Đề tài Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp toạ độ trong không gian

MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học giải tích là một phân môn của Hình học được xây dựng lên từ các khái niệm cơ bản giống như hình học thuần tuý là: Điểm, Đường, mặt,..., và cũng tuân theo các tiên đề Ơclít nhưng điểm khác biệt giữa Hình học giải tích và Hình học thuần tuý là: Điểm, đường, mặt trong Hình học giải tích được định vị bởi hệ toạ độ Đề-Các vuông góc thông qua toạ độ của điểm, phương trình đường, mặt. Bằng cách đưa vào không gian một hệ toạ độ, mỗi véctơ, mỗi điểm trong không gian đều được xác định bởi toạ độ của nó. Khi đó ta có thể chuyển nhiều bài toán Hình học sang Đại số & Giải tích và ngược lại, từ kết quả của Đại số ta suy được một số tính chất và mối quan hệ giữa các hình hình học. Trong các đề thi tốt nghiệp THPT, các đề thi Đại học - Cao đẳng những năm gần đây phần Hình học không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải được bằng cả hai phương pháp: Phương pháp Hình học không gian thuần tuý và Phương pháp toạ độ trong không gian. Tuy nhiên, việc giải toán Hình học không gian thuần tuý của đa số học sinh là chưa tốt vì nhiều lý do: Thời lượng của môn Hình học không gian lớp 11 chưa nhiều nên kỹ năng giải bài tập Hình không gian của đa số các em học sinh là chưa tốt. Hơn nữa, Hình học không gian là phân môn có nhiều lý thuyết khó ghi nhớ và vận dụng vào giải toán. Bên cạnh đó Phương pháp toạ độ trong không gian lại có những ưu điểm vượt trội so với phưng pháp Hình học không gian thuần tuý như: Tư duy đơn giản; đại số hoá các mối quan hệ giữa các yếu tố: Điểm, Đường, Mặt; Ít khi phải vẽ các hình quá phức tạp.... Vì những lý do trên tôi xin mạnh dạn đưa ra một số ý kiến của mình để việc rèn luyện kỹ năng giải toán hình không gian bằng phương pháp toạ độ cho học sinh lớp 12 được tốt hơn thông qua sáng kiến “Phương pháp toạ độ trong không gian” của mình. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đưa ra một số các dạng toán cơ bản có thể sử dụng “Phương pháp toạ độ trong không gian ”để giải quyết, góp phần nâng cao năng lực giải toán của học sinh lớp 12. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh khối 12- THPT PHẠM NGŨ LÃO. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực hiện nghiên cứu cần thực hiện phối hợp linh hoạt các phương pháp nghiên cứu. 1. Nghiên cứu lý luận Phân tích chương trình môn toán SGK 12. Nghiên cứu về kỹ năng sử dụng “Phương pháp toạ độ trong không gian” trong các tài liệu lý luận, sách tham khảo. 2. Thực nghiệm và rút kinh nghiệm Thông qua dự giờ thăm lớp, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, với các bạn đồng nghiệp, trao đổi và sát hạch học sinh bằng các bài kiểm tra. Từ đó rút ra kinh nghiệm giảng dạy. V.CẤU TRÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Mở đầu Tiềm năng và thực tiễn của việc rèn luyện kỹ năng sử dụng “Phương pháp toạ độ trong không gian” cho học sinh lớp 12. Định hướng và biện pháp rèn luyện kỹ năng sử dụng “Phương pháp toạ độ trong không gian” cho học sinh lớp 12. Tài liệu tham khảo. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. Tiềm năng của “Phương pháp toạ độ trong không gian” Phương pháp toạ độ trong không gian là phương pháp xây dựng hệ toạ độ từ các giả thiết của hình học không gian, để từ đó chuyển các mối quan hệ giữa các Điểm, Đường, Mặt trong Hình học không gian sang các mối quan hệ giữa các Điểm, Đường, Mặt trong Hình học giải tích. Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin đưa ra một số dạng bài có thể giải được bằng “Phương pháp toạ độ trong không gian”: F Tính độ dài của đoạn thẳng. F Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. F Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. F Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng. F Tính góc giữa hai đường thẳng. F Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. F Tính góc giữa hai mặt phẳng. F Tính diện tích đa giác. F Tính thể tích khối đa diện. F Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc. 1. Bài toán tính khoảng cách & Một số công thức về khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D = 0 là: d(M0,(P)) = . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) đi qua điểm M0 và có véctơ chỉ phương là: d(M,(D)) = . Khoảng cách giữa hai đường thẳng: (D1) đi qua điểm M1 , có véctơ chỉ phương và (D2) đi qua điểm M2 , có véctơ chỉ phương là: d((D1),(D2)) = . F Ví dụ 1.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a và vuông góc với đáy. Hãy: Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) ? O A D C B S z y x Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng (SBC)? Tính khoảng cách từ trọng tâm G của DSAB đến mặt phẳng (SAC)? Tính khoảng cách từ G đến CD? Tính khoảng cách từ BM đến CD với M là trung điểm SD? G: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a). Suy ra: = = Þ O. a) Ta có: = (a;0;-a), = (a;a;-a) Þ [,] = a2(;0;1) Þ Phương trình mặt phẳng (SBC) là: x + z - a = 0. Þ d(A,(SBC)) = = . b) d(O,(SBC)) = . c) Trọng tâm G của DSAB là: G = . Lại có: =(0;0;-a) Þ [,] = a2(1;-1;0) Þ Phương trình mặt phẳng (SAC) là: x - y =0. Suy ra: d(G,(SAC)) = . d) Ta có: = (-a;0;0) , = Þ [,] = Þ = mà =a nên d(G,CD) = = . e) M có toạ độ là Þ = Þ ,] = & = a2 Þ ,]. = Þ d(BM,CD) = = . 2. Bài toán tính góc & Một số công thức về góc: Công thức tính góc a giữa hai đường thẳng (D1) có véctơ chỉ phương và (D2) có véctơ chỉ phương là: Cosa = . Công thức tính góc a giữa hai mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến và (Q) có véctơ pháp tuyến là: Cosa = . Công thức tính góc a giữa hai đường thẳng (D) có véctơ chỉ phương và mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến là: Sina = . F Ví dụ 1.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a. SO vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 600. Tính SO và MN ? Tính góc ? Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) ? G: Chọn hệ toạ độ sao cho: O(0;0;0), OA - trục hoành, OB - trục tung, OS - trục cao. Khi đó, ta có: A , C , B D . a) Giả sử S(0;0;z) ta có: M = , N = Þ = . Mà mặt phẳng (ABCD) có véc tơ pháp tuyến là: = (0;0;1) nên Sin(MN, (ABCD)) = Û = Û . Vì S thuộc tia Oz nên ta chỉ lấy z = . Suy ra: SO = và MN = = . b) Ta có: = , = Þ cos = cos = = Þ = arcCos . c) Phương trình mặt phẳng (SAB) theo đoạn chắn là: + + = 1 Û x + y + z - = 0. Suy ra, một véc tơ pháp tuyến của (SAB) là: = (;;1). Mặt khác, (ABCD) º Oxy nên có véc tơ pháp tuyến = (0;0;1) . Do đó: Cos = = Þ = arcCos . 