Đề tài Sử dụng hằng đẳng thức và hệ thức vi-Ét đảo rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC & HỆ THỨC VI-ÉT ĐẢO RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI @&? - GV : VÕ QUANG HẢI - Đơn vị : Trường THCS Nguyễn Trường Tộ . Thành Phố Rạch Giá . Tỉnh Kiên Giang A . ĐẶT VẤN ĐỀ : I./ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua những năm giảng dạy ở trường THCS . Tôi nhận thấy rằng các em học sinh , nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường chuyên , trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này . Mà ở các kỳ thi đó , nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính căn . Phần lớn các em không làm được bài , bởi vì các em chưa nhận thấy được các biểu thức đã cho có liên quan đến một kiến thức rất quan trọng là hằng đẳng thức ( hệ thức VI-ÉT đảo) mà các em đã được học ở lớp 8 , 9 . Xuất phát từ tình hình đó , qua những năm giảng dạy và học hỏi ở đồng nghiệp , tôi rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân để có thể truyền dạy cho các em những kiến thức cơ bản để có thể giải quyết được vấn đề khó khăn ở trên . Chính vì vậy tôi mới chọn đề tài "Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai " II./ PHẠM VI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN : Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 9 và các học sinh khá , giỏi môn toán và được thực hiện trong các giờ luyện tập , ôn tập , ôn thi vào lớp 10 và các trường chuyên về giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức và thực hiện phép tính có chứa căn . B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ . I./ NHẬN XÉT CHUNG : Ở các kì thi học kì I , học kì II , ôn thi vào lớp 10 , vào các trường chuyên , học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính có chứa căn thức bậc hai . Muốn giải được bài tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 và phải biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập . Cái khó ở đây là các em học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thức chứa chữ , không có chứa căn , mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng căn thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 . Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên không làm được bài tập rút gọn . Vì vậy ta phải làm sao cho học sinh nhận thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 và hằng đẳng thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó vào việc giải bài tập . II./ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC : Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên , ta cần cho học sinh học kỷ bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 ( theo thứ tự ): Bình phương một tổng : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Bình phương một hiệu : ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = ( a + b ).( a – b ) Lập phương một tổng : ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Lập phương một hiệu : ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Tổng hai lập phương : a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 ) Hiệu hai lập phương : a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 ) Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ tự ) viết dưới dạng có dấu căn : Chú ý : + a ; b > 0 + Hằng đẳng thức số 4 ; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9 , nên tôi không đưa vào phần ghi nhớ ở lớp 9. Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai . III./ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN : Trong phần này tôi sẽ trình bày hai nội dung chính : I./ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC , RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI : Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập , tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai như sau : Bài tập 64/33 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau : a) Nhận xét đề bài : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau : tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3 ; 5 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái : Giải Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt : tương tự hđt số 2 lớp 9 . Tiếp tục