Đề thi đề xuất học sinh giỏi cấp huyện năm học: 2011 - 2012. môn: toán - lớp 9 (thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2011 - 2012. Môn: Toán - Lớp 9. (Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề). ĐỀ BÀI. Câu 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn A. b. Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên Bµi 2: (5 ®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 1) 2) Câu 3: (4điểm) Chứng minh đẳng thức: với a > 0, b > 0 và Câu 4: (4điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E. Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông. Chứng minh rằng: . Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất. Bài 5 ( 3 điểm) Cho đường tròn ( O, 15 cm) dây BC = 20 cm các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A. Gọi H là giao điểm OA và BC a. Chứng minh rằng: HB = HC b. Tính độ dài OH c. Tính độ dài OA HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN . NĂM HỌC 2011 – 2012. Môn Toán - Lớp 9 (Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề). Bài Nội dung Điểm Bµi 1: 4®iÓm 1.Cho biểu thức a) Rút gọn A. TXĐ: b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên. Giả sử . Để là ước của 3 0,5 1 0,5 1 0,5 0,5 Bµi 2: 5 ® Bµi 3: 4 ® 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: §K x ³ 0 x = 1 thỏa mãn ĐK. Vậy PT có nghiệm x = 1 2) Vậy x = 8. 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Chứng minh đẳng thức: với a > 0, b > 0 và VT = = 2 2 Bài 4: 4 điểm + Hình vẽ đúng (câu a): + Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D, nên OD là tia phân giác góc AOM. Tương tự: OE là tia phân giác góc MOB. + Mà và là hai góc kề bù, nên = 900 . Vậy tam giác DOE vuông tại O. Ý b) + Tam giác DOE vuông tại O và nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: (1) + Mà DM = DA và EM = EB (định lí về 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2). + Từ (1) và (2) ta có: Ý c) + Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích của nó là: + S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất. Mà DE là đường xiên hay đường vuông góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ nhất khi DE = DH (DH vuông góc với By tại H). Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) (hoặc OM AB). Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó là: Ghi chú: Nếu học sinh không tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích vẫn cho điểm tối đa. 0,25 1 0,25 0,25 0,5 0,25 1 0,5 Bµi 5: 3 ®iÓm Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận a. Tam giác OBC cân tại O có OH là phân giác của nên HB = HC b. OH = = c.Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác OBA ta có OB2 = OH.OA => OA = 0,5 1 0,5 1