Đề tài Phương pháp giải một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

A- mở đầu 1 - Lý do chọn đề tài: Toán học là môn khoa học cơ bản, có vị trí vô cùng quan trọng trong mọi lĩnh vực đời sống xã hội, trong khoa học kỹ thuật. Học sinh trung học cơ sở học tốt môn Toán, sẽ giúp các em học tốt hơn ở các môn học khác và ở các cấp học trên, cung cấp cho các em những kiến thức phổ thông cơ bản để các em bước vào cuộc sống lao động. Các kiến thức và phương pháp toán còn giúp các em phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập sáng tạo. Giáo dục cho học sinh tư tưởng và đạo đức, thẩm mỹ của con người mới. Trên thực tế còn nhiều học sinh học yếu toán. Những học sinh lười học không nắm vững kiến thức cơ bản đã đành. Còn những học sinh chịu khó học bài, thuộc bài nhưng vẫn không làm được và làm sai bài tập. Làm thế nào để giúp các em học sinh trung học cơ sở học tốt môn toán. Đây là điều trăn trở của các thầy giáo, cô giáo và các bậc phụ huynh. Để giúp các em học sinh học tốt hơn môn toán. Người thầy giáo, cô giáo ngoài việc giúp các em nắm được những kiến thức lý thuyết toán, thì việc bồi dưỡng cho các em về mặt phương pháp giải các loại toán là rất quan trọng. Nó giúp các em nhận dạng, tìm tòi đường lối giải một cách nhanh chóng, hình thành kỹ năng phát triển tư duy ngày càng sâu sắc hơn và qua đó các em yêu toán hơn, tự tin hơn trong cuộc sống tương lai. Trong toán học, khái niệm giá trị tuyệt đối, là một khái niệm đơn giản. Là một phạm trù kiến thức hẹp. Nhưng những bài tập có liên quan tới giá trị tuyệt đối lại là một vấn đề phức tạp, tương đối trìu tượng. Thế nhưng nó lại góp phần trong quá trình giải quyết các bài toán phức tạp sau này. Khi gặp các bài toán có dấu giá trị tuyệt đối không ít học sinh lúng túng, không biết phải bắt đầu từ đâu, hướng giải quyết thế nào. Điều đó cũng dễ hiểu, trong chương trình phần lý thuyết đơn giản. Bài tập không nhiều, không bao quát hết được các dạng. Bài tập phần này không có sức lôi cuốn sự kích thích hăng say học tập của các em. Trong những năm giảng dạy ở cấp trung học cơ sở ở cả bốn khối lớn. Tôi thấy các em phần đa gặp khó khăn khi giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Với trách nhiệm của người thầy giáo, tôi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn trong phần này. Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy của bản thân và một số đồng nghiệp. Qua sự tìm tòi thử nghiệm, được sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là những bài học sau những năm học ở trường sư phạm. Cùng với sự hướng dẫn tận tình chu đáo của thầy giáo Tống Trần Hoàn giảng viên khoa toán - tin trường Đại học sư phạm I Hà Nội. Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: Phương pháp giải một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 2 - Mục đích nghiên cứu: - Đề tài này phần nào giúp các em học sinh học tập môn toán tốt hơn nóichung và giải các bài tập chưa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng. Trang bị cho các em học sinh một số phương pháp giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bổ sung cho học sinh một số kiến thức về giá trị tuyệt đối còn thiếu hụt. Giúp các em có công cụ trong việc giải quyết một số bài toán có liên quan. - Gây hứng thú cho học sinh khi làm các bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập. 3 - Nhiệm vụ của đề tài: - Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh trung học cơ sở. - Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. áp dụng để làm bài tập. - Rút ra một số nhận xét, chú ý khi áp dụng từng phương pháp giải. - Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho từng phương pháp giải. 4 - Phạm vi đề tài: Phát triển được năng lực tư duy và rèn luyện kỹ năng vận dụng của học sinh thông qua giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 5 - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này áp dụng có tác dụng nhất đối với học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các buổi ôn tập cuối năm, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn tập tốt nghiệp và thi vào phổ thông trung học. Đối với các lớp 6, lớp 7 có đề cập đến nhưng chỉ những vấn đề nhỏ đơn giản. 6 - Phương pháp nghiên cứu: - Tham khảo, thu thập tài liệu. - Phân tích tổng kết kinh nghiệm. - Kiểm tra kết quả, dự giờ, thao giảng, kiểm tra chất lượng học sinh. - Tổng kết kinh nghiệm. 7 - Dự kiến kết quả đề tài: Khi chưa thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được một số bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản, hay mắc sai lầm, bài làm thiếu chặt chẽ. Ngại làm các bài tập có chứa giá trị tuyệt đối. Nếu thực hiện được đề tài này thì các em có hứng thú hơn khi giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Có phương pháp phù hợp với từng loại toán này. Hạn chế được những sai lầm thường gặp khi giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đặc biệt các em tự tin hơn vào bản thân. b - Nội dung Chương I: Giá trị tuyệt đối ------------- I - Giá trị tuyệt đối: 1 - Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của một số thực x là một số thực không âm, ký hiệu ẵxẵ được xác định như sau: ẵxẵ= x nếu x ³ 0 -x nếu x > 0 Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của một số thực x, thực chất là một ánh xạ. f: IR đ IR+ x nếu x ³ 0 -x nếu x < 0 x ẻ IR đ y = ẵxẵ * Với mọi số thực x ta luôn biểu diễn x thành tổng của số thực không âm và số thực không dương, tức là: Trong đó: * Với A (x) là một biểu thức tuỳ ý ta cũng có: A (x) nếu A(x) ³ 0 -A (x) nếu A(x) < 0 ẵA(x)ẵ= * Với mọi x ẻ IR; f(x), g(x) là biểu thức tuỳ ý, ta có: max (f(x); g(x)) = [f(x) + g(x) + ẵf(x) - g(x)ẵ] min (f(x); g(x)) = [f(x) + g(x) - ẵf(x) - g(x)ẵ] 2. Hệ quả: 1) ẵxẵ³ 0 mọi x ẻ IR; ẵxẵ = 0 Û x = 0 2) ẵ-xẵ = ẵxẵ 3) -ẵxẵ Ê x Ê ẵxẵ; x = ẵxẵ Û x ³ 0 4) ẵxẵ ³ a > 0 Û x ³ a hoặc x Ê - a 5) ẵxẵÊ a (a > 0 ) Û - a Ê x Ê a 6) ẵx.yẵ= ẵxẵ.ẵyẵ 7) 8) ẵxẵ2 = x2 9) 3. Tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối: 1. Định lý 1: Nếu x, y là hai số thực thì: a) ẵx + yẵ Ê ẵxẵ + ẵyẵ b) ẵx + yẵ Ê ẵxẵ + ẵyẵ Û x.y ³ 0 Chứng minh: Ta có: (ẵxẵ+ẵyẵ)2 =ẵxẵ2 +2 ẵxẵ.ẵyẵ+ẵyẵ2 = x2 + 2.