Đề tài Sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số Đặt vấn đề Trong đại số các bái toán tìm giá trị lớn nhât,nhỏ nhất của một biểu thức đại số có một vị trí khá quan trọng .Dạng toán này rất hấp dẫn song tương đối khó ,khi gặp dạng toán này rất nhiều học sinh thường lúng túng,ngay cả học sinh giỏi cung hay mắc sai sót khi trình bay lời giải,đặc biệt đối với học sinh lớp 10 khi các em chưa học đến khái niệm đạo hàm. Chính vì vậy trong khuôn khổ bài viết này tôi xin nêu một số phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức đại số đối với học sinh lớp 10 và một số sai lầm khi tìm GTLN ,GTNN của một biểu thức đại số. Giải quyết vấn đề Trong giải toán, việc phân loại dạng toán đóng một vai trò quan trọng, nó Quyết định đến việc hình thành phương pháp giải,lời giải ngắn gọn nhất chinh xác nhất.Trong bài viết này tôi xin nêu một số dạng toán tìm GTLN và GTNN thường gặp. I-Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc hai Phương pháp chung. 1.Để chứng minh. Min P(x,y...) = a (a-hằng số) Ta chứng minh hai phần: a, b, sao cho 2.Để chứng minh. Max P(x,y,..) = b Ta chứng minh: 3.Các dạng thương gặp: a, (a là hằng số,) Nếu có Thì Min P(x,y,..) = a b, (b là hằng số,) Nếu có Thì Max P(x,y,..) = b Các bài toán vận dụng: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất(GTNN) của biểu thức: Lời giải: Ta có: Ta thấy . Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi x-1=0 hay x=1 Vậy Min P =8 khi x=1 Bài2: Tìm GTLN của biểu thức. B= - Lời giải: Ta có: Dấu (=) xảy ra Vậy Max B =10 Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức : C = Lời giải1: Ta có : Xét g(x) = (2) Dấu (=) xảy ra khi x+ Vậy Min C = khi x=2y và x-2y = 0 Nhận xét: Dấu bằng xảy ra ở (1) khi x=2y và x=1, còn dấu bằng ở (2) xảy ra khi x= Như vậy khi x= hai dấu bằng không đồng thời nên giá trị nhỏ nhất của g(x) không phải là giá trị nhỏ nhất của biểu thức C. Đây là một sai lầm mà học sinh hay mắc phải. Lời giải đúng như sau: Lời giải 2: Ta có: Dấu (=) xảy ra Vậy Min C =- II-Tìm GTLN và GTNN của phân thức: Đối với các phân thức mà tử và mẫu đều là cavs phân thức bậc hai ta có thể giải như sau: Phương pháp 1: Chuyển về xét GTLN,GTNN của phân thức tử là nhị thức bậc nhất rồi so sánh giá trị của tử và mẫu. Phương pháp 2: Chuyển vế rồi xét phương trình (PT)bậc hai có nghiệm. Phương pháp 3: Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc Cauchy,BunhiaCốp Ski. Các bài toán áp dụng: Bài 4:Tìm giá nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: A = Lời giải1(Sử dụng phương pháp1) Ta có: A=1+ Với Z(x) = Vì x2+1>0 Nên GTLN (Z(X)) đạt được khi tử thức dương và GTNN (Z(X)) đạt được khi tử thức âm. a,Với thì Z(x) =0 A=1 b,Với > 0 thì GTLN (A) = 1+ GTLN Z(x) So sánh tử và mẫu thức của Z(x) nhờ áp dụng bất đẳng thức: từ đó Z(x) = Đẳng thức xảy ra khi lúc đó GTLN(A) =1+ GTLN(Z) =5 khi c,Với Xét tương tự như trên: Từ Từ đó: Đẳng thức xảy ra khi Lúc đó GTNN(A) = 1 + GTNN(Z)= 1- 2= -1 Lời giải2 :(Dùng phương pháp2) Với mỗi giá trị x0ta có giá trị A0 của biểu thức thoả mãn: Ta có thể coi là nghiệm của phương trình (A0-1)-4+A0-3=0 (1) Trong đó A0 là tham số.Ta thấy A0=1 Với , điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là 0 Dễ thấy Vậy GTNN A=-1 khi x= GTLNA=5 khi x= Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức: B= Lời giải Ta thấy biểu thức B có dạng phân thức mà tử thức và mẫu thức là hàm hai biến bậc hai ta cũng có thể giải theo hai cách như bài số 4. Dùng phương pháp 2 Đặt (1) Trong đó x là ẩn số,coi y là tham số tuỳ ý ,còn z là tham số có điều kiện. Xét 2 trường hợp: a, z=0x + 2y +1 =0 b, z0 PT(1) có nghiệm khi và chỉ khi: Coi (2) là bất phương trình ẩn y, bất phương trình xảy ra khi (Vì a=-4z2<0) Khi z nhận các giá trị này thì đẳng thức xảy ra ở (2) và ở (1). Khi đó và Vậy MaxB = khi x=1 và y=2 Min B =- khi Bài6: Cho biểu thức. C= Với giá trị nào của xthì biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất ? Lời giải: Điều kiện để C có nghĩa là : 0<x1 Sauk hi rút gọn ta được : C= Để C đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị lớn nhất. Đặt Ta có: Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng khi Hay MinC =4 khi Nhận xét: Lời giải trên đây là sai .Đây là sai lầm hay mắc khi tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của một phân thức mà tử và mẫu thức chưa phải luôn dương. (C > 0 khi 01) Biểu thức C không có giá trị nhỏ nhất. Thật vậy: Vì C1 Nên giả sử C có giá trị nhỏ nhất tại x=x0 thì x0 >1 Khi đó xét x0>x1>1 Thì: Điều này mâu thuẫn với giả thiết C(x0) là giá trị nhỏ nhắt. Chứng tỏ C không có giá trị nhỏ nhất. III- Tìm GTLNvà GTNN của biểu thức đại số chứa dấu trị tuyệt đối. Phương pháp chung: 1.Vận dụng bất đẳng thức: Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi ab 2.Loại bỏ dấu ‘’ xét khoảng rồi so sánh. Bài 7:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Lời giải 1: (Dùng phương pháp 2 ) Ta có : D = Xét các khoảng: . x<2009: D= (2009-x) + (2010-x) = 4019 -2x > 1 .: D= x-2009 + 2010 - x =1 .x > 2010 D= x- 2009 + x- 2010 D= 2x – 4019 >1 Vậy MinD = 1 khi Lời giải 2(Dùng phương pháp1) Ap dụng bất đẳng thức : Dấu ‘=’ xảy ra khi ab Ta có : D = MinD = 1 khi (x-2009)(2010-x) 0 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E= Lời giải : (Sử dụng phương pháp 1) Điều kiện Ta có: E= = Dấu ‘=’ xảy ra Vì Vậy Min E =2 khi Chú ý: Bài toán 7,8 ta đã sử dụng đẳng thức Bài9: Cho a< b < c < d là bốn số thực bất kỳ ,với giá trị nào của x ta có biểu thức : F(x) = đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: Ta có : Dấu ‘=’ xảy ra Tương tự: Dấu ‘=’ xảy ra F(x) = Dấu ‘=’ xảy ra ( vì a< b<c<d) Vậy MinF(x) = d+c –b-a khi IV-Tìm GTLN và GTNN bằng cách dùng các bất đẳng thức quen thuộc 1.Bất đẳng thức Cauchy Với n số không âm a1,a2.an ta luôn có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2. Bất đẳng thức Bunhia Cốp Ski Cho 2 dãy số và ta luôn có ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Các bài toán áp dụng: Bài 10:Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn: Tìm giá trị lớn nhất của tích: A=xyz Lời giải: Từ (gt) ta có: Ap dụng bất thức Cauchy cho hai số dương và Ta có: Tương tự : Từ đó ta có: Hay A = xyz Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Vậy Max A = khi và chỉ khi x=y=z= Bài 11:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B= Lời giải: ĐK: Ap dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm Ta có; Hay B= Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Vậy Max B = khi Bài 12: Cho a,b là hai số dương thoả mãn: a2+b2=4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C= Lời giải: Ap dụng bất đẳng thức Bunhia Cốp Ski ta có; Hay C= Dấu bằng xảy ra Vậy Max C = Bài 13: Cho a,b dương cố định,x,y là hai số dương thay đổi sao cho: Tìm GTNN của: a, P= xy b, Q= x + y Lời giải: a,Theo bất đẳng thức Cauchy ta có : Hơn nữa với Vậy Min P = 4ab khi b,Theo bất đẳng thức Bunhia Côp Skki ta có : (Vì ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: Vậy MinQ = Bài 14: Cho x,y thoả mãn : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = x + 2y Lời giải: Ap dụng bất đẳng thức Bunhia Cốp Ski ta có : Vậy Max M = Min M = Trên đây mới chỉ nêu một số phương pháp giải toán tìm GTLN và GTNN thường gặp đối học sinh lớp 10 mà bản thân tôi đã áp dụng trong việc giảng dạy, truyền đạt cho học sinh những năm qua. C – Kết quả: Nhờ việc phân loại và hình thành các phương pháp cụ thể trong việc truyền đạt kiến thức cho học sinh trong công tác giảng dạy mà tôi đã đạt được những kết quả khá khả quan . Thật vậy : Khi được phân công giảng toán 10, qua giảng dạy và trò chuyện với các em, các em đều tâm sự :‘Giải toán tìm GTLN,GTNN’’rất khó mặc dù các em đã được làm quen từ lớp dưới.Qua việc học hỏi đồng nghiệp và nỗ lực cố gắng tìm tòi của bản thân tôi đã dần dần hướng dẫn cho các em những thủ pháp cơ bản thường gặp để giải các bài toán tìm GTLN,GTNN của các biểu thức đại số. Kết quả là:Từ chỗ các em lúng túng ,bỡ ngỡ khi gặp các bài toán ‘Tìm GTLN,GTNN’ các em tự tin hơn ,say sưa hơn trong việc học toán và giải toán. Bằng tinh thần trách nhiệm và sự học hỏi không ngừng đã giúp tôi thành công ,đó là điều thôi thúc tôi làm tốt hơn nữa. D-Bài học kinh nghiệm. Trong quá trình giảng dạy và rèn luyện cho học sinh theo những phương pháp này,tôi đã rút ra những kinh nghiệm khi giảng dạy về giải toán tìm GTLN,GTNN như sau: . Trước hết giáo viên phải nhận thức được đây là dạng toán khó,phức tạp nên học sinh dễ chán.Vì vậy giáo viên phải tạo được hứng thú học tập cho học sinh.Muốn vậy giáo viên phải chuẩn bị tốt kiến thức để truyền thụ cho học sinh một cách ngắn gọn,dễ hiểu,lôgích khoa học. .Sau mỗi dạng bài đặc trưng theo một phương pháp khác nhau,giáo viên cần nêu rõ bước làm, khi nào thì dùng phương pháp này và áp dụng phương pháp này như thế nào? Đặc biệt là có nhận xét sâu sắc những sai lầm mà học sinh hay mắc phải để khắc sâu kiến thức. .Để làm tốt những điều trên ,người giáo viên phảI thực sự yêu nghề mến trẻ,thực sự tâm huyết với nghề nghiệp.Thường xuyên trao dồi tri thức khoa học ,không ngừng học hỏi bạn bè đồng nghiệp .Luôn tìm tòi phương pháp và áp dụng tốt đối vói từng đối tượng học sinh. Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi trong việc dạy học sinh giải toán: ‘Tìm GTLN,GTNN’trong những năm qua mà tôi đã đạt được kết quả tốt. Tôi kính mong đồng nghiệp và các bạn chân thành bổ xung ,góp ý . Tôi xin chân thành cảm ơn./. Tiền Hải, ngày04 tháng 6 năm 2009 Đánh giá,nhận xét của BGH Người viết Phạm Văn Thịnh