3. Bài toán tính diện tích đa giác và thể tích khối đa diện & Một số công thức tính diện tích đa giác và thể tích khối đa diện thường sử dụng: Diện tích D ABC: dt(DABC) = . Diện tích hình bình hành ABCD: dt(hbh ABCD) = . Thể tích tứ diện A.BCD: VABCD = .. Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V = [,]. . F Ví dụ 1.3: Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A'B'C'D' coù AB=a, AD=2a, AA'=a. Tính theå tích töù dieän AB'D'C ? G: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;2a;0), D(0;2a;0), A’(0;0;a). Suy ra: B’(a;0;a), D’(0;2a;a) Þ = (a;2a;0), = (a;0;a), = (0;2a;a) Þ [,] = (2a2;-a2;-2a2) Þ [,]. = -4a3 Suy ra: VAB’D’C = = . F Ví dụ 1.4: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' coù caïnh baèng 1 Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, BB' .Chöùng minh raèng ? Tính ñoä daøi ñoïan MN ? 2) Goïi P laø taâm cuûa maët CDD'C' . Tính dieän tích ? G: Ta chọn hệ toạ độ sao cho: D(0;0;0), A(1;0;0), C(0;1;0), B(1;1;0), B’(1;1;1), A’(1;0;1), D’(0;0;1). Suy ra: M( ;0;0), N(1;1;). Ta có: = (1;-1;1), = (;1;) Þ . = 0 Þ AC ^ MN; MN = = = . Tâm P của hình vuông CDD’C’ có toạ độ là: (0;;) Þ = (- ;;-) Þ [,] = (- ; ;- ) Þ dt( DMNP) = = . 4. Bài toán chứng minh các quan hệ song song, vuông góc F Ví dụ 1.5: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a, SA vuoâng goùc vôùi ñaùy và SA = a. Goïi M, N laø hai ñieåm theo thöù töï thuoäc BC,DC sao cho . CMR hai maët phaúng (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc vôùi nhau ? G: Ta chọn hệ toạ độ sao cho A(0;0;0), D(a;0;0), B(0;a;0), S(0;0;a), C(a;a;0). Vì BM = = BC nên M là trung điểm BC Þ M = ( ;a;0); DN = = DC; Ta có: = Þ N(a;;0) Þ = (0;0;-a), = ( ;a;-a) Þ [,] = (2;-1;0) Þ = (2;-1;0) là một véc tơ pháp tuyến của (SAM). Mặt khác, = (a;;-a) Þ [,] = - (2;4;5) Þ (2;4;5) là một véctơ pháp tuyến của (SMN). Suy ra: . = 2.2 -1.4 + 0.5 = 0 Þ (SAM) ^ (SMN ). F Ví dụ 1.6: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua BC. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho , CMR hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau ? G: Ta dựng đường thẳng DD’ nằm trong mặt phẳng (ABCD) và song song với BC Þ DD’ ^ AD. Gọi H là trung điểm BC ta có: BH = = , DH = = a. Chọn hệ toạ độ sao cho: D(0;0;0), DD’ là trục hoành, DA là trục tung, DS là trục cao. Ta có: A(0;a;0) , S (0;0;a ), B(;a;0), C(-;a;0). Þ = (0;a;-a ), = (;a;-a ) Þ [,] = - (; ;2) Þ = (; ;2) là một véctơ pháp tuyến của (SAB). Lại có: = (- ;a; -a ) Þ [,] = (-; ;2) Þ = (-; ;2) là một véctơ pháp tuyến của (SAC). Suy ra: . = 0 hay (SAB) ^ (SAC). II. Thực tiễn của việc rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian cho học sinh lớp 12 Những thuận lợi khi rèn luyện cho học sinh lớp 12 kỹ năng sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải toán hình học không gian Thứ nhất, học sinh lớp 12 đã được trang bị đầy đủ các kiến thức về hình học không gian trong chương trình hình học lớp 11 nên đã có khả năng phát hiện ra “đầu vào của bài toán hình học không gian” (những giả thiết đã được cung cấp và những giá trị đó có giá trị gì ?). Thứ hai, tư duy về hình học toạ độ của học sinh lớp 12 đã được hình thành và rèn luyện từ phương pháp toạ độ ở chương trình hình học lớp 10 nên việc nắm bắt kiến thức về hình học giải tích có nhiều thuận lợi, để từ đó có cơ sở để giải quyết các bài toán hình không gian