Đề tài Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình

ứng dụng của Đạo hàm trong giải pT, BPT, HPT, HBPT ********** A. Đặt vấn đề I. Lý do chọn đề tài II. Mục đớch yờu cầu III. Phạm vi nghiờn cứu IV. Phương phỏp nghiờn cứu B. Nội dung I. Thực trạng vấn đề II. Giải phỏp C. Kết luận D. Tài liệu tham khảo A. Đặt vấn đề I. Lýdo chọn đề tài Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình (PT,BPT, HPT, HBPT) chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông ( Đại số, lượng giác, siêu việt.). Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không thể giải được bằng phương pháp thông thường (trong PPCT) hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp. Nhưng ta đã biết giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ. Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình". * Phương pháp chung của dạng bài tập này: - Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải. - Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về một vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng: f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x) m; hoặc f(x) m ). Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải. B. Giải quyết vấn đề Một số mệnh đề thường dùng 1. Mệnh đề 1: Cho phương trình: f(x) = g(x) xác định trên D Nếu một trong hai hàm số f(x) hoặc g(x) là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. 2. Mệnh đề 2: Cho phương trình f(x) = m xác định trên D Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là m 3. Mệnh đề 3: Cho phương trình f(x) = m xác định trên D Nếu f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên có không quá một nghiệm. 4. Mệnh đề 4: Cho bất phương trình: f(x) > m ( f(x) < m ) i) Nếu f(x) là hàm đơn điệu tăng trên D và tồn tại x0 D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất phương trình là: T = D (x0 ; + ) ( T = D (- ; x0 )) . ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x0 D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất phương trình là: T = D (- ; x0 ) (T = D (x0 ; +) ). 5. Mệnh đề 5: Cho hàm số f(x) xác định trên D 1. f(x) m x D m 2. f(x) m x D m 3. f(x) m có nghiệm x D m 4. f(x) m có nghiệm x D m 5. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu trên D và tồn tại u, v D mà f(u) = f(v) thì u = v thì u>v B/ Nội dung 1. ứng dụng hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình. 1. Tính chất 1: Cho phương trình: f(x) = g(x) xác định trên D. Nếu một trong hai hàm số f(x) hoặc g(x) là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. 2. Tính chất 2: Cho phương trình f(x) = m xác định trên D. Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là m thuộc miền giá trị của hàm số f(x). 3. Tính chất 3: Cho phương trình f(x) = m xác định trên D Nếu f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên có không quá một nghiệm. 4. Tính chất 4: Cho bất phương trình: f(x) > m ( f(x) < m ) i) Nếu f(x) là hàm đơn điệu tăng trên D và tồn tại x0 D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất phương trình là: T = D (x0 ; + ) ( T = D (- ; x0 )) . ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x0 D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất phương trình là: T = D (- ; x0 ) (T = D (x0 ; +) ). 5. Tính chất 5: Cho hàm số f(x) xác định trên D 1. f(x) m x D m 2. f(x) m x D m 3. f(x) m có nghiệm x D m 4. f(x) m có nghiệm x D m 5. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu trên D và tồn tại u, v D mà f(u) = f(v) thì u = v 6. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu trên D và tồn tại u, v D mà thì u>v 1.1. ứng dụng hàm số để giải phương trình Phương pháp : Dạng 1: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng (hoặc ) trong đó , k là hằng số. Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng (hoặc ) Bước 2: Xét hàm số trên D * Tính , xét dấu, kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D * Tính , xét dấu, kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D * Kết luận hai hàm số đơn điệu ngược nhau, hoặc một trong hai hàm số là hàm số hằng. * Tìm sao cho (hoặc tìm sao cho Bước 3: Kết luận: * Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (hoặc rồi giải pt ) * Kết luận nghiệm phương trình đã cho Dạng 2: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng trong đó , Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số trên D * Tính , xét dấu y' * Kết luận hàm số là hàm số đơn điệu trên D. Bước 3: Kết luận: * Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi , giải pt : * Kết luận nghiệm phương trình đã cho 1.2. ứng dụng hàm số để giải bất phương trình Phương pháp : Dạng 1: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng (hoặc ) trong đó , k là hằng số. Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng (hoặc ) Bước 2: Xét hàm số trên D * Tính , xét dấu, kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D * Tính , xét dấu, kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D * Kết luận hai hàm số đơn điệu ngược nhau, hoặc một trong hai hàm số là hàm số hằng. * Tìm sao cho (hoặc tìm sao cho Bước 3: Kết luận: * Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (hoặc rồi giải pt ) * Kết luận nghiệm phương trình đã cho Dạng 2: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng trong đó , Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số trên D * Tính , xét dấu y' * Kết luận hàm số là hàm số đơn điệu trên D. Bước 3: Kết luận: * Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi , giải pt : * Kết luận nghiệm phương trình đã cho Bài 1: Giải các phương trình sau a. b. c. 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) d. Trước hết, ta nhận thấy các phương trình trên không giải được bằng các phương pháp thông thường hoặc có giải được thì cũng rất khó khăn. Ta sẽ tìm cách để sử dụng hàm số giải các phương trình, bất phương trình này. Giải: a. TXĐ: Xét hàm số: + TXĐ : + Đạo hàm : Do đó hàm số đồng biến trên D, vậy phương trình trên nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Mặt khác ta có: f(3) = 6. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6. b. Điều kiện: Viết lại phương trình dưới dạng : (1) Xét hàm số + TXĐ: + Đạo hàm : Hàm số luôn đồng biến trên D. Khi đó: phương trình (1) Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 và x=4. c. 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) (1) Với phương trình này ta chưa thể có hàm số giống như hai câu trên mà ta phải biến đổi để tìm được hàm số mà ta muốn xét. TXĐ: D = R Trên D (1) ( do > e > 0 ) Đặt t = với t > e, thì phương trình trên trở thành: (2) Xét hàm số: với t > e Ta có e Từ đó, vế trái của phương trình (2) là hàm nghịch biến t > e; vế phải là hằng số Do đó phương trình (2) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Mặt khác Phương trình (2) có nghiệm duy nhất t = 8 Với t = 8 ta có x = ; x = Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = ; x = d. (1) Tương tự như câu c) đối với phương trình này ta cũng cần biết đổi để xuất hiện hàm số cần xét. TXĐ: D = R Trên D; (1) Xét hàm số với t R t R f(t) là hàm số đồng biến trên R Mặt khác (1) f(x - 1) = f(x2 - x) x - 1 = x2 - x x2 - 2x + 1 = 0 x = 1 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1 Bài 2: Giải các bất phương trình sau: a. b. c. d. Giải: a. TXĐ: D = Xét hàm số: f(x) = với x D Ta cũng nhận thấy f(x) là hàm số đồng biến trên D (vì f’(x) > 0 x D) Lại có: f(3) = 3; do đó, bất phương trình có nghiệm x thì . Vậy tập nghiệm là: T = ( 3 ; +) = b. (1) TXD: D=R, BPT (1) (2) Xét hàm số : trên R là hàm số đồng biến. Khi đó : (2) Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. c. (1) Điều kiện : x>-1, các hàm số và là các hàm số đồng biến trên khoảng ,nên hàm số là hàm số đồng biến trên khoảng . Mặt khác vậy (1) . Vậy nghiệm của bất phương trình là x>0. d. (1) Điều kiện: (1) (2) Xét hàm số , thấy ngay hàm số đồng biến trên. Vậy (2) Vậy nghiệm của bất phương trình là . Bài 3: Giải các hệ phương trình và bất phương trình sau: a) b) Giải: a. Điều kiện Hệ đã cho trở thành Xét hàm số + TXĐ: + Đạo hàm suy ra hàm số đồng biến trên D. Vậy phương trình (1) được viết dưới dạng . Khi đó hệ đã cho trở thành Giải (2): Ta đoán được x=1 là 1 nghiệm của (2), mặt khác dễ nhận thấy phương trình (2) có vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến. Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2), Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=y=1. Nhận xét: Đối với hệ phương trình, hệ bất phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi làm xuất hiện các phương trình giải được bằng phương pháp hàm số để đưa về mối quan hệ giữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giải tiếp. b. Giải (1): (1) Giải (2): xét hàm số trên (1;4) Có , Mặt khác , vậy Vậy nghiệm của hệ là 1<x<4. Nhận xét: Đối với giải hệ phương trình, hệ bất phương trình có 1 ẩn số ta có thể dùng phương pháp hàm số để giải từng phương trình hay bất phương trình của hệ rồi kết hợp các tập nghiệm tìm được để đưa ra kết luận về nghiệm cho hệ bất phương trình. II. Dạng 2: Sử dụng hàm số để biện luận phương trình Bài 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: a) (1) b) c) d) 561 Giải: a) (1) * Nhận xét: Bài tập này ta có thể giải bằng phương pháp thông thường. Tuy nhiên, nếu giải bằng phương pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện của ẩn số rất phức tạp. Ta sẽ giải bài này bằng cách sử dụng hàm số Giải: TXĐ: D = Trên D (1) Xét hàm số f(x) = với x D Ta có: f’(x) = f’(x) > 0 > 0 x > 3; f’(x) < 0 < 0 x < 1 Từ đó, ta có bảng biến thiên: x - 1 3 + f’(x) - + + + f(x) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m. Dựa vào bảng biến thiên ta có kết quả biện luận sau: - Nếu m < , đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = f(x), do đó phương trình (1) vô nghiệm. - Nếu m < , đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 1 điểm, do đó phương trình (1) có 1 nghiệm. - Nếu m , đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm, do đó phương trình (1) có 2 nghiệm. b) Viết lại phương trình dưới dạng (2) Xét hàm số là hàm số đồng biến trên R Vậy (2) + Giải và biện luận (I) - Với m=1 thì (3) vô nghiệm nên (I) vô nghiệm - Với m1 thì (3) có nghiệm , nó là nghiệm của (I) khi + Giải và biện luận (II) - Với m=-1 thì (4) nghiệm đúng với mọi x, nên (II) nhận x<1 làm nghiệm - Với m-1 thì (4) có nghiệm x=0, là nghiệm của (II) Kết luận: - Với m<-1 phương trình có nghiệm x=0 - Với m=-1 phương trình có nghiệm - Với -1<m<1, phương trình có nghiệm - Với m>1 phương trình có nghiệm x=0. c) (1) Viết lại phương trình dưới dạng (2) Xét hàm số là hàm số đồng biến trên R, vậy (2) - Nếu + Với m=2, (3) 0.x=0, nghiệm đúng với + Với m=-2, (3) 0.x=-9, phương trình vô nghiệm - Nếu Phương trình (3) có nghiệm duy nhất Kết luận: - Với , phương trình có nghiệm duy nhất - Với m=2, phương trình nghiệm đúng với - Với m=-2, phương trình vô nghiệm. d) (1) Viết lại phương trình dưới dạng: (2) Xét hàm số đồng biến trên khoảng . Vậy phương trình (2) trở thành : Biện luận: - Với 2m-3=0, khi đó (3) vô nghiệm nên (I) vô nghiệm - Với , khi đó (3) có nghiệm duy nhất , là nghiệm của (I) khi Kết luận: - Với thì phương trình có nghiệm - Với thì phương trình vô nghiệm. III. Dạng 3: Sử dụng hàm số tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình thoả mãn điều kiện cho trước. Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (1) Giải: (1) = x - 3 Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thoả mãn x 3 ở bài này ta có thể sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để giải. Tuy nhiên ta sẽ sử dụng hàm số để giải bài này. Xét phương trình (2) : Đặt f(x) = với x 3 Ta có: f’(x) = f’(x) = 0 Ta có bảng biến thiên: x - 3 4 + f’(x) - 0 + f(x) 4 + 3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình (2) có nghiệm x 3 m 3 Vậy phương trình (1) có nghiệm m 3. Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 4cosx - m.2cosx + m + 3 0 (3) Giải: Đặt 2cosx = t với t 2 (vì -1 cosx 1) Khi đó bất phương trình (3) trở thành: t2 - mt + m + 3 0 m(t - 1) t2 + 3 (4) + Nhận thấy: t = 1 không là nghiệm của bất phương trình, nên: Xét hàm số: f(t) = Ta có: f’(t) = < 0 t Do đó ta có bảng biến thiên: t - 1 2 + f’(t) ++ + +7 +- - - f(t) Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình (4) có nghiệm hệ (I) có nghiệm hoặc hệ (II) có nghiệm Vậy bất phương trình (3) có nghiệm Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x cos4x - 5cos3x - 36sin2x - 15cosx + 36 + 24m - 12m2 0 (5) Giải: TXĐ: D = R Trên D, (5) 3cos4x - 20cos3x + 36cos2x + 24m - 12m2 0 Đặt t = cosx với t Khi đó, ta có bất phương trình: 3t4 - 20t3 + 36t2 + 24m - 12m2 0 3t4 - 20t3 + 36t2 12m2 - 24m (6) Bất phương trình (5) nghiệm đúng với mọi x R bất phương trình (6) nghiệm đúng với mọi t Xét hàm số: f(t) = 3t4 - 20t3 + 36t2 với t Ta có: f’(t) = 12t3 - 60t2 + 72t = 12t(t2 - 5t + 6) f’(t) = 0 12t(t2 - 5t + 6) = 0 Khi đó ta có bảng biến thiên: t - -1 0 1 2 3 + f’(t) - 0 + f(t) 0 19 59 Dựa vào bảng biến thiên ta có: f(t) 12m2 - 24m t 12m2 - 24m 12m2 - 24m 0 0 m 2 Vậy với m thì bất phương trình (5) nghiệm đúng với mọi x R Bài 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm: Giải Giải (1) x Xét (2): (2) 3mx < - x3 - 1 Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của hệ; do đó ta có hệ BPT đã cho tương đương với: Đặt f(x) = với x D = Khi đó: f’(x) = f’(x) = 0 = 0 x = Ta có bảng biến thiên: x - -1 0 + f’(x) ++ + +0 +- - - f(x) Từ đó ta có: Hệ (I) có nghiệm m > 0 ; Hệ (II) có nghiệm m < Vậy hệ đã cho có nghiệm **) Nhận xét: Trong một số bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ. Tuy nhiên, việc tìm điều kiện đó gặp không ít khó khăn. Nếu ta sử dụng hàm số thì việc tìm điều kiện sẽ đơn giản hơn. Ta xét ví dụ sau: Bài 7: Cho phương trình: (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x Giải: Đặt t = ở đây, điều kiện cần là t > 0 nhưng nếu chỉ có điền kiện đó thì chưa đủ và ta chưa giải được bài này. Ta phải tìm điều kiện của t bằng cách sử dụng hàm số. Xét hàm số y = 2x - x2 với x Ta có: y’(x) = 2 - 2x y’(x) = 0 x = 1 Ta có bảng biến thiên: x - 0 1 + y’(x) + 0 - y(x) 0 1 Từ đó suy ra tập giá trị của y là y 20 21 1 t 2 Với điều kiện đó của t thì phương trình (1) trở thành: t2 + 2t + m - 3 = 0 m = -t2 - 2t + 3 (2) Phương trình (1) có nghiệm x phương trình (2) có nghiệm 1 t 2 Xét hàm số: g(t) = -t2 - 2t + 3 với t g’(t) = -2t - 2 g’(t) = 0 t = -1 Từ đó ta có bảng biến thiên: x - 1 2 + y’(x) 0 -5 - y(x) Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình (2) có nghiệm t m Vậy phương trình (1) có nghiệm x m Bài 8: Cho bất phương trình: mx - m + 1 (1) a. Tìm m để bất phương trình có nghiệm. b. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng . Giải: TXĐ: D = Trên D, (1) m(x - 1) + 1 m (vì: x D nên x - 1 > 0) Đặt f(x) = với x D Khi đó: f’(x) = f’(x) = 0 = 0 x = 7 - 2 Ta có bảng biến thiên: x - 3 7 - 2 7 + f’(x) + 0 - - f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta có: a. Bất phương trình có nghiệm m m b. Bất phương trình nghiệm đúng m m Bài 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 + 2sin2x = m(1 + cosx)2 (1) Giải: Trước hết ta nhận thấy: m , 1 + cosx 0 (vì nếu 1 + cosx = 0 thì: VT = 2 vô lý) Khi đó (1) m = Đặt t = Với x thì t Ta có phương trình: t4 - 4t3 + 2t2 + 4t + 1 = 2m (2) Khi đó PT (1) có nghiệm x PT (2) có nghiệm t Xét hàm số: f(t) = t4 - 4t3 + 2t2 + 4t + 1 với t f’(t) = 4t3 - 12t2 + 4t + 4 = 4(t - 1)( t2 - 2t - 1) f’(t) = 0 Ta có bảng biến thiên: x - -1 1 - 1 1 + + y’(x) - 0 + y(x) 0 4 4 Từ bảng biến thiên ta suy ra: phương trình (2) có nghiệm t 2m m Vậy phương trình (1) có nghiệm x m IV. Dạng 4: Sử dụng hàm số để đoán và vét hết tất cả các nghiệm của phương trình: Dạng này thường được sử dụng khi ta nhận thấy 2 về của phương trình là các hàm đồng biến hoặc nghịch biến, đồng thời ta đã nhẩm được 1 hay 2 nghiệm. Dạng bài tập này cho phép chúng ta dự đoán và chứng minh phương trình chỉ chó các nghiệm mà ta đã dự đoán. Ta xét các ví dụ sau: Bài 10: Giải các phương trình sau: a. 2x + 3x = 3x + 2 b. log5(2x + 1) = log3(x+1) c. *) Nhận xét: ở cả hai ví dụ trên ta đều thấy hai vế của phương trình đều là các hàm đồng biến. Mặt khác ở ví dụ a) ta nhẩm được 2 nghiệm là x = 0; x = 1 ở ví dụ b) ta nhẩm đựoc 2 nghiệm là x = 0; x = 2 Ngoài các nghiệm đó ra ta chưa biết là phương trình có còn nghiệm nào nữa không. Ta sẽ tìm cách chứng minh phương trình không còn nghiệm nào khác nữa. Giải: a. 2x + 3x = 3x + 2 (1) TXĐ: D = R Trên D (1) 2x + 3x - 3x - 2 = 0 Xét hàm số: f(x) = 2x + 3x - 3x - 2 với x D Ta có: f’(x) = 2xln2 + 3xln3 - 3 f’’(x) = 2xln2x + 3xln2x > 0 x R f’(x) là hàm số đồng biến x R Mặt khác f’(x) là hàm số liên tục x R Mà f’(0) = ln2 + ln3 - 3 < 0 f’(1) = 2ln2 + 3ln3 - 3 > 0 f’(0).f’(1) < 0 x0 sao cho f’(x0) = 0 x thì f’(x) < 0 x thì f’(x) < 0 Khi đó ta có bảnng biến thiên: x - x0 + f(x0) + + f’(x) - 0 + f(x) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số nếu cắt trục hoành thì sẽ cắt nhiều nhất tại 2 điểm. Do đó phương trình (1) sẽ có nhiều nhất 2 nghiệm Mặt khác ta nhẩm được: f(0) = 0 ; f(1) = 0 Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm x = 0; x = 1. b. log5(2x + 1) = log3(x+1) TXĐ: D = Đặt log3(x+1) = t x + 1 = 3t 2x + 1 = 2(3t - 1) + 1 = 2.3t - 1 Khi đó ta có phương trình: log5(2.3t - 1) = t 2.3t - 1 = 5t 2.3t - 5t - 1 = 0 Xét hàm số: f(t) = 2.3t - 5t - 1 với t R Ta có: f’(t) = 2.3t.ln3 - 5tln5 f’(t) = 0 2.3t.ln3 - 5tln5 = 0 t = f’(t) > 0 t Ta có bảng biến thiên: t - + f’(t) + 0 - - - f() f(t) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(t) và trục hoành. Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình f(t) = 0 nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là 2 nghiệm. Mặt khác ta có f(0) = 0; f(1) = 0 Từ đó suy ra phương trình f(t) = 0 có đúng 2 nghiệm t = 0; t = 1 Với t = 0 ta có: x + 1 = 30 x = 0 Với t = 1 ta có: x + 1 = 31 x = 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0; x = 2 c. (1) Điều kiện Biến đổi phương trình (1) về dạng Xét hàm số là hàm số đồng biến với t>0. Khi đó (2) viết dưới dạng Xét hàm số trên Có . Vậy g'(x) đồng biến trên D, mặt khác phương trình g'(t)=0 chỉ có 1 nghiệm . Vậy phương trình g(x)=0 không có quá 2 nghiệm trên D. Nhận xét: g(0)=g(1)=0. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=0 và x=1. Nhận xét: Đôi khi chúng ta phải sử dụng phương pháp hàm số nhiều lần trong giải một phương trình. Đ3. Một số bài tập tự giải: Bài 11: Giải các phương trình và bất phương trình sau: a. = x b. 2log3(tgx) = log2(sinx) c. d. 2x = + 1 e. Bài 12: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài 14: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x R: ( Bài 15: Cho phương trình: a. Giải phương trình với m = 3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm c. Tìm m để phương trình có nghiệm x d. Tìm m để phương trình có nghiệm x Bài 16: Cho bất phương trình: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thoả mãn Bài 17: Cho phương trình: a. Giải phương trình với m = 2 b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn: Bài 18: Cho bất phương trình: Tìm m để bất phương trình trên có nghiệm mà mọi nghiệm của bất phương trình đó đều không thuộc tập xác định của hàm số: y = C. Kết luận: Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng trong việc giải phương trình và bất phương trình. Trên đây là một số ứng dụng mà theo tôi là hay gặp trong khi giải phương trình và bất phương trình. Rất mong các thầy cô và các đồng chí góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thêm để sửa Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc, ta có 3 hướng áp dụng sau: Hướng 1: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng (1) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định hàm số f(x) đơn điệu (giả sử đồng biến) Xác định sao cho Bước 3: Nhận xét - Với , do đó là nghiệm - Với , do đó phương trình vô nghiệm - Với , do đó phương trình vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 2: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng (2) Bước 2: Xét hàm số và Dùng lập luận khẳng định hàm số y= f(x) là hàm số đồng biến còn hàm số y=g(x) là hàm số hằng hoặc nghịch biến. Xác định sao cho Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Hướng 3: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu. Bước 3: Khi đó (3) u=v,