Đề tài Sáng tạo bài toán mới từ bài toán quen thuộc

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ..˜&˜. Sáng kiến kimh nghiệm Đề tài: SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN QUEN THUỘC Người thực hiện: Văn Kim Hoàng TỔ :TOÁN – TIN NĂM HỌC 2004-2005 Đề tài: SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN QUEN THUỘC I)Đặt vấn đề: Rèn luyện khả năng đi sâu vào mỗi bài toán,phân tích các giả thiết ,các điều kiện,từđó tìm tòi các bài toán liên quan và sáng táo các bài toán mới,qua đó phát hiệnđược mối liên hệ giữa các giả thiết; trên cơ sở đó để vận đụng các kiến thức và có cách giải phù hợp. Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán cũng như phân loại được chúng và đoán nhận được quá trình hình thành từ đó có sự hiểu biết sâu sắc bài toán Trong quá trình đó học sinh sẽ khắc sâu và vận dụng tốt hơn, linh hoạt hơn các kiến thức đã học vàtừ đó cũng kích thích học sinh tự giác trong học tập ,tự tìm tòi sáng tạo Trong khuôn khổ bài viết này tôi chỉ xin đề cập đến việc thay đổi các giả thiết của một bài toán trong sách giáo khoa về phương trình đường thẳng để hình thành bài toán mới .Qua đó,củng cố các kiến thức như lập phương trình đường thẳng , công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, công thức góc II) Giải quyết vấn đề: * Bài toán xuất phát: Viết phương trình các đường cao của tam giác có 3 cạnh cho bỡi 3 phương trinh: x-y-2= 0 ;3x-y-5= 0; x- 4y -1 = 0 .Tìm toạ độ trực tâm của tam giác (Bài tập 5 trang 16 Sách hình học 12 ) Chúng ta có thể thay giả thiết để có một bài toán mới . Sau đây tôi chỉ xin đề xuất một vài trường hợp * Trường hợp 1) Giữ lai PT 2cạnh và thay PT 1 cạnh bỡi trực tâm Bài toán: PT 2 cạnh của một tam giáclà :5x – 2y + 6= 0 ; 4x +7y – 21 = 0 và trực tâm tam giác trùng với gốc toạ độ .viết PT cạnh thứ ba Lược giải: Gọi (AB): 5x-2y+6=0 (AC): 4x+7y-21=0 Ta có A( 0;3 ) Đường caoBO có PT: 7x-4y =0 .B= Tư đó ta có B(-4;-7) PT (BC) là : y= -7 * Trường hợp 2) 2 cạnh và trọng tâm Bài toán: Cho có cạnh AB: 4x+y+15=0 ;AC: 2x+5y+3=0 Và trọng tâm G(-2;-1). Viết phương trình BC Lược giải: Ta có A(-4;1) là giao điểm của AB và AC M(-1;-2) với M là trung điểm BC nên xC =-2-xB và yC =-4-yB mà C AC nên :2(-2-xB ) + 5(-4-yB) + 3 = 0 2xB + 5yB + 21 = 0 (1) mà B AB nên 4xB + 5yB + 15 = 0 (2) Giải hệ (1) và (2) ta có B(-3;-3) Nên PT đường thẳng BC là x-2y – 3 = 0 * Trường hợp 3) 2cạnh và trung điểm cạnh thứ 3 Bài toán: Cho co AB: x+ y – 2 = 0 và AC: 2x + 6y + 3 = 0 M(-1;1) là trung điểm của BC .Lập PT cạnh BC Lược giải: Ta có : A(15/4;-7/4) .Đường thẳng qua M và // AB có PT :x+y=0 Cắt AC tại N(3/4;1/4).Vì n là trung điểm AC nên C(-9/4;1/4) Từ đó ta có PT cạnh BC * Trường hợp 4) 1đỉnh; đường cao; trung tuyến Bài toán: Lập PT các cạnh biết C(4;-1)đường cao và trung tuyến kẽ từ mộy đỉng có PT:2x-3y+12=0 và 2x+3y=0 Lược giải: Ta có CAB và AM Gọi AH: 2x-3y+12 =0 va AM: 2x+3y=0 Ta có A(-3;2)>Từ đó có PT AC:3x+7y-5=0 .BC qua C và vuông gócAH nên có PT :3x+2y-10=0 Từ đó ta có toạ độ trung điểm M của BC là M(6;-4)B(8;-7) Do đó PT AB :9x+11y+5=0 * Trường hợp 5) 1 đỉnh ; 2trung tuyến Bài toán: : Lập PT các cạnh biết A(1;3) và 2 trung tuyến có PT : x-2y+1=0 : và y-1=0 Lược giải: Toạ độ trọng tâm là G(1;1).Gọi E là điểm đối xứng của A qua G ta có E(1;-1) Lập PT đường thẳng qua Evà //BG; qua E và //CG từ đó tìm được B(5;1) và (-3;-1) PT các cạnh :AB: x+2y-7=0 ; BC: x-4y-1=0; CA: x-y+2=0 * Trường hợp 6) 1 đỉnh ; 2 đường cao Bài toán : Lập PT các cạnh biết B(-4;-5) và 2 đường cao có PT : 5x+3y-4=0 và 3x+8y+13=0 Lược giải: Ta co C 2 