ẵx.yẵ+ y2 ³ x2 + 2xy + y2 = (x+y)2 Vậy ẵxẵ+ẵyẵ ³ẵx+yẵ Dấu bằng xảy ra Û xy = 0 2. Định lý 2: Nếu x, y là hai số thực thì: ẵẵxẵ-ẵyẵẵ Ê ẵx - yẵ Ê ẵxẵ + ẵyẵ Chứng minh: Ta có: ẵxẵ = ẵ(x - y) + yẵ Ê ẵx - yẵ + ẵyẵ (theo định lý 1) Û ẵxẵ - ẵyẵ Ê ẵx - yẵ Vả lại: ẵx - yẵ = ẵy - xẵ ³ ẵyẵ - ẵxẵ Nên ẵxẵ - ẵyẵ ³ -ẵx - yẵ ị -ẵx - yẵ Ê ẵxẵ - ẵyẵ Ê ẵx - yẵ Û ẵẵxẵ-ẵyẵẵ Ê ẵx - yẵ (1) Ta lại có: ẵx - yẵ = ẵx + (-y)ẵ Ê ẵxẵ + ẵ-yẵ = ẵxẵ + ẵyẵ (2) Từ (1) và (2) có: ẵẵxẵ - ẵyẵẵ Ê ẵx - yẵ Ê ẵxẵ + ẵyẵ Chú ý: Nếu thay y bằng -y ta có: ẵẵxẵ - ẵyẵẵ Ê ẵx - yẵ Ê ẵxẵ + ẵyẵ II - Phương pháp biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối: 1. Mục đích biến đổi: Biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối là nhằm thay đổi chúng bằng những biểu thức tương đương không chứa giá trị tuyệt đối, nói cách khác là nhằm loại trừ các dấu giá trị tuyệt đối khỏi các biểu thức để có thể tiến hành các phép tính đại số quen biết. Thông thường, ta sẽ được các biểu thức khác nhau (không chứa dấu giá trị tuyệt đối) trong những khoảng khác nhau. 2. Phương pháp biến đổi: Muốn biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối nhằm loại bỏ các dấu giá trị tuyệt đối thì nhất thiết phải căn cứ vào: a) Định nghĩa của giá trị tuyệt đối và hệ quả đã nêu ở trên. b) Quy tắc về dấu của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai như sau: * Nhị thức ax + b (a ạ 0) cùng dấu với a khi x> - , và trái dấu với a khi x < - Thật vậy: Gọi x0 là nghiệm của nhị thức ax + b thì x0 = - Xét: Nếu x > x0 thì x - x0 > 0 ị > 0 ị ax + b cùng dấu với a. Nếu x< x0 thì x - x0 < 0 ị < 0 ị ax + b trái dấu với a. * Tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ạ 0) trái dấu với a trong khoảng giữa hai nghiệm (nếu có), cùng dấu với a trong mọi trường hợp khác. 3. Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho x, y là hai số thoả mãn xy ³ 0 tính giá trị của biểu thức. Giải: Biến đổi B, ta có: Đặt ³ 0 Tính B12 ta được: (Vì nên Suy ra: B1 = ẵx + yẵ Vậy B = ẵx + yẵ - (ẵxẵ+ẵyẵ) Mặt khác do xy ³ 0 nên x, y cùng dấu, suy ra ẵx + yẵ = ẵxẵ + ẵyẵ Do đó: B = 0 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: Giải: TXĐ: Ta có: Nếu x Ê 1 ta có: Nếu Ta có Nếu x ³ 2 ta có: Tóm lại: nếu x Ê 1 nếu 1 < x < 2 nếu x ³ 2 Bài 3: Rút gọn: Giải: Đặt ẵx-1ẵ = a; ẵx-3ẵ = b; (a, b ³ 0) Ta có: Û Lập bảng biến đổi: x - à 1 3 + à ẵx-3ẵ 3 - x 3 - x 0 x - 3 ẵx-1ẵ 1 - x 0 x - 1 x - 1 Tử thức 2 (3-x) 2(3-x) 0 2(x-3) Mẫu thức - 2 -2 2(x-2) 2 2 Kiểm tra lại giá trị của biểu thức tại hai đầu mút của đoạn [1; 3] đúng bằng - 2 và 0, ta có kết luận: B = Với 1 Ê x Ê 3 và x ạ 2 x - 3 Với x ẻ IR\ [1; 3] Bài 4: Cho a, b, c > 0. Rút gọn biểu thức: Giải: Với a, b, c > 0 ta có: Û Û Vì nên Nếu a + b ³ c ị Nếu a + b < c ị Tóm lại: C= nếu a + b ³ c nếu a + b < c 4. Bài tập luyện tập: Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) với a < b) c) d) e) E = ẵxẵ + ẵx-1ẵ Bài 2: Cho A(x) = a) Tìm đoạn [a, b] sao cho A(x) có giá trị không đổi trên đoạn đó. b) Tìm x sao cho A(x) > 4. Bài 3: Rút gọn biểu thức. 1) với 2) với 0 < a < 1 3) Với x > 5; Chương ii: phương trình bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối ------------- A. Phương trình bậc nhất dạng ẵAẵ = B 1. Phương pháp giải: Để giải phương trình bậc nhất tuỳ ý có chứa giá trị tuyệt đối. Ta biến đổi nó thành một phương trình tương đương không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đối với phương trình bậc nhất dạng ẵAẵ = B trong đó A, B là các nhị thức bậc nhất thì ta tiến hành giải theo cách sau: a) Nếu B < 0 thì kết luận phương trình vô nghiệm. b) Nếu B ³ 0 thì đưa về phương tình A = B hoặc A = -B c) Nếu chưa biết rõ dấu của B thì biến đổi như sau: ẵAẵ = B Û B ³ 0 A = B hoặc A =-B 2. Một số bài tập ví dụ: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) ẵ3x - 1ẵ+ 2 = 3x + 4 2) ẵẵxẵ- 3ẵ = x + 1 3) ẵx - 2005ẵ= x - 2005 Giải: 1) ẵ3x - 1ẵ+ 2 = 3x + 4 Û ẵ3x - 1ẵ= 3x + 2 Û (Vô lý) Vậy phương trình có nghiệm là 2) ẵẵxẵ-3ẵ= x + 1 Nếu x ³ 0 phương trình đã cho Û ẵx - 3ẵ = x + 1 với x ³ 0 rõ ràng x + 1 > 0 Khi đó: ẵx - 3ẵ = x + 1 Û x - 3 = x + 1 hoặc x - 3 = -x - 1 Hoặc (Vô lý) =>x = 1 Nếu x < 0 phương trình đã cho Û ẵ-x - 3ẵ = x + 1 Û ẵx + 3ẵ= x + 1 (Vô lý) => x=-2 (Loại) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {1} 3) Ta có: ẵx - 2005ẵ = x - 2005 Û x - 2005 ³ 0 Û x ³ 2005 Vậy phương trình có vô số nghiệm thoả mãn x ³ 2005 Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: ẵx - 1ẵ = 3x + 2m Giải: ẵx - 1ẵ = 3x + 2m (1) Û hoặc Û Như vậy phương trình (1) có nghiệm thì phải có: hoặc a) Nếu b) Nếu Tóm lại: Nếu thì phương trình (1) có nghiệm Nếu thì phương trình (1) có nghiệm Bài 3: Giải theo m: ẵẵmẵx - 3ẵ= 4 - m (1) Nếu m > 0 phương trình (1) Û ẵmx - 3ẵ= 4 - m Û hoặc Û hoặc Nếu m < 0 phương trình (1) Û ẵ- mx- 3ẵ= 4 - m Û ẵmx + 3ẵ= 4 - m với m 0 hoặc Û hoặc Tóm lại: Nếu m < 0 thì phương trình có nghiệm là: hoặc Nếu 0 < m Ê 4 thì phương trình có nghiệm là: hoặc Nếu m = 4 thì Nếu m = 0 hoặc m > 4 thì phương trình vô nghiệm. B) Phương trình bậc nhất dạng ẵAẵ = ẵBẵ. 1. Phương pháp giải: Đối với phương trình bậc nhất dạng ẵAẵ = ẵBẵ trong đó A, B là những nhị thức bậc nhất đối với ẩn số. Muốn loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì phải biến đổi phương trình đã cho thành phương trình tương đương sau đây: ẵAẵ=ẵBẵ Û A = B hoặc A = -B 2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải phương trình: ẵ2x - 2005ẵ= ẵ2005x - 2ẵ Vậy phương trình có nghiệm là x = -1 và x = 1 Bài 2: Giải phương trình: ẵẵ5x - 1ẵ- 2ẵ = ẵ4x - 3ẵ (1) (2) (loại) (loại) (1) 2) ị , x = - 4 Vậy phương trình có nghiệm là và x = - 4 C - Phương trình bậc nhất dạng ẵAẵ+ẵBẵ= C 1. Phương pháp giải: Đối với loại phương trình bậc nhất dạng ẵAẵ+ẵBẵ= C trong đó A, B, C là những nhị thức bậc nhất thì nên dùng phương pháp lập bảng biến đổi. 2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải phương trình: ẵx - 2ẵ+ẵx - 3ẵ= 4 (1) Ta lập bảng xét dấu f(x) = ẵx - 2ẵ+ ẵx - 3ẵ x - à 2 3 + à ẵx-2ẵ 2 - x 0 x- 2 x - 2 ẵx-3ẵ 3 - x 3 - x 0 x - 3 f(x) 5-2x 1 2x-5 Nếu x < 2 phương trình (1) Û 5 - 2x = 4 Û 2x = 1 Û x = thoả mãn x < 2 Nếu 2 Ê x Ê 3 Do1 ạ 4 nên phương trình vô nghiệm. Nếu x >3 phương trình (1) Û 2x - 5 = 4Û 2x = 9 Û x = (thoả mãn x > 3) Tóm lại: Phương trình (1) có nghiệm là x = và x = Bài 2: Giải phương trình: ẵx - 1ẵ+ẵx + 2ẵ-2ẵx - 3ẵ = 2005 (2) Ta lập bảng xét dấu VT (2) x - à -2 1 3 + à ẵx-1ẵ 1 - x 1 - x 0 x - 1 x-1 ẵx+2ẵ -x - 2 0 x + 2 x + 2 x+2 -2ẵx-3ẵ 2x-6 2x - 6 2x-6 0 -2x+6 VT(2) - 7 2x-3 4x - 5 7 Nếu x Ê - 2 Do -7 ạ 2005 nên phương trình (2) vô nghiệm. Nếu-2 < x < 1 phương trình (2) Û 2x - 3 = 2005 Û 2x = 2008. Û x = = 1004 (không thoả mãn) Nếu 1Ê x < 3 phương trình (2) Û 4x-5 = 2005 Û 4x= 2010 Û x= = (Không thoả mãn) Nếu x ³ 3 do 7 ạ 2005 nên phương trình (2) vô nghiệm. Tóm lại: Phương trình (2) vô nghiệm. Bài 3: Giải phương trình: (m-1) ( x + x+2 ) = 3m - 4 Giải: Xét ba trường hợp. - Nếu x < - 2 thì (m-1) (-x-x-2) = 3m- 4 Û (m-1)(-2x-2) =3m-4 Với m ạ 1, thì x = < - 2 hay - < 0 (đúng) Với mọi m ạ 2; m 2 - Nếu -2 Ê x Ê 0 thì (m - 1) (-x + x +2) = 3m - 4. Khi m ạ 1 thì nên m = 2 phương trình vô số nghiệm. - Nếu x > 0 thì (m - 1) (2x + 2) = 3m - 4 Khi m ạ 1 thì x = đúng với mọi m ạ 2; m 2. D - Phương trình quy về phương trình bậc nhất: Bài 1: Giải các phương trình: a) xẵx + 3ẵ - ẵx2 + x+ 1ẵ = 1 b) ẵxẵ3 - 3ẵxẵ + 2 = 0 Giải: a) Ta có: x2 + x + 1 = Do đó: ẵx2 + x + 1ẵ = x2 + x + 1. ị Phương trình: xẵx + 3ẵ - ẵx2 + x + 1ẵ = 1 Û xẵx + 3ẵ = ẵx2 + x + 1ẵ+1 Û xẵx + 3ẵ= x2 + x + 1 + 1 Û xẵx + 3ẵ = x2 + x + 2 (1) Nếu x ³ - 3 phương trình (1) Û x(x + 3) = x2 + x + 2 Û x2 + 3x = x2 + x + 2 Û 2x = 2 Û x = 1 (thoả mãn điều kiện đang xét) Nếu x < - 3 phương trình (1) Û x(-x-3) = x2 + x + 2 Û -x2 - 3x = x2 + x + 2 Û 2x2 + 4x + 2 = 0 Û x2 + 2x + 1 = 0 Û (x + 1)2 = 0 Û x + 1 = 0 Û x = -1 (Không thoả mãn điều kiện đang xét) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 1 b) Đặt t = ẵxẵ > 0. Khi đó phương trình ẵxẵ3 - 3ẵxẵ + 2 = 0 Trở thành phương trình: t3 - 3t + 2 = 0 Û t3 - t - 2t + 2 = 0 Û (t3 - t) - 2(t - 1) = 0 Û t (t2 - 1) - 2 (t - 1) = 0 Û t (t - 1) (t + 1) - 2 (t - 1) = 0 Û (t - 1) (t2 + t - 2) = 0 Û (t - 1) (t2 + 2t - t - 2) = 0 Û (t - 1) [t (t + 2) - (t + 2)] = 0 Û (t - 1)2 (t + 2) = 0 Û (t - 1)2 = 0 hoặc t + 2 = 0 * (t - 1)2 = 0 Û t - 1 = 0 Û t = 1 (thoả mãn điều kiện t > 0) (**) t + 2 = 0 Û t = - 2 (không thoả mãn điều kiện t > 0) Û t = -2 (loại) Với t = 1, ta có: 1 = ẵxẵ Û x = ± 1. Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {-1, 1} Bài 2: Giải phương trình ẵx3 + 100 x2ẵ = ẵx + 100ẵ (1) Cách 1: Phương trình (1) Û ẵx2 (x + 100)ẵ- ẵx+100ẵ = 0 x + 100 = 0 x2 - 1 = 0 Û ẵ(x + 100)ẵ(x2 - 1) = 0 Û Û x = - 100; x = ±1 Vậy phương trình có ba nghiệm là: x = ± 1; x = - 100 Cách 2: phương trình (1) Û x3 +100x2 = x + 100; x3 + 100x2 = -x - 100 ị x = ± 1; x = -100 Bài 3: Giải phương trình: ĐKXĐ của phương trình: x ³ - 1 Phương trình: (*) Cách 1: Ta thấy: Dấu bằng có Vậy phương trình đã có nghiệm mọi x ẻ [3; 8] Cách 2: Từ phương trình (*) có: Nếu Phương trình: ị x = 3 (loại) vì không thoả mãn (-1 Ê x < 3) Nếu Phương trình chứng tỏ rằng có vô số nghiệm x ẻ [3, 8]. Nếu Phương trình (*) (loại) vì không thoả mãn x > 8. E - Hệ phương trình bậc nhất: Bài 1: Giải hệ phương