dưới dạng toạ độ. Thứ ba, phương pháp toạ độ trong không gian không đòi hỏi người sử dụng phải tư duy và vẽ hình quá phức tạp như phương pháp giải toán hình không gian thuần tuý. 2. Thực tiễn và những ghi nhận khi nghiên cứu ứng dụng phương pháp toạ độ trong không gian cho học sinh lớp 12 tại trường THPT Phạm Ngũ Lão @ Thực tiễn nghiên cứu: Sau hai năm liên tiếp giảng dạy học sinh lớp 12 tôi nhận thấy: số lượng học sinh tìm hiểu và sử dụng được phương pháp toạ độ trong không gian còn rất ít (có lớp 12 ban cơ bản không có học sinh một nào nắm được phương pháp này). Một số học sinh biết làm bài tập hình không gian bằng phương pháp toạ độ nhưng chưa hiểu rõ đặc điểm và cơ sở của phương pháp này là gì? Các em này làm bài tập theo kiểu nhớ dạng bài quen thuộc nên khi gặp bài toán có nội dung không “gần gũi ”với các dạng bài đó thì các em hoàn toàn bế tắc trong việc chuyển đổi bài toán hình học không gian sang bài toán hình giải tích. Bước khó khăn nhất của đa số của các em khi sử dụng phương pháp này là: cách chọn hệ toạ độ ® Tìm toạ độ các điểm liên quan đến “đầu ra của bài toán” (yêu cầu của bài toán). Nguyên nhân chủ yếu của vấn đề này là: kiến thức về hệ toạ độ là rất yếu, trong khuôn khổ chương trình sách giáo khoa được học các em ít chú ý tới bài mở đầu là: Hệ toạ độ. Mà bài này chính là bài cung cấp kiến thức nền để chuyển đổi bài toán hình không gian sang hình giải tích để từ đó giải quyết nó bằng phương pháp toạ độ. @ Hướng giải quyết vấn đề Đưa phương pháp này vào giảng dạy trong chủ đề tự chọn nâng cao với các lớp ban cơ bản và chủ đề tự chọn bám sát với các lớp ban KHTN. III. Định hướng và biện pháp rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian cho học sinh lớp 12 Xây dựng quy trình giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ trong không gian Để học sinh có được một kỹ năng thành thục khi sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải bài tập thì việc xây dựng cho các em một quy trình cụ thể cho mỗi dạng bài là một ‘’ động tác’’ hết sức quan trọng . Sau đây là quy trình chung cho các dạng bài phổ biến : + Bước 1 : Nhận dạng phương pháp (thông qua giả thiết của bài toán. Ví dụ : Hình đa diện mà có đáy là hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông, tam giác đều và một đương thẳng nào đó vuông góc với đáy thì ta nên nghĩ đến việc sử dụng phương pháp toạ độ). + Bước 2 : Chọn hệ trục toạ độ thích hợp. (Căn cứ vào bước1, chú ý yếu tố vuông góc, song song) ; Tìm toạ độ các điểm hiệu dụng (các điểm liên quan đến kết luận) + Bước 3 : Chuyển kết luận của bài toán hình không gian sang kết luận bằng toạ độ. + Bước 4 : Giải quyết bài toán mới được chuyển đổi bằng phương pháp toạ độ. + Bước 5 : Kết luận. Lưu ý : Tuỳ thuộc từng bài toán mà giáo viên đưa ra quy trình cụ thể, không nhất thiết phải làm theo cả 5 bước trên trong những trường hợp không cần thiết. F Ví dụ 3.1: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi coù AC=4, BD=2 vaø taâm O, SO=1 vuoâng goùc vôùi ñaùy. Tìm ñieåm M thuoäc ñoaïn SO caùch ñeàu hai maët phaúng (SAB) vaø (ABCD) ? %Nhận xét: Từ giả thiết SO ^ (ABCD) và AC ^ BD tại O nên ta sẽ nghĩ đến việc chọn O làm gốc toạ độ và đương nhiên là AC, BD, OS sẽ là 3 trục toạ độ. G: Chọn hệ toạ độ sao cho O(0;0;0), S(0;0;1), A(-2;0;0), C(2;0;0), B(0;-1;0), D(0;1;0) (vì