đường cao đẫ cho BCAH: 5x+3y-4=0 và qua C nên có PT:3x-5y-13=0 ACBH:3x+8y+13=0 và qua C nên có PT8x-3y+17=0 Từ đó có A(-1;3)và B(1;-2) nen PT AB:5x+2y-1=0 * Trường hợp 7) 1 đỉnh ;đường cao và phân giác trong Bài toán: Lập PT các cạnh biết B(2;-1); đường cao kẽ từ A:3x-4y+27=0 Và phân giác trong gócC :x+2y-5=0 Lược giải: PT BC: 4x+3y-5=0 C(-1;3) Gọi phân giác trong góc C là CD ta có Dùng công thức góc giữa 2 đương thăng ta có PT AC: y-3=0 Tư đó ta có A(-5;3) nên PT AB: 4x+7y-1=0 * Trường hợp 8) 1 đinh và 2 phân giác trong Bài toán : Cho biết A(2;-1)và phương trình 2 đường phân giác trong góc B và C lần lượt là (dB): x-2y+1=0 ; (dC) :x+y+3=0 .Lập PT cạnh BC Lược giải: Gọi A1 là điểm đối xứng A(2;1) qua đường( dB) ta có A1(0;3) Gọi A2 là điểm đối xứng A(2;1) qua đường( dC) ta có A2(-2;-5) Đường thẳng qua BC cũng là đường thẳng qua A1A2 nên có PT: 4x-y+3=0 * Trường hợp 9) 1 đỉnh ;trọng tâm; trung trực Bài toán: Cho biết A(-1;-3); trọng tâm G(4;-2) và trumg trực canh AB là ():3x+2y-4=0 .Tìm phương trình cạnh BC Lược giải: Ta có PTcạnh AB: 2x-3y-7=0 ;toạ độ trung điểm I của AB là I(2;-1) do đó B(5;1) Vì G(4;-2) là trọng tâm nên đùng công thức tính toạ độ trọng tâm ;ta có C(8;-4) Tư đo suy ra PT BC Trên đây là vài trường hợp thay đổi giả thiết để tạo bài toán mới tương đối đơn giản; chúng ta có thể thay đổi thêm giả thiết để tạo nên bài toán phức tạp hơn;chẳng hạn: Bài toán1) : Cho có đỉnh A(2;-3); B(3;-2);diện tích S=3/2 và trọng tâm G (d):3x-y-8=0 .tìm đỉnh C Lược giải: Ta co S=3/2 1/2.Trung điểm M của AB có toạ độ M(5/2;-5/2) vàAB= | xG-yG-5 | = 1 và G (d) nên :3xg-yG-8=0 Từ đó ta có G(1;-5) hoặc G(2;-2) mà C(-2;-10) hoặc C(1;-1) Bài toán2): Cho vuông tại A BC: .Bán kính đường tròn nội tiếp băng 2 Tìm toạ độ trọng tâm G của (ĐH CĐ Khối A 2002) Lược giải: Gọi A(a;0)Phân giác trong góc B: Phân giác trong góc A :x+y-a=0 mà d(I;Ox)= 2 nên | yI | = =2 hoặc Từ đó ta có ; Bài toán 3) Cho có AB=AC ; .Biết M(1;-1) là trung điểm BC và G(2/3;0)là trọng tâm tam giác. Tìm toạ độ các đỉnh A;B;C (ĐH CĐ Khối B 2003) Lược giải: Ta có: A(0;2) vuông can nên BC AM nên PT BC:x-3y+4=0 (1) Và MA=MB =MC= nên (x-1)2+(y+1)2= 10 (2) Giải hệ (1) và (2) ta đượcB(4;0); C(-2;-2) Trên cơ sở tam giác ta có thể thay giả thiết chuyển sang tứ giác Bài tâp1) Cho hình vuôngABCD có đỉnh A(-4;5)và một đường chéo có PT: 7x-y+8=0 Lập PT các cạnh và đường chéo còn lại Lược giải: Ađường chéo đã cho Đường chéo thou 2 AC: 7x+y-31=0 I(-1/2;9/2) (với I là tâm hình vuông) Tư đó C(3;4) Lập PT cạnh qua A và tạo BD một góc 450 Ta có PT 2 cạnh AB;AD Và suy ra PT 2 cạnh còn lại Bài tập 2): Cho hình bình hành ABCD với A(1;0) ; B(2;0)và giao điểm 2 đường chéo là I thuốc đường thẳng:y=x .Biết SABCD = 4 .Xác định Cvà D Lược giải: Ta có d(C;AB) = mà SABCD = 4 d(C;AB) =4 nên = 4 Nhưng Iđt y=x và I là trung điếm AC Tư đó xác định C;D Bài tập3) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0);phương trình AB:x-2y+2=0 Và AB= 2AD Tìm toạ độ A;B;C;D biết A có hoành độ âm (ĐH CĐ Khối B 2002) Lược giải: Ta có d(I;AB) = vàIA=IB =.Do đó A;B là giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn tâm I ;bán kính R= Nên ta được A(-2;0); B(2;2)9( vĩ xA<0)C(3;0)và D(-1;-2) Trên đây là một vài trường hợp thay đổi giả thiết để có bài toán mới .Trong thực tế giảng dạy ta có thể có rất nhiều cách khác để tạo ra bài toán sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh ;qua đó động viên khuyến khich để học sinh tư tạo ra bài toán và tìm tòi lời giải từ đó học sinh sẽ hiểu sâu sắc hơn những kiến thức đã học và vận đụng thành thạo hơn.