Đề thi chọn học sinh giỏi Sài Gòn năm học 2011 – 201 môn: Toán (vòng 1) lớp 12

www.VNMATH.com Đ thi ch  n đ  i tuy  n l  p 12 TP.HCM 2011-2012 Môn: TOÁN VÒNG 1 www.vnmath.com Câu I Gi  i h   phương trình sau: xy+1 = (y + 1)x 2x2−9x+8 = √    −4x2 + 18x − 20 +  2x2−9x+6   √  y + 1. Câu II Cho hai đư  ng tròn (O1) và (O2) c  t nhau t  i A và B. Trên tia đ  i tia AB l  y đi  m M . Cát tuy n qua B c  t (O1) và (O2) l  n lư  t t  i C và D (B n  m gi  a C và D). Đư  ng th  ng M C c  t (O1) t  i P  khác C. Đư  ng th  ng M D c  t (O2) T   I Q khác D. G  i O là tâm đư  ng tròn ngo  i ti  p tam giác ACD, E là giao đi  m c  a P B và AC, F  là giao đi  m c  a QB và AD. Ch  ng minh M O vuông góc v  i EF . Câu III Cho a; b; c > 0. Ch  ng minh: 1 a(b + 1) + 1 b(c + 1) + 1 c(a + 1) ≥ 3 1 + abc . Câu IV Cho đa th  c P (x) = x2012 − mx2010 + m(m = 0). Gi   s   P (x) có 2012 nghi  m th  c. Ch  ng minh có ít nh  t m  t nghi  m th  a | x0 |≤ √2. Câu V Cho các s   nguyên x, y th  a mãn x2−2xy+y2−5x+7y và x2−3xy+2y2+x−y đ  u chia h  t cho 17. Ch  ng minh xy − 12x + 15y chia h  t cho 17. 1 www.VNMATH.com Đ thi ch  n đ  i tuy  n l  p 12 TP.HCM 2011-2012 Môn: TOÁN VÒNG 2 www.vnmath.com Câu I Tìm t  t c   các hàm f (x) : R → R th  a: f (f (x) + y) = f (x2 − y) + 4yf (x) v  i m  i x, y ∈ R. Câu II Cho a; b; c > 0. Ch  ng minh: ab2 bc2 ca2  a2 + 2b2 + c2 + b2 + 2c2 + a2 + c2 + 2a2 + b2 ≤  a + b + c 4       . u   =  4 5 Câu III Cho ABC n  i ti  p (O). Trên AC và AB l  n lư  t l  y 2 đi  m P  và Q. G  i M, N, J  l  n  lư  t  là  trung  đi  m  BP, CQ, P Q.  Cho  (M N J )  c  t  P Q  t  i  R. Ch  ng minh OR ⊥ P Q. Câu IV Cho dãy (un) đư  c đ nh b  i:  1 un+1 = uu2 +8 un n ∀n ∈ N∗. Tìm công th  c t  ng quát c  a dãy un. Câu V Tìm t  t c   các s   nguyên dương a, b th  a mãn (ab)2 − 4(a + b) là m  t bình phương c  a 1 s   nguyên. 2