biến đổi ta được kết quả : với a+b >0 và Nhận xét : a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 hđt số 1 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta biến đổi vế trái : Giải Bài 65 /34 sgk : Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 , biết : Nhận xét : có dạng hđt số 2 và 7 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán : Giải Bài 75 / 41 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau( câu c tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt ) Nhận xét : Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 : Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8 : Giải : Bài 76 / 41 sgk : Cho biểu thức( tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 2007-2008) Rút gọn Q Xác định giá trị của Q khi a = 3b Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta rút gọn câu a : Giải : Bài 85 / 16 sbt : Cho biểu thức : Rút gọn P Tìm x để P = 2 Nhận xét : Bài toán cho có hằng đẳng thức : và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P Giải : Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức : a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị của a để Q dương Nhận xét : Sau khi quy đồng mẫu thức , ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8 Giải : Bài 105 / 20 sbt :Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và ) Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hđt số 3 & 4 lớp 9 kết hợp với quy tắc đổi dấu . Áp dụng vào bài toán , biến đổi vế trái : Giải : Bài 106 / 20 sbt : Cho biểu thức : Tìm điều kiện để A có nghĩa Khi A có nghĩa . Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau : Áp dụng vào bài toán ta có lời giải: Giải : Biểu thức A không phụ thuộc vào a . Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức : Rút gọn B Tìm x để B = 3 Nhận xét : Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau : Áp dụng vào bài toán ta có : Giải : Bài 108 / 20 sbt : Cho biểu thức : Rút gọn C Tìm x sao cho C < -1 Nhận xét : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau : Áp dụng vào bài toán ta có : Giải : Bài 5 / 148 sbt : Rút gọn : Nhận xét : bài toán có hđt sau : . Áp dụng vào bài toán Giải : Bài 6 / 148 sbt : Chứng minh đẳng thức ( tuyển sinh vào lớp 10 năm 2006 ) Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau : Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái : Giải : Bài 7/148 sbt : Rút gọn biểu thức : Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau : Áp dụng vào bài toán ta có lời giải : Giải : MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH: Bài 1 : ( tuyển sinh vào lớp 10 năm 1996 – 1997 ) Rút gọn : Nhận xét : bài toán cho có hằng đẳng thức : Áp dụng vào bài toán ta có : Giải : Bài 2 : ( tuyển sinh lớp 10 chuyên năm 1998 ) Cho biểu thức : Tìm điều kiện để P có nghĩa Trong điều kiện đó , hãy rút gọn P Nhận xét : Bài toán cho có hđt : . Áp dụng vào bài toán ta có : Giải : Bài 3 : ( tuyển sinh lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 1999 – 2000 ) Cho biểu thức : Tìm điều kiện của x để P có nghĩa Rút gọn biểu thức M Tính giá trị của M khi x = -5 Nhận xét : Bài toán cho có các hđt sau : Áp dụng vào bài toán ta có : Giải : Bài 4 : ( tuyển sinh lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 2000 – 2001 ) Cho biểu thức : Rút gọn biểu thức M Tính giá trị của M khi a = 9 Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 1 ; 2 ; 3 lớp 8 . Áp dụng hđt , ta có lời giải Giải : Bài 5 :( tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 2001 – 2002) Cho biểu thức : Rút gọn P Tìm các giá trị của x sao cho P < 1 Tính giá trị của P nếu Nhận xét : Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức ta sẽ có hđt dạng số 2 lớp 9 : Giải Bài 6 : ( tuyển sinh vào lớp 10 năm 2002 – 2003 ) Cho biểu thức : Rút gọn biểu thức Tính giá trị của A khi a = 1/4 Nhận xét : Sau khi quy đồng ta có hđt sau : . Áp dụng vào bài toán ta có lời giải : Giải : Bài 7 : ( tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Huỳnh Mẫn Đạt năm 2002 – 2003 ) Rút gọn cho biểu thức : Nhận xét : Sau khi đặt nhân tử chung thì xuất hiện hđt sau : Áp dụng vào bài toán ta có lời giải . Giải : Bài 8 : ( tuyển sinh vào lớp 10 năm 2003 – 2004 ) Rút gọn biểu thức : Nhận xét : Bài toán cho có hđt : .