OA = OC = = 2, OB = OD = = 1). Giả sử M Î SO thoả mãn bài ra ta có: M(0;0;c) Þ = (-2;0;-1), = (0;-1;-1) Þ [,] = (-1;-2;2) Þ Phương trình mặt phẳng (SAB) là: x + 2y - 2z + 2 = 0. Lại có, (ABCD): z = 0. Điểm M cách đều hai mặt phẳng (SAB) & (ABCD) Û d(M,(SAB)) = d(M,(ABCD)) Û = Û +) Với c = -2 ta có M(0;0;-2) khi đó M và S sẽ nằm ở hai phía của O và OM = 2. +) Với c = ta có M(0;0;) khi đó M sẽ nằm giữa O và S mà OM = . F Ví dụ 3.2: Cho töù dieän OABC (vuoâng taïi O), bieát raèng OA,OB,OC laàn löôït hôïp vôùi maët phaúng (ABC) caùc goùc . Chöùng minh raèng: ? G: Chọn hệ toạ độ sao cho O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0). C(0;0;c), Ta có: = (-a;b;0), = (-a;0;c) Þ [,] = (bc;ac;ab) = . Suy ra: Sina = = . Tương tự ta có: Sin b = ; Sing = ADCT: cos2u = 1 - sin2u, "u Î R ta có: cos2 a + cos2b + cos2g = 3- -- = 2. F Ví dụ 3.3: Cho töù dieän OABC coù ba caïnh OA;OB;OC ñoâi moät vuoâng goùc. Goïi laàn löôït laø caùc goùc giöõa maët phaúng (ABC) vôùi caùc maët phaúng (OBC), (OCA) vaø (OAB).Chöùng minh raèng : ? G: Chọn hệ toạ độ sao cho O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Ta có: [,] = (bc;ac;ab) = , [,]] = (bc;0;0) = , [ ,] = (0;ac;0) = [,] = (0;0;ab) = . Suy ra: Cosa = = ; Cosb = = ; Cosb = = . Þ Cosa + Cosb + Cosb = + + Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhia - Copski ta có: Từ đó ta có điều phải chứng minh. F Ví dụ 3.4: Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a taâm I . Treân hai tia Ax, Ct cuøng chieàu vaø cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) laàn löôït laáy hai ñieåm M, N. Ñaët AM=x, CN=y. a) Tính theå tích hình choùp ABCMN ? b) CMR ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc MIN=900 laø 2xy=a2 ? G: Chọn hệ toạ độ sao cho A(0;0;0), D(0;0;a), B(0;a;0), C(0;a;a). Từ đó ta có: M(x;0;0), N(y;a;a), I(0;a/2;a/2) Þ = (0;-a;-a), = (0;0;-a), = (y;0;0), = (x;-a;-a) Þ [,] = (a2;0;0), [,] = (-a2;-ax;0). a) Thể tích của hình chóp ABCMN: VABCMN = VABCM + VBCMN = + = + = a2(x + y) (Đvtt). b) Ta có: = (-x;a/2;a/2), = (-y;-a/2;-a/2). Suy ra: Cos (,) = . (Đpcm) Bồi dưỡng năng lực nhận dạng bài toán có thể sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian cho học sinh lớp 12 Một việc hết sức quan trọng để học sinh có khả năng sử dụng linh hoạt phương pháp toạ độ trong không gian để giải toán sau khi trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về hình học giải tích như: cách dựng và chọn hệ toạ độ, toạ độ của điểm, toạ độ của véctơ trong không gian, các công thức tính khoảng cách và góc,..., là hình thành khả năng nhận dạng bài toán nào, dạng toán nào có thể giải được nhờ phương pháp toạ độ trong không gian ? Đây không phải là một việc đơn giản có thể thực hiện trong một tiết học, một buổi học mà học sinh phải trải qua một quá trình hình thành tư duy về ứng dụng toạ độ vào giải các bài tập từ đơn giản đến phức tạp. Muốn thực hiện được mục tiêu này thì giáo viên phải thường xuyên tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận, thực hiện và dần dần chiếm lĩnh nó. Chẳng hạn, khi yêu cầu học sinh tính diện tích của thiết diện tạo bởi một mặt phẳng (a) đi qua AB tạo với đáy ABCD (là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a ) một góc 450 cắt hình chóp S.ABCD. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a? Đa số học sinh sẽ giải bài toán này bằng các phương pháp thông thường. Sau khi học sinh thực hiện lời giải bằng các phương pháp đó giáo viên có thể gợi mở để học sinh áp dụng phương pháp toạ độ để gải quyết bài toán này. Sau đây là lời giải bằng phương pháp toạ độ: Nhận xét: Hình chóp có đáy là hình chữ nhật và đường thẳng SA vuông góc với đáy ABCD thì ta nên nghĩ ngay đến việc chọn A làm gốc toạ độ và AB, AD, AS là 3 trục toạ độ. G : Chọn hệ toạ độ sao cho : A(0 ;0 ;0), B(a ;0 ;0), C(a ;2a ;0), D(0 ;2a ;0), S(0 ;0 ;a ). Suy ra : = (a ;2a ;-a), = (0 ;2a ;-a) Þ PTTS của SC :  ; SD : = (a ;0 ;0). Do (a) đi qua AB nên phương trình của (a) có dạng By + Cz = 0 (B2+C2 ≠ 0) Như vậy ta có = (0 ;B ;C) là véctơ pháp tuyến của (a) ; = = (0 ;0 ;1) Vì = 450 nên = Û B = ± C. Do đó có hai khả năng xảy ra : +) Với B= C thì (a) : y + z = 0. Dễ thấy giao điểm M, N của SC, SD và (a) có toạ độ là : M = (-a ;-2a ;2a) và N = (0 ;-2a ;2a). Từ đó ta có : Diện tích thiết diện ABMN là : Dt(€ABMN) = dt( DABM) + dt(DAMN) = + = a2 + a2 = 2a2 (Đvdt). +) Với B = -C ta làm tương tự. KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm đã góp phần làm sáng tỏ sự cần thiết phải rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải Toán hình học không gian, đặc biệt là học sinh lớp 12. Sáng kiến cũng đã chỉ ra tiềm năng, thực tiễn và những định hướng cho việc rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải Toán đối với học sinh lớp 12, đó là: + Xây dựng quy trình giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ trong không gian. + Bồi dưỡng năng lực nhận dạng bài toán có thể sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian cho học sinh lớp 12. Mặc dù điều kiện còn khó khăn và phạm vi nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu thực nghiệm ở một nhà trường THPT nhưng sáng kiến đã đưa ra những luận điểm xác thực, đáng tin cậy và có tính ứng dụng cao. þ Kết quả thực nghiệm phương pháp toạ độ trong không gian áp dụng cho các lớp 12 A1, 12A2, 12A7: F Lớp 12A1: Số học sinh sử dụng thành thạo và linh hoạt phương pháp đạt 79%. F Lớp 12A2: Số học sinh sử dụng thành thạo và linh hoạt phương pháp đạt 55%. F Lớp 12A2: Số học sinh sử dụng thành thạo và linh hoạt phương pháp đạt 30%. ( Đề xuất: nên đưa việc áp dụng phương pháp toạ độ trong không gian vào chủ đề tự chọn bám sát với ban KHTN và chủ đề tự chọn nâng cao với ban cơ bản để giáo viên có thời lượng truyền đạt phương pháp này cho học sinh. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, các em học sinh khối 12 khoá 2008 - 2010 Trường THPT PHẠM NGŨ LÃO đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến! Do kinh nghiệm giảng dạy còn chưa nhiều nên sáng kiến kinh nghiệm của tôi không tránh khỏi có những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, trao đổi và chia sẻ của các thầy, cô, các bạn đồng nghiệp để sáng kiến của tôi ngày càng hoàn thiện hơn và trở thành một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn trong giảng dạy ! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Phạm Quốc Thi - Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian - ĐHSP HÀ NỘI 2 – 2003. [2]. Trần Thị Vân Anh - Phương pháp giải toán tự luận Hình học giải tích 12 – NXB Đại học quốc gia Hà Nội- 2008.