5 2 7+ − − b, Cho dy số: a1; a2; a3; , thảo mn: a2 = 1; a50 = 2012, và an + an+1 = an+2 với mọi số tự nhiên n ≥ 1. Tính tổng S = a1 + a2 + . . . + a48 Câu 2. (2,0 điểm). Cho đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình: y = mx + m - 1 (m là tham số). Chứng minh rằng đ−ờng thẳng (d) luông đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m Câu 3. (6,0 điểm). a, Giải ph−ơng trình sau: x 4 6 x− + − = x2 - 10x + 27 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 2x 2x 1 x 2x 1−+ + + + Câu 4. (6,0 điểm). Cho nửa đ−ờng tròn tâm O đ−ờng kính AB, dây CD (CD ≠ AB). Gọi H, K theo thứ tự là chân các đ−ờng vuông góc kẻ từ A, B đến đ−ờng thẳng CD. a, Chứng minh rằng CH = DK b, Chứng minh rằng SAHKB = SACB + SADB c, Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm Câu 5. (2,0 điểm) Không dùng bảng số, máy tính hy tính sin150 Đề chính thức Hết Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1. a, Không dùng máy tính, hy tính: A = 3 35 2 7 5 2 7+ − − b, Cho dy số: a1; a2; a3; , thảo mn: a2 = 1; a50 = 2012, và an + an+1 = an+2 với mọi số tự nhiên n ≥ 1. Tính tổng S = a1 + a2 + . . . + a48 Giải a, A = 3 35 2 7 5 2 7+ − − ⇔ A3 = 5 2 7+ - (5 2 7− ) - 3 3 (5 2 7)(5 2 7)+ − . ( )3 35 2 7 5 2 7+ − − ⇔ A3 = 14 - 3A ⇔ A3 + 3A - 14 = 0 ⇔ (A - 2)(A2 + 2A + 7) = 0 ⇔ 2 2 A 2 0 A 2 A 2 A 2A 7 0 (A 1) 6 0 (VN) − = =  ⇔ ⇔ =  + + = + + =  Vậy: A = 2 b, Vì: an+2 = an+1 + an ⇒ a50 = a49 + a48 = a48 + a47 + (a47 + a46) = a48 + a47 + a46 + (a46 + a45) = a48 + a47 + a46 + a45 + (a25 + a44) ................................................... = a48 + a47 + a46 + a45 + a44 + ... + a3 + (a3 + a2) = a48 + a47 + a46 + a45 + a44 + ... + a3 + a2 + (a2 + a1) ⇒ a50 - a2 = a48 + a47 + a46 + a45 + a44 + ... + a3 + a2 + a1 = S ⇒ S = 2012 - 1 = 2011 Câu 2. Cho đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình: y = mx + m - 1 (m là tham số). Chứng minh rằng đ−ờng thẳng (d) luông đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m Giải Gọi A(x0; y0) là điểm cố định mà đ−ờng thẳng (d) luôn đi qua với mọi m. khi đó ta có: y0 = mx0 + m - 1 ⇔ m(x0 + 1) = y0 + 1. Vì ph−ơng trình này luôn đúng mới mọi m nên: 0 0 0 0 x 1 0 x 1 y 1 0 y 1 + = = −  ⇔  + = = −  . Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định A(-1; -1) với mọi m ⇒ (đpcm) Câu 3. a, Giải ph−ơng trình sau: x 4 6 x− + − = x2 - 10x + 27 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 2x 2x 1 x 2x 1+ + + − + Giải a, ĐKXĐ: 4 ≤ x ≤ 6 +) VT = x 4 6 x− + − (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có) ⇒ VT2 ≤ (12 + 12) ( ) ( )2 2x 4 6 x − + −   = 2.2 ⇒ VT ≤ 2 +) VP = x2 - 10x + 27 = (x - 5)2 + 2 ≥ 2 ⇒ VP ≥ 2 ⇒ VT = VP = 2 ⇔ x 4 6 xx 4 6 x x 5 x 5x 5 0  − = −− = − ⇔ ⇔ =  = − =  (T/m) Vậy: S = {5} b, M = 2 2x 2x 1 x 2x 1+ + + − + = 2 2(x 1) (x 1) x 1 x 1 x 1 1 x+ + − = + + − = + + − áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối ta có: M = x 1 1 x+ + − ≥ x 1 1 x+ + − = 2 . Dấu "=" xẩy ra khi (x + 1)(1 - x) ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1 Vậy Min M = 2 khi -1 ≤ x ≤1 Câu 4. (HS tự ghi GT/HL) Giải a, Chứng minh rằng CH = DK. Gọi M là trung điểm của CD ⇒ OM ⊥ CD (T/c đ−ờng kính và dây cung) Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên ⇒ MO // AH // BK (cùng vuông góc với HK) mà OA = OB (gt) ⇒ M là trung điểm của HK (định lý 1 về đ−ờng trung bình của hình thang) ⇒ MH = MK mà MC = MD ⇒ CH = DK b, Chứng minh rằng SAHKB = SACB + SADB Qua M kẻ đ−ờng thẳng song song với AB cắt AH tại I và cắt BK tại Q +) ∆HMI và ∆KMQ có:

0H K 90= = (gt) MH = MK (c/m trên)  HMI KMQ= (đối đỉnh) ⇒ ∆HMI = ∆KMQ(g.c.g) ⇒ SAHKB = SAIQB (Với AIQB là hình bình hành) ⇒ SAHKB = IQ AB .MN AB.MN 2 +  =    (với N là hình chiếu của M trên AB) (1) +) Gọi E và F lần l−ợt là hình chiếu của C và D trên cạnh AB ⇒ S ACB + SADB = 1 1 1CE.AB DF.AB (CE DF)AB MN.AB 2 2 2 + = + = (2) Từ (1) và (2) ⇒ SAHKB = S ACB + SADB (đpcm) c, Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm Vì SAHKB = MN.AB ⇒ SAHKB lớn nhất khi MN là đ−ờng kính của đ−ờng tròn hay CD // AB ⇒ MN ⊥ CD và N trùng O ⇒ MO = 2 2 2 2OC CM 15 9 12(cm)− = − = ⇒ SAHKB = MO.AB = 12.30 = 360 (cm2) Vậy: Max SAHKB = 360(cm 2) Khi CD //AB và cạnh AB một khoảng 12cm Câu 5. Không dùng bảng số, máy tính h'y tính sin150 Giải Vẽ ∆ABC vuông tại A và BC = 2a, AB = a (a > 0) ⇒ AC = 3 a ⇒

0 0C 30 , B 60= = . Kẻ phân giác CD áp dụng tính chất đ−ờng phân giác: ⇒ DA CA DA 3 DA DB DA DB DB CB DB 2 23 3 2 + = ⇒ = ⇒ = = + ⇒ DA a 3 3 2 = + ⇒ DA = a 3 3 2+ = (2 3 -3)a ⇒ DC = 6 ( 3 -1)a ⇒ sin 150 = AD 2 3 3 (2 3)( 3 1) 3 1 DC 6( 3 1) 2 2 2 2 − − + − = = = − ⇒ sin150 = 6 2 4 − QI FN M E O K H D C BA E F MH O KDC BA 3a 2a a D C BA 600 150 150