Áp dụng vào bài toán ta có Giải Bài 9 : ( Tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm : 2005 – 2006 ) Rút gọn biểu thức : Nhận xét : Bài toán cho gồm có hđt sau : Áp dụng vào bài toán ta có lời giải Giải : II./ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐẢO VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI Bên cạnh bài toán cho rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai , đôi khi còn có những câu đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến . Đối với những câu yêu cầu tính mà chỉ có một dấu căn thức bậc hai thì không nói gì , nhưng có những câu mà ở các trường chuyên đưa ra lại có những biểu thức chứa căn chồng căn . Gặp trường hợp này đòi hỏi học sinh phải biết cách đưa biểu thức trong căn về lũy thừa bậc chẳn ( thường viết dưới dạng bình phương ) để khai phương . Muốn làm được điều đó , cần phải biết vận dụng thành thạo định lí đảo VI-ÉT ( tìm hai số biết tổng và tích ) và hằng đẳng thức ( bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu ). Sau đây tôi đưa ra một vài ví dụ đơn giản , để từ đó học sinh nắm bắt được cách làm để áp dụng vào bài toán : Ví dụ 1 : Rút gọn : Nhận xét : Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức : dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai phương dấu căn lớn . Để làm được điều này ta làm các bước sau : Bước 1 : Làm thế nào đó biến đổi trước dấu căn nhỏ phải có thừa số 2 ( bài toán đã cho ) Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4 và tích bằng 3 -> hai số đó là : 3 và 1 Bước 3 : Ta lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được ở bước 2 , rồi viết chúng dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn ) Chú ý : + Để tìm hai số có tổng là S và tích là P ta sử dụng định lí sau : " Nếu hai số a & b có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai : X2 – SX + P = 0 " . Điều kiện tồn tại hai số a & b là : . Có thể cho học sinh giải nhẩm hoặc gặp trường hợp khó thì dùng máy tính casio fx-500 để giải phương trình bậc hai tìm hai số a & b cho nhanh . + khi viết dưới dạng bình phương một hiệu ta nên viết hiệu đó có giá trị dương ( số bị trừ lớn hơn số trừ ) để khi khai phương , khỏi phải dùng dấu giá trị tuyệt đối . Áp dụng các bước trên vào ví dụ 1 , ta có lời giải sau : Ví dụ 2 : bài tập 15 / 5 sbt tập 1 : Chứng minh Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số đều khác 2 ( ), vì vậy ta phải biến đổi chúng như sau ( dùng phương pháp đưa thừa số vào trong dấu căn ): Bước 1 : Bước 2 : a) Tìm hai số biết tổng bằng 9 , tích bằng 20 -> hai số đó là : 5 và 4 ( dùng máy tính casio fx-500 giải phương trình : ) b) Tìm hai số biết tổng bằng 23 , tích bằng 112 - > hai số đó là : 16 và 7 Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn ) Giải Ví dụ 3 : Chứng minh đẳng thức ( sách bài tập , bài 98 / 18 tập 1 ) Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số là 1( ) vì vậy ta phải biến đổichúng như sau : Nhân cả tử và mẫu cho 2 Bước 1 : Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4 , tích bằng 3 -> hai số đó là 3 và 1 Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn ) Giải : Ba ví dụ lấy phía trên là ba trường hợp mà chúng ta thường gặp . Tùy theo từng loại bài , ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau , nhưng cơ bản là biết vận theo ba bước ở trên là ta có thể giải quyết được rất nhiều bài dạng như vậy . Sau đây là một số bài tập trong sách giáo khoa và một số bài trong các kì thi tuyển vào lớp 10 mà tôi chỉ giải dựa vào ba bước đã phân tích ở trên để giải , không phải làm chi tiết theo từng mục như ở trên Bài 21/6 sbt : Rút gọn biểu thức : Bài 100/19 sbt : Rút gọn biểu thức : MỘT SỐ BÀI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Bài 1 : Tính ( tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 1994 – 1995 ) Bài 2 : ( tuyển sinh lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong năm 2002 – 2003 ) Rút gọn biểu thức : S = A + B + C . CMR : S là một số tự nhiên Suy ra : S = A + B + C = 1+ 1 + 3 = 5 là số tự nhiên đpcm DÙNG PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI RÚT GỌN NÂNG CAO Bài 101 / 19 sbt : Tìm điều kiện và rút