trình: (A) (1) (2) Giải: Muốn giải hệ phương trình trên ta xét các trường hợp sau để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối đưa về hệ bậc nhất hai ẩn số rồi giải chúng. Xem y là tham số, ta lập bảng biến đổi các giá trị tuyệt đối có chứa x. x - à +à ẵ2x-3ẵ -2x + 3 -2x + 3 0 2x - 3 ẵ3x+2ẵ -3x - 2 0 3x + 2 3x + 2 (1) ẵ5y-4ẵ=2x+1 ẵ5y-4ẵ=2x+1 ẵ5y-4ẵ=-2x+7 (2) 2ẵyẵ=-3x-11 2ẵyẵ=3x-7 2ẵyẵ= 3x-7 (loại) (loại) Thuộc phạm vi khoảng xét Vậy với Ta có ẵ5y - 4ẵ = -2x + 7 Û 5y - 4 = -2x + 7 hoặc 5 y - 4 = 2x - 7 Û 5y + 2x = 11 (1) hoặc 5y - 2x = -3 (2) Lại có: 2ẵyẵ = 3x-7 Û 2y = 3x - 7 hoặc 2y = -3x + 7 Û 3x - 2y = 7 (3) hoặc 3x + 2y = 7 (4) Kết hợp (1) và (2) với (3) và (4) Ta có 4 hệ phương trình tương đương với phương trình đã cho: Hoặc (Nghiệm thích hợp) (Nghiệm không thích hợp) (Nghiệm thích hợp) (Nghiệm không thích hợp) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: Bài 2: Giải hệ: Nếu Ta có hệ (Nghiệm thích hợp) Nếu Ta có hệ (Nghiệm không thích hợp) Nếu x > 2 Ta có hệ (Nghiệm thích hợp) Tóm lại: Hệ (A) có nghiệm là: G - Hệ phương trình có chứa tham số: Bài 1: Giải và biện luận hệ phương trình với tham số m (1) (2) Giải: Từ phương trình (1) ị 2y = x - m thay vào phương trình (2) Ta có: mẵxẵ + 2 (x - m) = 1 Û mẵxẵ + 2x = 2m + 1 a) Nếu x ³ 0 Ta có: mx + 2x = 2m + 1 Û (m + 2) x = 2m + 1 (3) Khi m = -2 phương trình (3) Û 0x = -3 (vô lý) do đó hệ vô nghiệm Khi m ạ -2 ị Để giá trị này là nghiệm của phương trình Cần có hoặc m < - 2. b) Nếu x < 0 Ta có - mx + 2x = 2m + 1 Û (2 - m) x = 2m + 1 (4) Khi m = 2 phương trình (4) Û 0.x = 5 (vô lý) do đó hệ vô nghiệm. Khi m ạ 2 ị x = Do x 2 hoặc Kết luận: + Nếu thì hệ phương trình có nghiệm là: + Nếu thì hệ phương trình có nghiệm là: + Nếu thì hệ phương trình vô nghiệm. Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm Giải: Từ phương trình (1) ta có: 1 = ẵx - 1ẵ+ẵy - 2ẵ ³ ẵx - y + 1ẵ (3) Từ (2) ta có (x - y)2 - (x - y) + m (x - y - 1) = 0 Û (x - y + m) (x - y - 1) = 0 Nếu x - y = 1 thì từ (3) ị 1 ³ 2 (vô lý) Nếu x - y = -m thì từ (3) ị 1 ³ ẵ1 - mẵ Û 0 Ê m Ê 2 Vậy hệ có nghiệm Û 0 Ê m Ê 2 H - Bài tập luyện tập: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) ẵ2x - 3ẵ = 10x 3) ẵx - 2005ẵ = x - 200 2) 12ẵ2x - 9ẵ = 15 + x 4) ẵ3x - 1ẵ + 1 = 3x + 4 Bài 2: Cho phương trình với tham số m. 1) Giải phương trình đã cho: 2) Phải cho m giá trị nào để có x = 36 3) Tìm những giá trị nguyên của m để có nghiệm x thuộc khoảng (0; 8) Bài 3: Giải các phương trình. 1) ẵx3 + x2 + xẵ = x 2) ẵx5 + x4 + x3 + x2ẵ= 2(x + 1) 3) 4) 5) Bài 4: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2) 3) 4) Chương Iii: bất phương trình bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối ------------- Phương pháp chung để giải một bất phương trình bậc nhất có chứa ẵAẵ trong đó A là biểu thức bậc nhất đối với ẩn số là chuyển tất cả sang vế trái vế phải là số không. Tiếp theo là biến đổi ẵAẵ thành biểu thức tương đương không còn dấu giá trị tuyệt đối, theo quy tắc: ẵAẵ = A nếu A ³ 0 -A nếu A < 0 Sau đó giải các bất phương trình không còn có chứa giá trị tuyệt đối trong các khoảng chia. Cuối cùng tổng hợp các kết quả đạt được để có toàn bộ nghiệm của bất phương trình. Trong một số trường hợp, có thể giải nhanh hơn cách dùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi tương đương sau: 1. a) Với a là số dương, ta có ẵA(x)ẵ < a Û - a < A(x) < a b) A(x) < B(x) Û -B(x) < A(x) < B(x). 