Đề tài Ứng dụng hình học giải tích để giải một số bài toán đại số

MỤC LỤC Trang Phần I Mở đầu 2 Phần II Nội dung 4 I. Cơ sở lý thuyết 4 II. Bài tập. 5 1. Sử dụng hình học giải tích để chứng minh bất đẳng thức 5 2. Sử dụng hình học giải tích để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 9 3. Sử dụng hình học giải tích để giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ, hệ phương trình. 14 III. Bài tập tự luyện. 16 Phần III Thực nghiệm sư phạm 18 Phần IV Kết luận chung 21 Tài liệu tham khảo 25 PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong chương trình giáo dục toán học ở cấp trung học phổ thông, phương pháp vectơ và tọa độ chiếm một vị trí quan trọng. Nói đến phương pháp vectơ và tọa độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán hình học. Tuy nhiên phương pháp vectơ và tọa độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán đại số: giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Cùng với các phương pháp khác, phương pháp vectơ và tọa độ là một trong những phương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán sơ cấp. Phương pháp vectơ và tọa độ dùng để giải quyết các bài toán chứa trong nó “cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa nhìn thấy nó. Từ thực tế đó, tôi đã chọn đề tài: “Ứng dụng hình học giải tích để giải một sô bài toán đại số” 2. Mục đích nghiên cứu Giới thiệu một số bài toán đại số được giải bằng cách sử dụng hình học giải tích (trong mặt phẳng), qua đó giúp học sinh giải một số bài toán đại số một cách nhanh chóng, đơn giản và dễ dàng. 3. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên quan khác, - Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Nguyễn Siêu. - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng. - Ph­¬ng ph¸p thèng kª to¸n häc 4. Phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: các bài toán đại số trong chương trình THPT - Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp véctơ và toạ độ trong mặt phẳng. - Nội dung nghiên cứu: “Ứng dụng hình học giải tích để giải một sô bài toán đại số”. PHẦN II. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Để giải các bài toán đại số bằng phương pháp sử dụng vectơ và tọa độ ta thường sử dụng các kiến thức cơ sở sau : - Tính tọa độ của vectơ tổng và hiệu, độ dài vectơ, khoảng cách giữa hai điểm : - Bất đẳng thức vectơ , đẳng thức xảy ra và cùng hướng ( ngược hướng) , đẳng thức xảy ra và cùng hướng. - Với ba điểm bất kì A, B, C thì : AB + BC AC. II. BÀI TẬP 1. Sử dụng hình học giải tích để chứng minh bất đẳng thức Bài 1: Chứng minh rằng : Lời giải : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét các điểm : A(a;0); Ta có : ; ; Ta luôn có : hay : + Dấu “=” xảy ra A, B, C thẳng hàng (A nằm giữa B và C) và ngược hướng Bài 2: Cho 4 số thực x1, x2, y1, y2. Chứng minh rằng : (Bất đẳng thức Bunhia-copski) Lời giải : Nếu một trong các số x1, x2, y1, y2 bằng 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng nên ta xét các số trên đồng thời khác 0. Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : Ta có : vậy Đẳng thức xảy ra cùng phương với Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: (1.1) Lời giải Trong hệ trục tọa độ Oxyz, đặt , . Theo (1), ta có: . Suy ra Nên (1.1) đúng. Đẳng thức xảy ra cùng hướng Bài 4: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì : Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Xét 3 điểm Ta có: Nên (1) AB + AC > BC Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có Hai véctơ không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xảy ra đẳng thức AB + AC = BC. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Bài 5: Cho a, b thỏa mãn a – 2b + 2 = 0. Chứng minh rằng Lời giải Trên mặt phẳng với hệ trục Oxy, gọi M=(a;b). Giả thiết suy ra M thuộc đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Kí hiệu A(3;5), B(5;7). Khi đó MA = , MB = . BĐT cần chứng minh tương đương với: MA + MB . Dễ thấy A, B cùng phía với d. Gọi A1 là điểm đối xứng A qua d.Tìm được A1(5;1). Ta có MA + MB = MA1 + MB A1B = =6 hay . Đẳng thức xảy ra M = Mo, Mo = A1B d, hay là đẳng thức xảy ra khi . Bài 6: Cho a, b , c, d thỏa mãn : CMR: Lời giải Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M(a;b), N(c;d). Suy ra MN = Ta có a2 + b2 = a + b M thuộc đường tròn (C1) tâm I1, bán kính R1 = . Lại có c2 + d2 = -c - d N thuộc đường tròn (C2) tâm I2, bán kính R2 = . I1I2 = = R1 + R2 (C1) tiếp xúc ngoài (C2) MN 2(R1 + R2) . Đẳng thức xảy ra . Bài 7: Chứng minh rằng: Lời giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các vectơ: Khi đó, từ bất đẳng thức vectơ 2. Sử dụng hình học giải tích