Đề tài Phương pháp hướng dẫn học sinh làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Phần mở đầu I /Lý do chọn đề tài: 1, Lý do khách quan: ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với học sinh , có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Giải Toán là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng Toán vào thực tiễn. Đồng thời hình thành ở người học các phẩm chất của người lao động như: Cẩn thận, chính xác, sáng tạo, độc lập, kiên trì... Chính vì vậy, tổ chức một cách có hiệu quả việc hướng dẫn học sinh làm bài tập Toán có một vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán. Trong chương trình Toán THCS nói chung và Đại số 8 nói riêng, các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử chiếm một vị trí quan trọng. Bởi vì, nó là cơ sở, là tiền đề giúp học sinh làm tốt các dạng toán trong chương trình Đại số 8 và chương trình Đại số 9. Đặc biệt, nhờ kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử học sinh có thể làm tốt các dạng toán như: Rút gọn, tìm x, tìm nghiệm nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất... Từ thực tiễn giảng dạy cho thấy, đa số học sinh còn lúng túng và rất ngại học phần kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử- Bởi đây là dạng toán không có phương pháp giải chung mà chỉ thông qua một số ví dụ cụ thể để xây dựng cách giải cho từng dạng bài cụ thể. Đặc biệt, nó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các cách giải một cách hợp lí. Chính vì vậy, đa số học sinh khi làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử đều rơi vào vòng luẩn quẩn hoặc cho kết quả không như mong muốn. Bên cạnh đó, trong các kì thi vào cấp 3, thi học sinh giỏi các bài toán đòi hỏi phải vận dụng kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử để giải là nhiều nhưng số học sinh làm được là ít do đó kết quả chưa cao. Song, việc nhận dạng và giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như thế nào cho phù hợp với phương pháp mới và nhằm phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh, đặc biệt là tạo cho học sinh lòng tin, sự yêu thích môn học, đạt được mục đích giáo dục của bộ môn, nâng cao chất lượng giáo dục là cả một vấn đề lớn đối với giáo viên đứng lớp ở trường THCS, đặc biệt là đối với giáo viên “ không chuyên”. 2, Lý do chủ quan: Đứng trước sự thay đổi lớn của ngành, bản thân là một giáo viên mới ra trường được phân công dạy bộ môn Toán 8 tôi không khỏi lúng túng và bỡ ngỡ. Song nhiệm vụ chuyên môn đặt ra và để thích ứng với phương pháp dạy học mới, đặc biệt là phương pháp hướng dẫn học sinh làm toán phân tích đa thức thành nhân tử như thế nào để kích thích tính tích cực, năng lực tư duy sáng tạo của học sinh và khả năng vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử một cách chủ động , thuần thục vào giải toán, tôi không khỏi băn khoăn trăn trở. Bằng sự hiểu biết nhất định của mình, tôi đưa ra một vài ý kiến của mình về phương pháp hướng dẫn học sinh làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nhằm góp phần giải đáp những vướng mắc nói trên của nhiều giáo viên đứng lớp nói chung và bản thân tôi nói riêng. Đây cũng chính là lí do khiến tôi chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu. II/ Mục đích nghiên cứu: Tôi chọn đề tài này nghiên cứu với mục đích tìm ra cách giải tốt nhất cho bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Phát huy tính tích cực của học sinh và thực hiện tốt phương pháp dạy học mới hoàn thành nhiệm vụ chuyên môn được giao. Đồng thời góp phần nâng cao chất lượng bộ môn nói chung và năng lực chuyên môn của bản thân nói riêng. III/ Khách thể và đối tượng nghiên cứu: 1, Khách thể nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trường THCS Thiệu Ngọc khoá học 2005- 2006 và khoá học 2006- 2007 2, Đối tượng nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử IV/ Giả thiết khoa học: - Đề tài được áp dụng rộng rãi, đúng qui trình, đúng thao tác sẽ giúp cho đối tượng có lòng yêu thích môn học thực sự, có khả năng tự chiếm lĩnh tri thức một cách chủ động có hiệu quả. - Đề tài có thể rèn luyện cho học sinh biết cách nhận dạng bài tập, vận dụng kiến thức một cách chủ động linh hoạt vào giải Toán. - Đánh giá đúng kết quả học tập của học sinh một cách toàn diện( không chỉ nhớ mà hiểu, không chỉ nắm kiến thức mà có kĩ năng thực hành). - Sau khi áp dụng đề tài chất lượng bộ môn nói riêng và chất lượng toàn diện nói chung được nâng lên một cách rõ rệt. V/ Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm ra cách nhận dạng, phân loại và phương pháp làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử - Phát huy được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh cũng như chức năng cơ bản của bộ môn Toán. VI/ Giới hạn đề tài: Môn Đại số 8 phần kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử. VII/ Những đóng góp mới cũng như ý nghĩa lí luận và thực tiễn của đề tài: 1, ý nghĩa lí luận: Kết qủa nghiên cứu của đề tài đóng góp một phần nhất định vào phát triển lí luận dạy học Toán nói riêng , các môn khác nói chung thông qua giải toán phân tích đa thức thành nhân tử. Nâng cao hiểu biết về phương pháp làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử. Khẳng định được vai trò của việc dạy học giải bài tập Toán học. 2, ý nghĩa thực tiễn: - Nâng cao năng lực chuyên môn của bản thân nhất là phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng bộ môn của trường. - Rèn luyện cho học sinh kĩ năng làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng các kiến thức đó vào các dạng toán có liên quan. Kích thích tư duy sáng tạo,tích cực tự giác của học sinh, phát huy được dụng ý, vai trò của SGK mới. VIII/ Phương pháp nghiên cứu: - Dự thảo nội dung nghiên cứu. - Xây dựng đề cương nghiên cứu. - Thu thập và xử lí thông tin: Đọc và nghiên cứu tài liệu. - Khảo sát thực tế. - Tìm hiểu thái độ của học sinh đối với việc học tập bộ môn . - Hướng dẫn học sinh chủ động lĩnh hội và sử dụng tri thức Toán học thông qua giải toán phân tích đa thức thành nhân tử. - Học hỏi một số giáo viên có kinh nghiệm. PHầN Nội dung A/ Cơ sơ lí luận: Giải toán là bộ phận không thể tách rời của quá trình tri thức, nó đảm bảo cho học sinh không những hiểu biết lí thuyết Toán một cách vững chắc mà còn biết vận dụng những tri thức Toán học vào thực hành. Chỉ có trong quá trình áp dụng lí thuyết tổng quát và trừu tượng vào những ví dụ cụ thể và những bài toán nhiều loại mới có thể hiểu biết lí thuyết một cách đầy đủ. Chính vì vậy, hướng dẫn học sinh giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò hết sức quan trọng. Thực tiễn dạy học phân tích đa thức thành nhân tử cho thấy, mỗi bài tập toán đều có chức năng và dụng ý khác nhau. Để nắm bắt được điều đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các tính chất cơ bản, các qui tắc, thuật toán... kết hợp với điều kiện bài toán đã cho để đưa bài toán về dạng đơn giản nhất. Từ đó để học sinh tìm được hướng giải quyết bài toán một cách tốt nhất, góp phần phát triển ở học sinh năng lực tư duy, rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. Đồng thời góp phần kiểm tra quá trình dạy – học của giáo viên – học sinh từ đó kịp thời hoàn chỉnh, bổ sung để việc dạy học có hiệu quả. G. Polya từng nói : “Tìm được cách giải cho một bài toán là một phát minh”. Vì vậy, để hướng dẫn học sinh làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử có hiệu quả giáo viên cần giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Đặc biệt, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán bằng cách nắm vững quy trình của một bài làm : - Phân tích, nhận xét đề bài. - Xây dựng chương trình giải. - Thực hiện chương trình giải. - Kiểm tra – nghiên cứu lại lời giải. Qua đó hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng giải toán cũng như khả năng tư duy phẩm chất trí tuệ. B/. Tình hình thực tiễn: I. Thực tiễn khảo sát trước khi áp dụng đề tài: Qua tìm hiểu, khảo sát thực tế học sinh khối 8 trường THCS Thiệu Ngọc cho thấy, đa số các em còn lúng túng và mơ hồ khi giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Hầu hết các em chỉ làm được dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ đơn giản như phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. Còn khi gặp phải các dạng toán khó hơn các em tỏ ra lúng túng không tìm được hướng để giải quyết bài toán hoặc có làm được nhưng kết quả không được như mong muốn. Đặc biệt, ở dạng toán này đòi hỏi ở học sinh sự vận dụng linh hoạt, sáng tạo đối với từng bài cụ thể chứ không có phương pháp giải chung nên chỉ có một số ít học sinh có học lực trung bình khá trở lên giải được. Hơn nữa, trong sách giáo khoa chỉ giới thiệu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là : Phương pháp đặt nhân tử chung ; Phương pháp dùng hằng đẳng thức ;Phương pháp nhóm hạng tử và phương pháp phân tích bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. Tuy nhiên, trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay cả 3 phương pháp trên để giải ( Ví dụ như bài 53 và bài 57 SGK Đại số 8 Tập I). Điều đó dẫn đến chất lượng của giờ dạy cũng như kết quả đạt được của học sinh là chưa đạt yêu cầu đề ra. Cụ thể khảo sát chất lượng học sinh khối 8 như sau: Năm học Số học sinh Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 2005-2006 120 1 0.8 15 12.5 48 40 36 30 20 16.7 2006-2007 145 2 1.4 30 20.7 51 35.1 41 28.3 21 14.5 II. Nguyên nhân dẫn đến thực tiễn: - Đây là dạng toán khó, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức và kĩ năng một cách nhuần nhuyễn. Hơn nữa, giáo viên chưa xây dựng cho học sinh hệ thống các phương pháp giải đối với từng dạng bài. Do đó chưa tạo ra sự hứng thú và kích thích tính tò mò của học sinh. - Bản thân phụ huynh học sinh còn nhận thức sai lệch về việc học của con em mình. Đa số học sinh chưa ham học, đặc biệt phần đông học sinh là con em nông thôn nên thời gian dành cho việc học của các em là chưa nhiều. - Bản thân giáo viên mới ra trường, phương pháp mới theo chương trình thay sách còn bỡ ngỡ. - Có nhiều đối tượng học sinh trong một lớp, dẫn đến khó khăn trong việc áp dụng các phương pháp dạy học. III. Các giải pháp đã áp dụng: Từ thực tiễn và các nguyên nhân nói trên, đồng thời thấy rõ vai trò và ý nghĩa của việc giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử .Đặc biệt, để giúp học sinh phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo trong quá trình giảng dạy tôi đã áp dụng một số phương pháp sau: Trước hết, để hướng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ngoài việc cho học sinh biết bản chất của vấn đề là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của những đa thức, giáo viên cần tập cho học sinh biết xem xét mối liên quan của các đại lượng trong bài toán, từ đó suy nghĩ để lựa chọn cách giải tốt nhất cho các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử theo hệ thống từ dễ đến khó,từ đơn giản đến phức tạp.ở mỗi dạng Toán đều nêu rõ phương pháp giải thường dùng nhất đối với dạng bài tập đó; Các ví dụ giải mẫu và các bài tập tương tự. Cụ thể như sau: DạNG 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. ở dạng này tôi đưa ra một số phương pháp giải theo trình tự từ đơn giản đến phức tạp để giúp học sinh nắm bắt được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó vận dụng linh hoạt các kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử vào làm các bài tập thường gặp một cách có phương pháp. 1. Phương pháp đặt nhân tử chung: Khi các hạng tử của một đa thức có chung một nhân tử ta có thể đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc theo công thức: A.B + A.C = A ( B + C ). Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối giữa phép nhân đối phép cộng các đa thức. Trong đó, cần lưu ý học sinh, nhân tử chung của một đa thức với hệ số nguyên gồm : - Hệ số là ước chung lớn nhất của các hệ số trong mọi hạng tử. - Các luỹ thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi luỹ thừa là số mũ nhỏ nhất của nó. Ví dụ 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử. - 13x4y3 + 26x2y2z2 – 39xy2z3 * Phân tích bài toán: - ƯCLN ( 13; 26; 36 ) = 13 - Số mũ nhỏ nhất của x trong các hạng tử là 1 - Số mũ nhỏ nhất của y trong các hạng tử là 2 Khi đó ta đặt nhân tử chung là - 13xy2 * Hướng dẫn : - 13x4y3 + 26x2y2z2 – 39xy2z3 = - 13 xy2 (x3y – 2xz2 + 3z3 ) Giáo viên cần lưu ý học sinh:Khi phân tích đa thức thành nhân tử phải phân tích triệt để. Ngoài ra, trong một số bài toán để làm xuất hiện nhân tử chung, ta cần đổi dấu các hạng tử, cách làm đó dùng tính chất A = - ( - A). Ví dụ 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 3( x – y ) – 5x( y – x) * Phân tích bài toán : ở bài toán này ta thấy x – y và y – x là đối nhau, do đó để làm xuất hiện nhân tử chung ta phải đổi dấu y – x = - (x – y) * Hướng dẫn : 3( x – y ) – 5x( y – x) = 3( x – y ) + 5x( x – y) = ( x – y)( 5x + 3) Để học sinh hiểu rõ hơn, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm các số hạng viết trong ngoặc sau nhân tử chung bằng cách lấy các hạng tử của đa thức đã cho chia cho nhân tử chung. 2, Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Đối với đa thức chứa một trong các vế của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thì ta có thể dùng hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản. Ví dụ 1 ( Bài 43 SGK Tr 20): Phân tích đa thức thành nhân tử. x2 + 6x + 9 * Phân tích bài toán : Đa thức này có ba hạng tử và bậc của đa thức là 2; dấu của tất cả các hạng tử đều dương nên ta áp dụng công thức bình phương của một tổng. Vì 6x = 2. 3x và 9 = 32 nên ta áp dụng hằng đẳng thức a2 + 2ab + b2 =(a + b)2 *Hướng dẫn: x2 + 6x + 9 = x2+2.3.x+32 =(x+3)2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử (x2+4)2- 16x2 *Phân tích bài toán: Vì 16x2= 42.x2=(4x)2 nên ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương a2- b2=(a-b)(a+b). Khi đó: (x2+ 4)2- 16x2=(x2+ 4+ 4x)(x2+ 4- 4x) áp dụng tiếp hằng đẳng thức a2 + 2ab + b2 =(a + b)2 và a2 - 2 ab + b2 =(a - b)2 ta đưa bài toán về dạng luỹ thừa của một đa thức đơn giản. *Hướng dẫn: (x2+4)2- 16x2=(x2+4)2-(4x)2= (x2+4+4x)(x2+4-4x) = (x+2)2(x-2)2 Giáo viên cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức cần nhận xét đa thức đã cho có mấy hạng tử? Dấu các đa thức đó như thế nào? Đa thức có dạng bình phương hay lập phương ? để lựa chọn hằng đẳng thức áp dụng cho phù hợp. Cụ thể, đối với dạng bình phương hoặc lập phương cần lưu ý học sinh một số vấn đề sau: - Nếu đa thức có dạng