Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Thị trấn Tân Uyên (Có đáp án)

Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Đề + ĐáP áN thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Môn: Toán Thời gian: 150 phút Năm học: 2010 - 2011 Câu 1: (5 điểm) 1. Cho: A = 3 3 2 2 1 1 a b a b ab : a ba b − − − −  + − −    − −  a, Tìm điều kiện của a, b để biểu thức có nghĩa b, Rút gọn A 2, Cho ba số nguyên x, y, z thỏa m2n: x + y + z ⋮ 6 chứng minh rằng: M = { }(x y)(y z)(z x) 2xyz 6+ + + − ⋮ Câu 2. (3 điểm) 1. So sánh: 2 3 2 3 2 3 2 3 + − − + + − và 3 3 2. Tính tổng: S = 1 1 1 ... 2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100 + + + + + + Câu 3. (4 điểm) Giải các ph−ơng trình và hệ ph−ơng trình sau đây: a, 3 + 2x 3− = x b, x 1 3 y 2 2 2 x 1 5 y 2 15  − − + =  − + + = Câu 4: (4 điểm) Tính diện tích tam giác vuông có chu vi là 72cm, hiệu giữa đ−ờng trung tuyến và đ−ờng cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm Câu 5: (4 điểm) Cho đ−ờng tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đ−ờng tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đ−ờng tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đ−ờng kính AOC. Tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O) tại C cắt AB tại E. Chứng minh rằng: ∆ KBC đồng dạng với ∆ OBE Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1: 1. Cho: A = 3 3 2 2 1 1 a b a b ab : a ba b − − − −   − − −    − −  a, ĐKXĐ: a > 0, b > 0, a ≠ b b, Rút gọn: A = ( ) ( )3 3 2 2 a b 1 1 1 1 ab : : a b a ba b   −       − − −      −         = 2 2 2 2 ( a b)(a ab b) b a b a ab : : a .b ab( a b)     − + + − − −     −    = ( ) 2 2(b a)(b a) aba ab b ab : .a .b b a− + + + −  −  = ( ) (b a)a b : ab a.b + + = . Vậy A = ab 2, Cho ba số nguyên x, y, z thỏa m2n: x + y + z ⋮ 6 chứng minh rằng: M = { }(x y)(y z)(z x) 2xyz 6+ + + − ⋮ Ta có: x3 - x = (x -1)x(x + 1)⋮ 6 (Vì tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6) ⇒ x3 + y3 + z3 - (x + y + z) = (x3 - x) + (y3 - y) + (z3 - z) ⋮ 6 (Vì mỗi biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho 6) ⇒ x3 + y3 + z3 - (x + y + z) ⋮ 6. Mà (x + y + z) ⋮ 6 ⇒ x3 + y3 + z3 ⋮ 6. Mặt khác: (x + y + z)3 = (x + y)3 + 3(x + y)z(x + y + x) + z3 = x3 + 3xy(x + y) + y3 + 3(xz + yz)(x + y + z) + z3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y + z)(xy + yz + xz) - 3xyz Do (x + y + z) ⋮ 6 và x3 + y3 + z3 ⋮ 6 ⇒ 3xyz ⋮ 6 Vậy M = (x + y)(y + z)(z + x) - 2xyz = {(x + y + z) - z}{y + z + x) - x}{(z + x + y) - y} - 2xyz (vì x + y + z ⋮ 6) = (6k - z)(6k - x)( 6k - y) - 2xyz = 6N - xyz - 2xyz = 6N - 3xyz ⋮ 6 (vì 6N ⋮ 6 và 3xyz ⋮ 6) ⇒ (đpcm) Câu 2. 