2. a) Với a là số dương, ta có ẵA(x)ẵ>a Û A(x) a b) ẵA(x)ẵ> B(x) Û A(x) > B (x) hoặc A(x) < - B (x) 3. ẵA(x)ẵ > ẵB(x)ẵ Û [A(x)]2 > [B (x)]2 A - Bất phương trình có dạng ẵAẵ B) Bài 1: Giải bất phương trình: ẵ3x - 2ẵ < 4 Cách 1: Bất phương trình: Û -4 < 3x - 2 < 4 Û -2 < 3x < 6 Û Cách 2: Vì hai vế của bất phương trình đều dương nên ta bình phương hai vế của bất phương trình. ị ẵ3x - 2ẵ < 4 Û (3x - 2)2 < 42 Û (3x - 2)2 - 42 < 0 Û (3x - 6) (3x + 2) < 0 hoặc hoặc 3x - 6 > 0 3x - 6 < 0 3x + 2 0 x > 2 x < 2 Û Cách 3: (Theo phương pháp chung) Bất phương trình Û ẵ3x - 2ẵ - 4 < 0 Lập bảng biến đổi: x - à 2/3 + à ẵ3x-2ẵ- 4 2 - 3x 3x - 6 Nghiệm thích hợp -2/3 < x < 2/3 Ê x < 2 Vậy bất phương trình có nghiệm là: x ẻ(- ; 2) Bài 2: Giải bất phương trình: ẵ2x - 1ẵ< x + 3 Cách 1: Bất phương trình. Û -x - 3 < 2x - 1 < x + 3 Û - < x < 4 Cách 2: Bất phương trình Û ẵ2x - 1ẵ - x - 3 < 0 (1) Lập bảng biến đổi: x - à 1/2 + à VT (1) -2x + 1 -x - 3 2x - 1 - x - 3 BPT (1) -3x - 2 < 0 x - 4 < 0 Nghiệm thích hợp -2/3 < x < 1/2 1/2 Ê x < 4 Vậy bất phương trình có nghiệm là: -2/3 < x < 4 B - Bất phương trình dạng ẵAẵ + ẵBẵ < C Phương pháp giải: ở đây có nhiều giá trị tuyệt đối, nên việc xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra có phần phức tạp. Nên sử dụng phương pháp lập bảng biến đổi. Bài 1: Giải bất phương trình: ẵx - 1ẵ + ẵx + 2ẵ < 5 Lập bảng biến đổi: x - à -2 1 +à ẵx-1ẵ 1 - x 1 - x 0 x - 1 ẵx+2ẵ -x - 2 0 x + 2 x + 2 ẵx-1ẵ+ẵx+2ẵ -2x - 1 3 2x + 1 Nghiệm x > -3 đúng mọi x x < 2 Vậy bất phương trình có nghiệm là: x ẻ (-3; 2) Bài 2: Giải bất phương trình: ẵxẵ - x + 2 Ê 2 ẵx - 4ẵ Û ẵxẵ - 2ẵx - 4ẵ - x + 2 Ê 0 (1) Lập bảng biến đổi: x - à 0 4 +à ẵxẵ - x 0 x x ẵx-4ẵ 4 - x 4 - x 0 x - 4 VT(1) -x - 8 + 2x - x + 2 x - 8 + 2x - x + 2 x - 2x + 8 - x + 2 BPT 0x - 6 Ê 0 2x - 6 Ê 0 -2x + 10 Ê 0 Nghiệm đúng mọi x x Ê 3 x ³ 5 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x Ê 3 và x ³ 5 C - Bất phương trình có chứa ẩn số ở mẫu thức: (2) x ạ 1 x ạ 1 (2) ẵ2x - 1ẵ > 2ẵx-1ẵ ẵ2x - 1ẵ - 2ẵx - 1ẵ > 0 Lập bảng biến đổi: x - à 1/2 1 +à ẵ2x - 1 ẵ 1 - 2x 0 2x -1 2x -1 -2ẵx - 1ẵ 2x - 2 2x - 2 0 -2x + 2 (2) Û -1 > 0 4x - 3 > 0 1 > 0 Nghiệm Vô nghiệm 4/3 < x < 1 Luôn đúng Vậy bất phương trình có nghiệm là T = (3/4 ; 1) ẩ (1; +à) D. Bất phương trình có tham số: Nhắc lại lý thuyết cơ bản: 1) Để giải và biện luận một bất phương trình bậc nhất với ẩn số x có tham số m ta thực hiện những biến đổi tương đương để đưa bất phương trình về dạng ax > b (ax 0; a < 0; a = 0. 