bình phương thì xét xem đa thức đó có bao nhiêu hạng tử: +Nếu đa thức có 2 hạng tử thì áp dụng hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương +Nếu đa thức có 3 hạng tử thì xét dấu các hạng tử trong đa thức: . Nếu dấu của tất cả các hạng tử trong đa thức đều dương thì áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng. . Nếu dấu của các hạng tử tự do và hạng tử bậc 2 trái dấu với hạng tử bậc nhất thì áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu. - Nếu đa thức có dạng lập phương thì xét xem đa thức đó có bao nhiêu hạng tử: + Nếu đa thức đó có 2 hạng tử thì áp dụng hằng đẳng thức hiệu 2 lập phương hoặc tổng 2 lập phương tuỳ thuộc vào dấu của đa thức. +Nếu đa thức có 4 hạng tử thì xét dấu của các hạng tử: . Nếu dấu của tất cả các hạng tử đều dương thì áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng. . Nếu dấu của các hạng tử trong đa thức có dấu cộng, trừ xen kẽ thì áp dụng hằng đẳng thức lập phương cuả một hiệu. Ngoài 7 hằng đẳng thức đã học, đối với đối tượng học sịnh khá giỏi giáo viên có thể giới thiệu thêm dạng tổng quát của hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương và hiệu 2 lập phương: an- bn= (a-b)(an-1+an-2.b+...+ a.bn-2+ bn-1) hay dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng 2 lập phương: an+ bn= (a+b)(an-1-an-2.b+an-3.b2-...- a.bn-2+ bn-1) (với n lẻ) 3, Phương pháp nhóm các hạng tử: Dùng tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức , ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp để làm xuất hiện các nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức, chẳng hạn: ab +ac –db -dc=(ab + ac)- (db+dc)=a(b+c)-d(b+c)=(b+c)(a-d) Khi hướng dẫn học sinh làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử giáo viên cần lưu ý học sinh, khi nhóm các hạng tử phải nhóm “thích hợp” tức là: - Mỗi nhóm đều có thể phân tích được. - Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì qúa trình phân tích phải tiếp tục được. Ví dụ1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x2+8xy-3x-6y * Phân tích bài toán: Nhóm 4x2 với 8xy và -3x với –6y thành nhóm, rồi áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung để đưa bài toán về dạng tích. * Hướng dẫn: 4x2+8xy-3x-6y= (4x2+8xy)-(3x+6y)=4x(x+2y)-3(x+2y) = (x+2y)(4x-3) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x2+4x-y2+4 *Phân tích bài toán: Nhóm 3 hạng tử x2+4x+4 thành một nhóm, sau đó áp dụng hằng đẳng thức a2 + 2ab + b2 =(a + b)2 và a2- b2=(a-b)(a+b) *Hướng dẫn: x2+4x-y2+4 =(x2+4x+4)- y2= (x+2)2- y2 = (x+2- y)(x+2+ y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x2- xz- 9y2+ 3yz *Phân tích bài toán: Nhóm x2 và -9y2 thành một nhóm; -xz và 3yz thành một nhóm. Vận dụng hằng đẳng thức a2- b2=(a-b)(a+b) và đặt nhân tử chung. *Hướng dẫn: x2- xz- 9y2+ 3yz = (x2-9y2)- (xz-3yz)= (x-3y)(x+3y)-z(x-3y) = (x-3y)(x+3y-z) Để nhấn mạnh thêm, giáo viên có thể lưu ý học sinh: Nếu bài toán trên ta nhóm thành các nhóm như sau : (x2-xz)-(9y2-3yz)= x(x-z)-3y(3y-z) thì việc phân tích tiếp là không thực hiện được. Ngoài ra, khi nhóm các hạng tử có trường hợp áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích tiếp,có trường hợp áp dụng phương pháp hằng đẳng thức hoặc phải áp dụng đồng thời cả 2 phương pháp trên để giải. 4, Phân tích bằng cách phối hợp nhiều phương pháp: Trên thực tế khi phân tích đa thức thành nhân tử ta thường phối hợp nhiều phương pháp như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử. Để việc vận dụng đồng thời cả 3 phương pháp trên có hiệu quả, khi phân tích đa thức thành nhân tử nên theo qui trình sau: - Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung. - Dùng hằng đẳng thức nếu có. - Nhóm nhiều hạng tử (thường mỗi nhóm có nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu trừ trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử. Ví dụ (Bài 51b SGK): Phân tích đa thức thành nhân tử 2x2+ 4x+ 2- 2y2 *Phân tích bài toán: Đặt nhân tử chung là 2 ra ngoài, biểu thức trong ngoặc còn là(x2+2x+1-y2), nhóm x2+2x+1 thành một nhóm khi đó vận dụng hằng đẳng thức a2 + 2ab + b2 =(a + b)2 và a2- b2=(a- b)(a + b). *Hướng dẫn: 2x2+ 4x + 2-2y2= 2(x2+ 2x+ 1- y2)= 2[(x2+2x+1)- y2] = 2[(x+1)2- y2] = 2(x+1- y)(x+1+y) 5, Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử: Đây là phương pháp khó, nó đòi hỏi ở học sinh khả năng tư duy logic cao nên ở dạng này tôi chỉ áp dụng đối với đa thức bậc 2 một ẩn dạng đầy đủ. Trong thực tế,phương pháp tách một hạng tử thành hai hạng tử khác thường nhằm mục đích: +Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới. +Tách hạng tử không đổi thành 2 hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu của 2 bình phương. Ví dụ (Bài 53a SGK trang 24): Phân tích đa thức thành nhân tử x2- 3x + 2 Cách 1:(Tách hạng tử bậc nhất) *Phân tích bài toán: Vì -3x= - x- 2x nên áp dụng phương pháp nhóm các hạng tử nhóm x2 với –x; -2x với 2 và đặt nhân tử chung mới ta có thể phân tích được bài toán. *Hướng dẫn: x2-3x+2 = x2-x-2x+2 = x(x-1)-2(x-1) =(x-1)(x-2) Cách 2:(Tách hạng tử không đổi) *Phân tích bài toán: Tách 2 = - và nhóm x2 –3x+ thành một nhóm rồi áp dụng hằng đẳng thức a2 - 2ab + b2 =(a - b)2 và a2- b2=(a-b)(a+b). *Hướng dẫn: x2-3x+ 2= x2 –3x+- =( x2 –3x+) - =(x- )2- ()2 = (x--)(x-+)= (x-2)(x-1) Tổng quát: Để phân tích đa thức bậc hai a x2+bx+c thành nhân tử , ta tách hạng tử bậc nhất bx thành b1x+b2x sao cho b1b2 =a.c. Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tính tích ac Bước 2: Phân tích ac ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. Bước 3: Chọn 2 thừa số có tổng bằng b và có tích bằng ac. Chú ý: - Nếu b là số lẻ hoặc a không là bình phương của một số nguyên thì ta giải theo cách 1 sẽ gọn hơn. - Nếu a là một bình phương của một số nguyên thì ta tách số hạng không đổi để làm xuất hiện dạng hiệu hai bình phương. 6, Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử: a.:Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương: Ví dụ (Bài 57d SGK trang 25): Phân tích đa thức thành nhân tử x4 +4 * Phân tích bài toán: Ta thấy x4= (x2)2; 4= 22 để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng ta cần thêm 2.x2.2= 4x2 vậy phải bớt 4x2 để giá trị đa thức không thay đổi. Sau đó vận dụng hằng đẳng thức a2 + 2ab + b2 =(a + b)2 và a2- b2=(a- b)(a+b). *Hướng dẫn: x4 + 4= x4 + 4+ 4x2- 4x2= (x2+2)2- (2x)2= (x2+ 2- 2x)( x2+ 2+ 2x) b: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung: Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử x7+x2+1 *Phân tích bài toán: Thêm và bớt x vào đa thức rồi vận dụng phương pháp nhóm hạng tử (x7-x) và(x2+x+1) rồi đặt nhân tử chung và vận dụng hằng đẳng thức a2- b2= (a- b)(a+ b) và a3- b3= (a- b)(a2+ ab+ b2) , sau đó đặt thừa số chung và áp dụng quy tắc nhân đa thức để thực hiện. *Hướng dẫn: x7+x2+1= x7- x +x2 +x +1=(x7-x)+(x2+x+1) =x(x6-1)+( x2+x+1) = x(x3-1)( x3+1) +( x2+x+1) = x( x3+1) (x2+x+1)(x-1) + (x2+x+1) = (x2+x+1)[ x( x3+1)(x-1)+1] = (x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) 7, Phương pháp tìm nghiệm của đa thức: Đối với các đa thức có bậc 3 trở lên, để dễ dàng phân tích đa thức thành nhân tử người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức. ở lớp 7 ta đã biết: Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0. Như vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x=a thì nó chứa nhân tử x-a. Trong phương pháp tìm nghiệm của đa thức ta chia làm 2 phương pháp : a:Phương pháp tìm nghiệm nguyên : Ta chứng minh được rằng: Nghiệm nguyên của đa thức, nếu có phải là ước của hệ số tự do. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử x3 – x2 – 4 (1) Ta có Ư(- 4)= {1;-1;2;-2;4;-4 } kiểm tra ta thấy 2 là nghiệm của đa thức (1) Do đó đa thức x3 – x2 – 4 chứa nhân tử x-2, trong thực hành ta làm như sau: Cách 1: *Phân tích bài toán: Tách –x2= - 2x2+ x2 để nhóm với hạng tử x3 và - 4 , tiếp đó vận dụng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung và áp dụng hằng đẳng thức a2- b2=(a-b)(a+b) để biến đổi đa thức. *Hướng dẫn: x3 – x2 – 4 = x3 - 2x2+ x2 – 4 = (x3- 2x2) + (x2- 4) = x2(x- 2) + (x- 2)(x+2) = (x- 2)(x2+ x+2) Cách 2: *Phân tích bài toán: Tách – 4= - 8 + 4 để nhóm x3 với –8 và - x2 với 4 , sau đó áp dụng hằng đẳng thức a2- b2=(a-b)(a+b) và a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2) và áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung . *Hướng dẫn: x3 – x2 –4 = x3 – 8 - x2+4 = ( x3 – 8 ) – (x2- 4) = (x-2)(x2+2x+4) –(x-2)(x+2) = (x-2)(x2+x+2) Chú ý: + Khi xét nghiệm nguyên của đa thức , cần chú ý 2 định lí sau: - Nếu đa thức f(x ) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức f(x) nên f(x) có chứa thừa số x-1. Ví dụ: x3- 5x2 +8x –4 có 1-5+8-4=0 nên 1 là nghiệm của đa thức, đa thức có chứa thừa số x-1. - Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì(-1) là nghiệm của đa thức, đa thức có chứa thừa số x+1. Ví dụ: x3- 5x2 +3x+ 9 có 9-5 =3+1 nên(-1) là nghiệm của đa thức, đa thức có chứa thừa số x+ 1 + Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, cần lưu ý nhận xét sau: Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 4x3- 13x2 +9x –18 (1) * Phân tích bài toán: Có Ư(-18)={ 1;-1;2;-2;3;-3;6;-6;9;-9;18;-18} mà f(1)= 4-13+9-18=(-18) và f(-1)= - 4-13- 9-18=(- 44) .Do đó 1;-1 không là nghiệm của đa thức (1) . Ta thấy: ; ; ; và là không nguyên nên 2;-3; -6;6;9;-9;18;-18 không phải là nghiệm của (1) .Chỉ còn –2 và 3, ta kiểm tra thấy 3 là nghiệm của (1) nên đa thức có chứa thừa số x-3. *Hướng dẫn: 4x3- 13x2 +9x –18 =4x3-12x2 –x2 +3x+ 6x-18 = (4x3-12x2) –(x2 –3x)+ (6x-18) = 4x2(x-3) – x(x- 3) +6(x- 3) = (x- 3)(4x2 –x +6) b: Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ: Nếu đa thức f(x ) không có nghiệm nguyên thì f(x) có thể có nghiệm hữu tỉ khác. Ta chứng minh được rằng: Trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng . Trong đó: p là ước của hệ số tự do. q là ước dương của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất. Trong thực hành : Ta phải tìm p, q rồi tính , sau đó vận dụng các phương pháp đã biết để phân tích. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 3x3- 7x2+17x-5 * Phân tích bài toán: Ta có Ư(3)= { 1;-1;3;-3} ; Ư(-5)= { 1;-1;5;-5} , Khi đó: = { 1;-1;5;-5;; -; ;- } thay vào đa thức ta thấy là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số 3x-1. Tách –7x2= - x2 –6x2 và 17x= 2x+15x , vận dụng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung để biến đổi. *Hướng dẫn: 3x3- 7x2+17x-5 = 3x3 -x2 –6x2 +2x+15x-5 = x2(3x-1)-2x(3x-1)+5(3x-1) = (3x-1)(x2-2x+5) 8, Phương pháp phân tích bằng đổi biến số: Trong thực tế có nhiều bài toán nếu áp dụng các phương pháp đã biết để giải thì khó và rất phức tạp, nhưng nếu ta đổi biến đa thức đã cho thành đa thức đưn giản hơn với biến khác thì việc phân tích đa thức thành nhân tử trở nên dễ dàng. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử (x2-3x-1)2- 12(x2-3x-1)+27 *P