Đề thi chọn học sinh giỏi trường môn thi: Toán 10

TRƯỜNG THPT MINH CH¢U ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 10 – Thời gian làm bài: 180 phút. Câu 1. (1 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình: có đúng 2 nghiệm. Câu 2. (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: có hai nghiệm thỏa mãn: . Câu3. (3 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2) Giaûi phöông trình: 3)Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: . Câu 4. (4điểm) 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là điểm bất kì. Chứng minh rằng: . Khi M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tìm vị trí của M để đạt giá trị bé nhất. 2.)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M và hai đường thẳng , . Gọi A là giao điểm của và . a. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên , đi qua điểm M và tiếp xúc với. b. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt , lần lượt ở B và C sao cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC 3AB. 3) Trong hệ trục Oxy cho DABC có đường cao hạ từ A và phân giác góc C lần lượt có phương trình . Tìm tọa độ điểm A và điểm C. Phân giác góc C nói trên là phân giác trong hay phân giác ngoài? Câu 5. (1 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng: ********HẾT******** Họ và tên học sinh:.Lớp: Gọi đường tròn cần tìm là (T) có tâm I, bán kính là R. Vì (T) qua M và tiếp xúc d2 nên ta có: Phương trình (T) là : Phương trình (T) là : Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài với phương trình (1) và (2) Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ Lấy điểm . Ta tìm trên d2 điểm F () sao cho EF = 3AE Do . Khi đó (Cả hai điểm F này đều thỏa mãn ) Vì Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là và Ñieàu kieän  ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN 10 câu NỘI DUNG T. Điểm 1. 1) Tập xác định: R. - Tọa độ đỉnh: . Trục đối xứng: . - Gđiểm của đồ thị với Ox: , Oy: . 0,25 - Đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên. - Hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng . 0,25 - Bảng biến thiên: x 2 y - 1 0,75 - Đồ thị: 0,75 2) - Vẽ đồ thị hàm số: 0,5 - Số nghiệm của PT: (1) bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số và . 0,5 - Đồ thị hàm số là đường thẳng song song với Ox, cắt Oy tại . 0,25 - Dựa vào đồ thị ta có: PT (1) có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi: Vậy hoặc . Nếu thiếu TH trừ 0,5 đ 0,75 2. Nếu m = 0 PT đã cho trở thành: (loại). 0,5 Nếu PT đã cho là một PT bậc hai. 0,5 Điều kiện để PT có hai nghiệm là: 0.5 Với điều kiện (*) giả sử là hai nghiệm của PT. Từ yêu cầu bài toán và áp dụng định lí Vi-et ta có: . 0,5 Thay vào PT ta có: hoặc 0,5 Đối chiếu điều kiện ta có: m = 2 hoặc . 0,5 3. 1) Điều kiện: . Đặt , ta có: . Ta có hệ: 0,5 0,5 0,5 Với ta có: . Vậy . 0,5 3. 2) Giả sử là nghiệm của PT, khi đó cũng là nghiệm của PT. Do đó để PT có nghiệm duy nhất ta phải có: . 0,5 Thay vào PT ta có: . 0,5 Với , ta chứng minh PT có nghiệm duy nhất. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 0,5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: . Vậy . 0,5 4. 1) Ta có: 0,5 Do đó: 0,5 Ta có bé nhất khi và chỉ khi bé nhất. 0,5 Điều này xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của tia OG vơi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 0,5 4. 2) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AC, AB. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, cắt AC tại L, cắt AC tại N. P, Q lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C. Ta có ALMN là hình bình hành nên: . 0,5 Mặt khác: 0,5 0,5 . 0,5 4. 3) BC là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường cao hạ từ A nên có PT: . 0,5 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 0,5 Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường phân giác góc C, d có phương trình: . Tọa độ điểm H là giao điểm của d và phân giác góc C là nghiệm của hệ: 0,5 Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua đường phân giác góc C, khi đó B` thuộc AC và H là trung điểm BB` nên ta có: AC là đường thẳng đi qua C và có vectơ chỉ 0,5 phương nên có PT là: . 0,5 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: Vậy . 0,5 Thay tọa độ A, B lần lượt vào vế trái phương trình đường phân giác góc C ta được các số: , do đó đường phân giác góc C đó là phân giác ngoài. 0,5 5. Áp dụng bất dắng thức Côsi ta có: 0,5 Suy ra 0,5 Mặt khác: , 0,5 do đó . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . 0,5 TỔNG 20,0