1 . So sánh: 2 3 2 3 2 3 2 3 + − − + + − và 3 3 Đặt A = ( ) ( ) 2 2 3 2 32 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 + − −+ − − = + + − + + − = 2 2 2 2 ( 3 1) ( 3 1)4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 ( 3 1) ( 3 1) + − −+ − − = + + − + + − = 3 1 3 1 2 3 32 33 1 3 1 + − − = = + + − . Vậy 2 3 2 3 2 3 2 3 + − − + + − = 3 3 2. Tính tổng: S = 1 1 1 ... 2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100 + + + + + + Với mọi n ∈ N* ta có: 1 (n 1) n n n 1 (n 1) n n n 1 1 1 n(n 1) n(n 1) n(n 1)(n 1) n n n 1 n n 1 + − + + + = = − = − + + ++ + + + . Do đó Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên S = 1 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 2 2 3 3 4 99 100 − + − + − + + − = 1 - 1 9 10 10 = Câu 3. Giải các ph−ơng trình và hệ ph−ơng trình sau đây: a, 3 + 2x 3− = x ⇔ 2 x 3 0 2x 3 x 6x 9 − ≥  − = − + 2 x 3 x 3 (x 2)(x 6) 0x 8x 12 0 ≥ ≥  ⇔ ⇔  − − = − + =  ⇔ x 3 x 2( ) x 6 ≥  =  = Loại ⇔ x = 6. Vậy ph−ơng trình có một nghiệm x = 6 b, x 1 3 y 2 2 2 x 1 5 y 2 15  − − + =  − + + = (*) ĐKXĐ: x ≥ 1, y ≥ -2 Đặt U = x 1− ≥ 0, V = y 2+ ≥ 0 Khi đó (*) ⇔ U 3V 2 2U 6V 4 2U 5V 15 2U 5V 15 − = − =  ⇔  + = + =  U 3V 2 U 5 11V 11 V 1 − = =  ⇔ ⇔  = =  (T/m) Vậy (*) ⇔ x 1 5 x 26 y 1y 2 1  − = = ⇔  = −+ =  . (T/m) Vậy hệ có một nghiệm duy nhất (26; -1) Câu 4: (4 điểm) Tính diện tích tam giác vuông có chu vi là 72cm, hiệu giữa đ−ờng trung tuyến và đ−ờng cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm (Tự viết GT/KL) Gọi AB = c, BC = a, CA = b, AH = h. (Với 0 < a, b, c, h < 72). Khi đó a2 = b2 + c2 (Pitago) +) S = 2 2 2 1 1 1bc (2bc) (b c a 2bc) 2 4 4 = = + − + = 2 2 1 1(b c) a (a b c)(b c a) 4 4  + − = + + + −  = 1 1(a b c)(a b c 2a) .72.(72 2a) 4 4 + + + + − = − (1) +) Mặt khác: AM = BC a 2 2 = ⇒ S = 1 1 a ah a.( 7) 2 2 2 = − (2) Từ (1) và (2) ta có ph−ơng trình: 1 .72.(72 2a) 4 − = 1 a a.( 7) 2 2 − ⇔ 5184 - 144a = a2 - 14a ⇔ a2 + 130a - 5184 = 0 ⇔ (a - 32)(a + 162) = 0 ⇔ a = 32 (T/m) hoặc a = -162 (loại) ⇒ S = 1 .72.(72 2a) 4 − = 18.(72 - 2.32) = 144 (cm2) Vậy SABC = 144 (cm 2) Câu 5: (4 điểm) Cho đ−ờng tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đ−ờng tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đ−ờng tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đ−ờng kính AOC. Tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O) tại C cắt AB tại E. CMR: ∆ KBC đồng dạng với ∆ OBE (HS Tự ghi GT/KL) C/m h c b a MH CB A Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Chú ý: HS ch−a học các góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây đến thời điểm thi Ta có:  2 1K K= (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) mà KO là trung trực của AB ⇒ AHK = 900 ⇒  1 1K A= (Cùng phụ với AOK ) Lại có:  1 1A C= (Cùng phụ với AOK ) Vậy:  2 1K C= - Xét ∆BKO và ∆BCE có:  KBO CBE= = 900 (gt)  2 1K C= (C/m trên) ⇒ ∆BKO
∆BCE ⇒ BK BO BC BE = (1) Mặt khác:  0OBE 90 OBC= +  0KBC 90 OBE= + ⇒ OBE = KBC (2) Từ (1) và (2) ⇒ ∆ OBE
∆ KBC (c.g.c) (đpcm) 2 1 1 1 H E O C K B A