Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2013 - 2014 môn: toán thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Câu 1: (6 điểm) a) Cho 1. Rút gọn M 2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên b) Tính giá trị của biểu thức P với Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình ( || = Câu 3: (4 điểm) a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn . Chứng minh rằng: . Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. 1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. 2. Gọi α là số đo của góc BFE. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì biểu thức . Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó. 3. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và . Câu 5: (1 điểm) Tìm nN*sao cho: n4 +n3+1 là số chính phương. - Hết - Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán Câu 1: (6 điểm) (4,5đ) ĐKXĐ: (*) 1)Rút gọn M : Với (0,5đ) Vậy (với ) (*) (2,5đ) 2) (0,75đ) Biểu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi: Ư(3) Vì Nên Xảy ra các trường hợp sau: (0,5đ) . (TMĐK (*) ) . (không TMĐK (*) loại ) (0,25đ) Vậy x = 0 thì M nhận giá trị nguyên. b_ Có (0,5đ) (0,25đ) (0,75đ) Với x = 1.Ta có Vậy với x = 1 thì P = 2014 Câu 2: (4 điểm) a. ( ó (1) Đặt (1) ó ( y + 1)(y – 1 ) – 24 = 0 ó y2 – 25 = 0 ó ó Chứng tỏ Vậy nghiệm của phương trình : b. Ta có pt trở thành : ó 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ Câu 3: (4 điểm) a Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1. Tìm GTNN của biểu thức: M = M = = Ta có: * Ta có: (1) * (2) Từ (1) và (2) Vậy M = Dấu “=” xảy ra (Vì x, y > 0) Vậy min M = tại x = y = 2đ 0,5 0, 5 0,5 0,25 0,25 0,5 b Cho x, y là các số dương thỏa mãn: Chứng minh rằng: 2đ Áp dụng BĐT (với a, b > 0) Ta có: Tương tự: cộng vế theo vế, ta có: 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 Caai 4: (5 điểm) BA là đường cao của tam giác BPQ suy ra H thuộc BA Nối OE, BEF vuông tại B; BA EF nên AB2 = AE. AF VậyAEO ABQ(c.g.c). Suy ra mà (góc có các cạnh tương ứng vuông góc) nên , mà hai góc đồng vị => PH // OE. Trong AEO có PE = PA (giả thiết); PH// OE suy ra H là trung điểm của OA. 2. Ta cã: Ta cã: Suy ra: Do ®ã: khi vµ chØ khi: (v× lµ gãc nhän) Khi đó CD vuông góc với AB 3. Ta có ACB và ADB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên => ADBC là hình chữ nhật. Ta có: CD2 = AB2 = AE. AF => CD4 = AB4 = AE2. AF2 = (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF AB3 = CE.DF.EF. Vậy CD3 = CE.DF.EF Ta có: 0,25 . 0,75đ. 0,75đ. 0,25đ . 0,75đ. 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5: Giả sử n4 +n3 + 1 là số chính phương vì n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2 Mà hoặc Nếu Thử lại ( thỏa mãn) Khi K mâu thuẫn với điều kiện (1đ) Vậy n = 2