2) Để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì vẫn phải dựa vào việc biến đổi các biểu thức theo quy tắc: {A} = A nếu A ³ 0 -A nếu A < 0 Trong những trường hợp phức tạp có nhiều giá trị tuyệt đối thì nên dùng phương pháp lập bảng biến đổi. Bài 1: Giải và biện luận bất phương trình ẵ(m - 1)xẵ < m2 - 1 (1) m > 1 m < - 1 (1) Û ẵm-1ẵẵxẵ < m2 - 1 (2) Ta thấy điều kiện: m2 - 1 > 0 Û ẵmẵ > 1: + Nếu m > 1 Û m - 1 > 0 do đó (2) Û (m - 1) ẵxẵ < m2 - 1 Û ẵxẵ < m + 1 Û - (m + 1) < x < m + 1 + Nếu m = - (m + 1) Û x > - (m + 1) hoặc x < m + 1 Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm là: T = -(m + 1) 1 x > - (m + 1) hoặc x < m + 1 nếu m < - 1 Bài 2: Giải và biện luận bất phương trình: ẵxẵ - 3m < 4 - ẵmxẵ (1) Bất phương trình (1): Ûẵxẵ + ẵmẵẵxẵ < 3m + 4 Û (1+ẵmẵ)ẵxẵ < 3m + 4 Û ẵxẵ < (2) + Nếu m > 0 (2) Û + Nếu m < 0 (2) Û Khi m = 1 tính theo trường hợp m > 0 có: -7/2 < x < 7/2 Khi m = -1 tính theo trường hợp m < 0 có: -1/2 < x < Khi m = 0 (2) Ûẵxẵ < 4 Û - 4 < x < 4 Chương IV: phương trình bậc hai có chứa Giá trị tuyệt đối ------------- A - Phương trình dạng: ax2 + bx + c + ẵAẵ = 0 Phương pháp giải: A là nhị thức bậc nhất, ta dùng: | A| = A nếu A ³ 0 -A nếu A < 0 Rồi giải trường hợp và tổng kết các kết quả lại: Bài 1: Giải phương trình: x2 - 3x - 1 + ẵ2x - 1ẵ= 0 x2 - 3x - 1 + 2x - 1 = 0 nếu x ³ x2 - x - 2 = 0 nếu x ³ x2 - 3x - 1 + 1 - 2x = 0 nếu x < x2 - 5x = 0 nếu x < Û ị x = 2; x = 0 Bài 2: Định m để phương trình: mx2 - 2(m-1)x + 2 = ẵmx-2ẵ (1) có nghiệm duy nhất: Giải: Phương trình (1) Û mx2 - 2(m-1) x + 2 - ẵmx-2ẵ= 0 (2) * Với m = 0, phương trình (2) trở thành: 2x + 2 - 2 = 0 Û x = 0 (nghiệm duy nhất). Vậy m = 0 là một giá trị cần tìm. * Với m ạ 0, đặt t = mx - 2 ị x = phương trình (2) trở thành: Û t2 + 4t + 4 - 2(m-1)t - 4(m-1) + 2m - m|t| = 0 Û t2 - 2(m-3) t + 8 - 2m - m ẵtẵ = 0 (*) (I) (a) (II) (b) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất. Xét phương trình (b) của hệ (II): Rõ ràng t = -2 < 0 là nghiệm của phương trình (*) nên để phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì cần phải có: * Nếu m = 2 thì phương (a) trở thành t2 + 4 = 0 phương trình này vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất và m = 2 là một giá trị cần tìm. * Nếu m ³ 4 thì phương trình (a) có một nghiệm không âm, vì P = 8 - 2m Ê 0, nên hệ (I) có một nghiệm t ³ 0 mà hệ (II) vẫn có nghiệm t = - 2. Từ đó suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nên các giá trị m ³ 4 không phải là các giá trị cần tìm. Vậy các giá trị cần tìm là m = 0; m = 2. B - Phương trình dạng: ax2+ + bx + c + ẵAẵ+ẵBẵ = 0 Bài 1: Giải phương trình: x2 - 3x + 1 + ẵx + 1ẵ - ẵ2 - 3xẵ = 0 (1) a) Nếu x Ê -1 (1) Û x2 - 3x + 1 - x - 1 + 3x - 2 = 0 Û x2 - x - 2 = 0 ị x = - 1; x = 2 Chỉ có x = -1 là thoả mãn. b) Nếu -1 < x Ê phương trình (1) Û x2 - 3x + 1 + x + 1 + 3x - 2 = 0 Û x2 + x = 0 ị x = 0; x = -1 Chỉ có x = 0 là thoả mãn. c) Nếu x > phương trình (1) Û x2 - 3x + 1 + x + 1 + 2 - 3x = 0 Û x2 - 5x + 4 = 0 ị x = 1; x = 4 (thoả mãn) Tóm lại: Phương trình có nghiệm là: x = -1; x = 0; x = 1; x = 4. C - Phương trình dạng: ax2 + bx + c + ẵmx2 + nx + P)ẵ= 0 Bài 1: Giải phương trình: 3x - 1 - ẵ-x2 + 2x - 3ẵ= 0 Ta thấy: -x2 + 2x - 3 = -4 - (x - 1)2 < 0 . Mọi x Nên phương trình Û 3x - 1 - ẵx2 - 2x + 3ẵ= 0 Û 3x - 1 - x2 + 2x - 3 = 0 Û x