Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 - 2009 môn: toán thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 - 2009 Họ tên : ........................................... Lớp : ........................................... Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 1,0 điểm) Giải phương trình : x(x+2)(x2+2x+5) = 6 Câu 2 : ( 2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức : A = x8 – 31x7 + 31x6 – 31x5 +31x4 – 31x3 + 31x2 – 31x + 27 với x = 30 b) Cho a - b = 4 tính giá trị của biểu thức B = a3 – 12ab - b3 Câu 3 : ( 1,0 điểm) Rút gọn phân thức : Câu 4 : ( 1 điểm) Một người đi một nửa quãng đường từ A đến B với vận tốc 15km/h , và đi phần còn lại với vận tốc 30km/h . Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng đường AB . Câu 5 : ( 2,0 điểm) Chứng minh rằng : a) S với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a , b . Câu 6 :( 4 điểm) Cho tam giác IKP cân tại A có KP = 4 cm , M là trung điểm của KP lấy D, E thứ tự thuộc các cạnh IK , IP sao cho . a) Chứng minh rằng tích KD . PE không đổi . b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE . c) Tính chu vi IED nếu IKP là tam giác đều . ------------- ------------- ( Giám thị không giải thích gì thêm ) Họ và tên thí sinh :.............................................. Số báo danh ....................... Chữ kí giám thị 1 Chữ kí giám thị 2 hướng dẫn chấm thi môn toán kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 THCS năm học 2008-2009 Câu 1 (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm a) Ta có A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25 = x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) – x2( x-18) + x(x- 18) - ( x – 18 ) + 7 Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7 . b) Với x+y = 1 ta có : B = ( x3 + y3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x2 - xy +y2) + 3xy = x2 +2xy +y2 = ( x+y )2 = 1 1,00 1,00 1,00 1,00 Câu 2 (4,0 điểm) Top of Form Tóm tắt lời giải Điểm a) ta có = = = = = = b) Giải phương trình : (x2-x+1)(x2-x+2) = 12 (1) Đặt t = x2-x+1 thay vào phương trình (1) ta được pt : t ( t+1 ) = 12 t2 + t – 12 = 0 ( t2 - 3t ) + (4t – 12) = 0 t( t - 3) + 4(t – 3) = 0 (t - 3) (t+ 4) = 0 t = 3 hoặc t = - 4 - Với t = 3 => x2-x+1 = 3 x2-x-2 = 0 x2-2x + x -2 = 0 x(x-2) + (x -2 ) = 0 (x-2) (x +1 ) = 0 x = 2 hoặc x = - 1 - Với t = - 4 => x2-x+1 = - 4 x2-x + 5 = 0 ( x- ) 2 + = 0 phương trình này vô nghiệm vì ( x- ) 2 + > 0 với mọi x . Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là : x = 2 , x = -1 1,00 0,50 0.50 0.50 0.75 0.25 0.25 0.25 Câu 3 : ( 4,5 điểm ) Gọi vận tốc mà ô tô dự định đi từ A đến B là : x ( điều kiện : x(km/h ) , x > 6 ). Ta có : Vận tốc ô tô đi nữa đầu quãng đường là : x+10 ( km/h ) Vận tốc ô tô đi nữa sau quãng đường là : x – 6 (km/h ) Thời gian ô tô đi nữa đầu quãng đường là : (h) Thời gian ô tô đi nữa sau quãng đường là : (h) Thời gian ô tô đi quãng đường từ A đến B là : (h) Ta có phương trình : + = + = => x2 – 6x + x2 + 10x = 2x2 + 8x – 120 x2 – 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120 4x = 120 x = 30 ( km/h ) Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đường AB là : = 2 ( giờ ) 0.50 1.00 0.75 0.75 0.50 0.50 0.50 Câu 4 (3,5 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng a) Ta có , mặt khác , mà nên . Do đó BDM và CME đồng dạng ( gg ) . => => BD . CE = CM . BM = a . a = a2 Vậy tích BD . CE luôn không đổi . b) BDM và CME đồng dạng còn suy ra : => ( vì CM = BM ) Do đó DME và DBM đồng dạng => hay DM là tia phân giác của góc BDE . c) Từ câu b suy ra DM là tia phân giác của góc BDE , EM là tia phân giác của góc CED . Kẻ MH DE , MI AB , MK AC . Ta có DH = DI , EH = EK , do đó chu vi AED bằng AI + AK = 2AK . Ta lại có CK = , AC = 2a nên AK = 1,5a . Vậy chu vi tam giác ADE bằng 3a . 0.5 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 Câu 5 : HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng a) Gọi h là chiều cao tương ứng với cạnh a , ta có S = ah . => 4S = 2ah 2ab a2 + b2 . Vậy S . Dấu bằng xảy ra ú h = b , a = b ú ABC vuông cân b) Theo câu a ta có : SABC ; SADC Mà S = SABC + SADC => S => S . Dấu bằng xảy ra ú ABC vuông cân ở B , ACD vuông cân ở D ú ABCD là hình vuông . 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 Lưu ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng đầy đủ chính xác cũng được điểm tối đa