Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009 Môn: Toán ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 ) Bài 1 ( 2 điểm ): Cho đa thức: f(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x 1/ Phân tích f(x) thành nhân tử. 2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là số chính phương. Bài 2 ( 1,5 điểm ): Cho phương trình ẩn x: ; với x 1; x 2. Tìm a và b để phương trình có nghiệm là bất kỳ số thực nào khác 1 và 2. Bài 3 ( 2 điểm ): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z; biết rằng x; y; z là các số thực thoả mãn điều kiện y2 + yz + z2 = 1 - . Bài 4 ( 3,5 điểm ): Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N. 1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh. 2/ Chứng minh: AK2 = KC . KE. 3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi. 4/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G. Chứng minh rằng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Bài 5 ( 1 điểm ): Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh rằng: - Họ và tên thí sinh:..; Số báo danh: - Họ tên, chữ ký của người coi thi: Chú ý: Người coi thi không được giải thích gì thêm. đáp án, biểu điểm môn toán kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009 ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 ) Bài 1: 2 điểm; Mỗi câu 1 điểm. Câu 1: Lần lượt phân tích để có kết quả f(x) = x ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) Câu 2: Từ kết quả của câu 1 ta có: + A = f(x) + 1 = x( x + 3 )( x + 1 )( x + 2 ) + 1 = ( x2 + 3x )( x2 + 3x + 2 ) + 1 ( 0,25 điểm ) + Đặt x2 + 3x = t; ta có A = t( t + 2 ) = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 ( 0,25 điểm ) + Do x Z nên t = x2 + 3x x Z; do đó ( t + 1 )2 Z và ( t + 1 )2 là số chính phương. ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Bài 2: 1,5 điểm. + Với x 1; x 2 ta có: ( 0,25 điểm ) + Do đó với mọi x 1; x 2 với mọi x 1; x 2 4x – 7 = ( a + b )x – ( 2a + b ) với mọi x 1; x 2 ( 0,75 điểm ) + Từ đó tính được a = 3; b = 1. ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Bài 3: 2 điểm + Ta có y2 + yz + z2 = 1 - 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 – 3x2 3x2 + 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 ( 1 ) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 = 2 ( x + y + z )2 + ( x – y )2 + ( x – z )2 = 2 ( 1,0 điểm ) + Do ( x – y )2 0; ( x – z )2 0 nên từ ( * ) suy ra ( x + y + z )2 2 Hay - ( 0,5 điểm ) + Dấu “ = ” xảy ra khi x – y = 0 và x – z = 0 hay x = y = z Thay vào ( 1 ) được 9x2 = 2; x = ; x = - ( 0,25 điểm ) + KL: Với x = y = z = - thì min B = - Với x = y = z = thì max B = ( 0,25 điểm ) Bài 4: 3,5 điểm. Câu 1: 0, 75 điểm. + Từ MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE ( 0,25 điểm ) + Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE KM ( 0,25 điểm ) + Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau nên MNKE là hình thoi. ( 0,25 điểm ) Câu 2: 0, 75 điểm. + Từ tính chất hình vuông có ACK = 45 0. ( 0,25 điểm ) + Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM. ( 0,5 điểm ) Câu 3: 1, 0 điểm. + Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK nên EK = MB + ED. ( 0,25 điểm ) + Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK nên AI là trung trực của MK do đó ME = EK. ( 0,25 điểm ) + Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a. ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Câu 4: 1, 0 điểm. + Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó = . ( 0,25 điểm ) + Tam giác AKG vuông tại A nên AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do đó AK2 . AG2 = KG2 . AD2. ( 0,25 điểm ) + Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nên ta có AK2 . AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay , suy ra = ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Bài 5: 1 điểm. + Đặt vế trái của đẳng thức cần chứng minh là A. + Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0. ( 0,25 điểm ) + ở phân thức thứ nhất ta thay 2008 bởi tích abc; giữ nguyên phân thức thứ hai; nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ ba với b ta có: A = ( 0,75 điểm ) Chú ý: Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn có thể cho điểm tối đa theo thang điểm quy định.