gọn Trước tiên ta làm sao cho xuất hiện hệ số ( thừa số ) 2 trước căn nhỏ Sau khi đưa được hệ số của căn nhỏ là 2 , ta còn lại hai thừa số đó là 2 và . Vậy 2 và là hai số a & b của hđt : ( a + b )2 hoặc ( a - b )2 . Vì số còn lại là x và trong dấu căn nhỏ là x – 4 , nên ta bớt đi 4 để có x – 4 = ta được a2 và thêm vào 4 để có 22 ta được b2 thế là ta có một hđt dạng : ( a + b )2 hoặc ( a - b )2 Giải : Bài 8 / 8 sbt đại số chương trình củ : Chứng minh : Nhận xét : làm tương tự như bài 101/19 ta có lời giải sau : Giải : Bài 9 : ( Tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm : 2005 – 2006 ) Rút gọn biểu thức : Rút gọn A Tính A khi Tìm x để A = -3 Nhận xét : bài này đã được làm trong phần trình bày nội dung thứ nhất . Bây giờ ta áp dụng phần nội dung thứ hai để giải câu b & c Giải : Còn rất nhiều bài tập mà ta có thể sử dụng hằng đẳng thức hoặc hệ thức VI-ÉT đảo để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính căn thức bậc hai . Những bài tập tôi đưa ra ở trên đã dược chọn làm đề thi , để cho các em học sinh nhận thấy được tầm quan trọng của hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ thức VI-ÉT đảo , qua đó các em có thể biết cách học và cách áp dụng vào việc rèn luyện giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và thực hiện phép tính có dấu căn . Mục đích của nội dung này là nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường mà hiện nay có chiều hướng đi xuống bởi vì một số em do chưa nắm bắt được kiến thức cơ bản và chưa biết cách vận dụng kiến thức vào làm bài tập. IV./ KẾT QUẢ THỰC HIỆN 1./ ĐỐI VỚI HỌC SINH : -Lúc chưa áp dụng đề tài , học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phải xuất phát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên . Nguyên nhân chính ở đây là các em chưa thuộc hằng đẳng thức hoặc có thuộc thì chỉ thuộc lòng , không biết cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu trên . Chính vì vậy phần lớn các em rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính có chứa dấu căn không ra đến kết quả cuối cùng - Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy rằng các em bắt đầu hiểu ra và biết cách áp dụng chúng một cách triệt để . Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài , làm được bài tăng lên rõ rêt . Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và thực hiện phép tính có chứa dấu căn : Năm học Áp dụng đề tài Kết quả điểm kiểm tra Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 2004 -2005 Chưa áp dụng 7% 12% 35% 40% 6% 2005 -2006 Đã áp dụng 15% 20% 45% 17% 3% 2006 -2007 Đã áp dụng 20% 30% 40% 10% 0% 2./ ĐỐI VỚI BẢN THÂN : Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều trong khâu phải giải bài tập cho học sinh(phần lớn các em giải không được )mà kết quả đem lại không được nhiều , giáo viên phải làm việc nhiều hơn học sinh , học sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức . Sau khi sử dụng đề tài này tôi thấy học sinh có ý thức học tập hơn , biết tự mình phát hiện ra kiến thức và biết áp dụng chúng , đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay . C/. KẾT LUẬN : Khi áp dụng đề tài vào quá trình giảng dạy , tôi nhận thấy học sinh rất có hứng thú trong học tập , bài giảng huy động được nhiều học sinh tham gia , các học sinh yếu kém cũng ó thể làm được bài tập đơn giản . Bên cạnh đó giáo viên đỡ phải vất vã thuyết trình mà chỉ gợi ý cho các em tự suy nghĩ và tự phát hiện ra kiến thức sau đó vận dụng . Trước nhu cầu chính đáng muốn vương lên học tốt của học sinh và hòa vào không khí thi đua dổi mới phương pháp dạy học hiện nay , tôi xin góp một số kinh nghiệm của mình để trao đổi với các đồng nghiệp , mục đích là nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường . Bài viết chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót . Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý của đồng nghiệp để đề tài được áp dụng rộng rãi trong học sinh .Xin chân thành cảm ơn ! Rạch sỏi , ngày 10 tháng 4 năm 2008 Người viết Võ Quang Hải Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT NHÀ TRƯỜNG -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ RẠCH GIÁ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------