để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: với . Giải: Viết lại hàm số dưới dạng: Hàm xác định trên . Xét trên hệ trục tọa độ Oxy Cách 1: Chọn , Khi đó . Đẳng thức xảy ra khi các vectơ cùng hướng hay: Vậy khi Cách 2: Gọi . Khi đó: và Nên ta có: . Theo bất đẳng thức tam giác ta có: . Nên : . Vậy khi C là giao điểm của AB và trục Ox, từ đó Bài 2: Tìm GTNN của hàm số: y = . Lời giải Viết lại hàm số dưới dạng: y = hay y = . Xét điểm A( -1; -2), B( 3 ; 2) và M( x; 2x). Khi đó: AM = ; BM = ; AB = 4. Suy ra: y = AM + BM AB= 4. Vậy ymin= 4, đạt được khi A, B, M thẳng hàng đồng thời M nằm giữa A và B ngược hướng, từ đó ta tìm được Chú ý: Đôi khi dạng toán này được minh hoạ dưới dạng trị tuyệt đối, hoặc dưới dạng có tham số. Chúng ta xét các bài toán sau: Bài 3: Tìm GTNN của hàm số: y = , với a, b là các hằng số thoả mãn: a 0. Lời giải Viết lại hàm số dưới dạng: y = . Xét các điểm A( a; a), B( b; b) và M( x ; 0), khi đó: AM = ; BM = ; AB = (b - a). Suy ra: y = AM + BM AB = (b - a). Vậy ymin= 4, đạt được khi A, B, M thẳng hàng và M nằm giữa A và B ngược hướng, từ đó ta tìm được M trùng O. Bài 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: Lời giải Trong mặt phẳng toạ độ xét các véctơ : Khi đó : từ Dấu “=” xảy ra khi cùng hướng, từ đó ta chỉ ra dấu bằng tại (là một trường hợp). Vậy miny=5 Bài 5: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: Ta có Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét ba vectơ Khi đó ta có Vì Áp dụng bất đẳng thức ta được: Vì ba vectơ ta xét đều khác vectơ nên dấu “=” xảy ra khi 3 vectơ cùng hướng và . hay Vậy khi Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: . Giải: Ta có: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét các vectơ: Ta có: Khi đó: Dấu bằng xảy ra khi , cùng hướng và , cùng hướng, tức là: Vậy . 3. Sử dụng hình học giải tích để giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ, hệ phương trình. Bài 1. Giải phương trình: + = 29 Lời giải Xét ( 1- x ; 2) và (x + 1; 3) Ta có : = = + =( 2; 5) Suy ra : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng hướng x = Bài 2: Giải phương trình: Lời giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ: Suy ra phương trình (1) tương đương: Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm : Lời giải Đặt Khi đó ta có hệ phương trình : Phương trình (1) biểu thị 1 đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn 1 đường tròn có tâm tại gốc toạ độ và bán kính bằng 3 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung thoả điều kiện (3). Vậy Pt có nghiệm khi Bài 4: Giải bất phương trình: Lời giải: Điều kiện Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các vectơ : Suy ra : Ta có : Đẳng thức xảy ra và cùng hướng Vậy x=5 là nghiệm duy nhất. III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho 2n số thực a1, a2,...an, b1, b2,... bn. Chứng minh rằng: Bài 2: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn x + y + z £ 1. Chứng minh rằng: (Câu V - khối A năm 2003) Bài 3: Cho các số dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ac = abc. Chứng minh bất đẳng thức: . Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = . Bài 5: Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng . Bài 6: Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn: . Chứng minh : Bài 7: Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên : (Hướng dẫn). Xét hai vectơ Bài 9: Cho . Chứng minh rằng : Bài 10: Giải phương trình: Bài 11: Giải bất phương trình: Bài 12: Giải hệ phương trình: Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: khi . Bài 14: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: trên . PHẦN III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1. Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng khả năng ứng dụng hình học giải tích vào giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức hoặc bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2. Tổ chức thực nghiệm 2.1. Hình thức thực nghiệm Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo phần nội dung đã đề cập ở phần nội dung (phần II). Sau đó cho học sinh lớp chọn làm thực nghiệm, đo kết quả thực nghiệm. 2.2. Đối tượng thực nghiệm Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 12A1 (gọi là nhóm 1) và 20 em học sinh lớp 12A2 (gọi là nhóm 2) năm học 2010- 2011 của trường THPT Nguyễn Siêu- Khoái Châu- Hưng Yên. Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm và nhóm 2 là nhóm đối chứng. Chọn học sinh ở hai nhóm này có lực học toán khá và tương đương nhau. 3. Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm bao gồm các nội dung: + Ứng dụng hình học giải tích tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức. + Ứng dụng hình học giải tích để giải phương trình, hệ phương trình. 4. Đánh giá kết quả thực nghiệm 4.1. Đề kiểm tra Phát phiếu kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh, thời gian làm bài 30’: A. Phiếu 1 Bài 1: Giải phương trình Bài 2: Cho R, chứng minh rẳng: B. Phiếu 2 Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: trên - Nhận xét: Trong mỗi phiếu bài tập thì mỗi bài đều có thể làm được theo một số cách khác nhau. Học sinh ở nhóm đối chứng có thể đổi biến để sử dụng phương pháp hàm số để làm, trong đó phiếu số 2 tăng độ khó và yêu cầu cao hơn phiếu số 1. 5. Kết quả kiểm tra a) Kết quả kiểm tra theo phiếu học tập số 1: Điểm Lớp 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài Nhóm 1 Nhóm thực nghiệm 0 0 0 4 1 2 4 5 4 20 Nhóm 2 Nhóm đối chứng 0 0 2 8 4 4 1 0 1 20 - Điểm trung bình: Trong đó: : điểm kiểm tra. : tần số của các giá trị n: số học sinh tham gia Kết quả thu được: b) Kết quả kiểm tra theo phiếu học tập số 2: Điểm Lớp 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài Nhóm 1 Nhóm thực nghiệm 0 0 1 4 2 4 2 5 2 20 Nhóm 2 Nhóm đối chứng 0 3 7 5 2 2 1 0 0 20 - Điểm trung bình: 6. Kết kuận Dựa trên kết quả thực nghiệm thấy rằng kết quả của nhóm thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Số học sinh đạt điểm cao ở nhóm thực nghiệm cũng vượt trội so với nhóm đối chứng. Trong thực tế giảng dạy tôi thấy rằng phương pháp có thể này có thể dạy cho học sinh lớp 10- khi đã học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) và hình học giải tích trong mặt phẳng ở một mức độ nào đó. PHẦN IV: KẾT LUẬN CHUNG Thực hiện mục đích của đề tài, tôi đã giải quyết được một số vấn đề sau: 1. Học sinh biết áp dụng những điều đã được giới thiệu để áp dụng vào giải quyết một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức cũng như chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình: Học sinh trung bình khá trở lên nắm vững được phương pháp và biết vận dụng ở dạng bài tập cơ bản; một số đề thi đại học và thi học sinh giỏi thì học sinh khá giỏi có thể sử dụng phương pháp này để giải bài toán. 2. Thực nghiệm cho thấy: kết quả ứng dụng của phương pháp là tương đối khả quan. Học sinh tiếp thu được bài và trình bày chặt chẽ. Thực tế áp dụng cho thấy, học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng được ý tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức hay bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình. Có thể, có những cách giải chưa thật ngắn gọn, súc tích nhưng tôi luôn chân trọng những gì mà các em đã làm được. Khuyến khích, động viên các em tìm tòi những cách làm ngắn gọn, hay hơn. Không phải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức, phương trình, hệ phương trình nào cũng có thể đưa được về dùng hình học giải tích. Ngoài phương pháp sử dụng hình học giải tích nêu trên thì còn rất nhiều các kĩ thuật, các phương pháp để giải đối với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức, phương trình, hệ phương trình nói riêng và các dạng bài toán nói chung. Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôi mong muốn được đóng góp một phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác hình học giải tích một cách hiệu quả khi làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán. Qua nội dung đề tài, tôi mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn nữa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức hay bài toán chứng minh bất đẳng thức cũng như muốn nghiên cứu về mối quan hệ giữa “Giải tích” và “Hình học” Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ hơn trong giảng dạy. Tôi xin trân trọng cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]Sách giáo khoa hình học lớp 10, NXB Giáo dục. [2] Tuyển tập 200 bài toán vô địch – Tập 3: Giải tích; PGS. TS. Nguyễn Quý Dy; ThS.Nguyễn Văn Nho; TS Vũ Văn Thỏa. NXB Giáo dục năm 2001. [3] Căn số và toán vô tỉ; Hoàng Kỳ. NXB Giáo dục năm 2001. [4] Đại số sơ cấp; Hoàng Kỳ, Nguyễn Văn Bàng, Nguyễn Đức Thuần. NXB Giáo dục năm 1979. [5] Sai lầm phổ biến khi giải toán; Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh [6] Hạ Vũ Anh, Phương pháp giải các dạng toán cơ bản , NXB Giáo dục, năm 2010. [7] Nguyễn Mộng Hy, Các bài toán về phương pháp vectơ và tọa độ, NXB Giáo dục, năm 2001. [8] Nguyễn Văn Lộc , Phương pháp vectơ trong giải toán hình học phẳng, NXB Giáo dục, năm 2007. [9] Báo toán học tuổi trẻ. NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG THI ĐUA TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU NHẬN XÉT CỦA SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN