Đề tài Phát huy tính tích cực học tập của học sinh qua việc dạy giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

Trường THCS NGHĩA TRUNG ------------------------------˜ & ™----------------------------- Đề tài khoa học Phát huy tính tích cực học tập của học sinh qua việc dạy giải toán phân tích đa thức thành nhân tử. Người thực hiện: Nguyễn Chỉnh Trường : THCS Nghĩa Trung Quảng ngãI Tháng 02 năm 2008 I .Đặt vấn đề Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói riêng, con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có những tri thức đó con người cần phải học, nhà trường là một trong những nơi cung cấp những hành trang đó . Bộ môn toán trong trường trung học cơ sở, nhất là bộ môn đại số 8 là một bộ môn rèn luyện tính tư duy nhạy bén của học sinh, nó đòi hỏi người học phải nhìn nhận vấn đề dưới mọi góc độ phải liên hệ giữa bài toán đã giải,những kiến thức đã biết để giải quyết.vì vậy người thầy phải cho học sinh nắm được các dạng toán cơ bản và các hướng mở rộng của bài toán đó. Từ đó để học sinh phát triển tư duy và hình thành kĩ năng giải toán. Muốn đạt được điều đó phải đòi hỏi tính tích cực, tính tư duy của người học nhưng phương pháp của người thầy cũng rất quan trọng,làm cho học sinh học một nhưng có thể làm được hai ba. Từ bài toán đơn giản mở rộng lên bài khó . Khi tính toán các phép tính đối với đa thức,nhiều khi cần thiết phải biến đa thức đó trở thành một tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử được áp dụng vào : Rút gọn biểu thức,giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thức,biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Để phân tích đa thức thành nhân tử, có nhiều phương pháp, ngoài ba phương pháp cơ bản như : Đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử, dùng hằng đẳng thức ta còn có các phương pháp khác như tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số nhất định, xét giá trị riêng. Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau do đó khi giảng dạy người giáo viên giúp học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để phát huy được trí lực của học sinh, phát triển được tư duy toán học. Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa. Đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi. Giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp để giải quyết các bài toán khó. Vì vậy, tôi cũng nêu ra phương pháp phát huy trí lực của học sinh qua việc dạy, giải bài tập áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. B. Nội Dung Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1. Các phương pháp cơ bản a. Phương pháp - Tìm nhân tử chung là những đơn,đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. - Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác - Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ). b. Ví dụ: 15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a - b2 ) 2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) xm + 3 + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1) 2.Phương pháp dùng hằng đẳng thức a. Phương pháp: - Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b. Ví dụ: 9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) 8 -27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4) 25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2 3.Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. a. Phương pháp - Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. - áp dụng tiếp tục các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. b. Ví dụ: 2x3 - 3x2 + 2x - 3 = (2x3 + 2x ) - (3x2 + 3) = 2x(x2 +1) - 3(x2 +1) = (x2 +1) (2x - 3) x2 - 2xy + y2 - 16 = (x -y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4) 4. Phối hợp nhiều phương pháp a. Phương pháp: - Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên + Đặt nhân tử chung. + Dùng hằng đẳng thức. + Nhóm nhiều hạng tử. b. Ví dụ: 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) =3x (y -2 )2 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy =3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) =3xy =3xy =3xy =3xy( x-1 - y - a)(x - 1 + y +a ) 5. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử. a. Phương pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng Phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. b. Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử . * Cách 1: x2- 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4) * Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1 = ( x - 3)2 - 1 =( x -3 - 1)( x- 3 + 1) = (x - 4)(x -2) * Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12 =(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2) * Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + 4 ) - 6 (x - 4) =(x - 4)(x + 4 - 6) = (x - 4)(x -2) * Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 -2x + 4 = (x - 2)2 - (x - 2) =( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2) Tuy rằng có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là hai cách sau: *Cách 1: Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới. áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm như sau: - Tìm tích ac - Phân tích tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. - Chọn hai thừa số có tổng bằng b Khi đó hạng tử bx đã được tách thành hai hạng tử bậc nhất. Ví dụ: 4x2 - 4x - 3 - Tích ac là 4.(- 3) = - 12 - Phân tích -12 = -1 . 12 = 1.(-12) =-2 . 6 = -3 .4 =3 .(-4) - Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (- 6) 4x2 - 4x - 3 = 4x2 + 2x - 6x - 3 = 2x( 2x+ 1) - 3 (2x + 1) =(2x + 1)(2x - 3) * Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương. Ví dụ: 4x2 - 4x - 3 = 4x2 - 4x +1 - 4 = ( 2x - 1)2 - 22 = (2x - 1 - 2)(2x - 1 +2) = (2x + 1)(2x-3) 3x2 - 8x + 4 = 4x2- 8x + 4 - x2 = (2x - 2 )2 - x2 = ( 2x - 2 - x)(2x -2 + x ) = (x - 2 )(3x -2) 6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. a. Phương pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a2- b2 sau khi thêm bớt . b. Ví dụ: 4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 =( 2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x) x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + 1 = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) = x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1) II. Các phương pháp khác: 1. Phương pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ ) a. Phương pháp: Đặt ẩn phụ đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản. b. Ví dụ: * Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử . đặt x2 = y ta được 6y2 - 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3) Vậy: 6x4 - 11x2 + 3 = ( 3x2 - 1 )(2x2 - 3) * Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử. đặt x2 + x = y ta được y2 + 4y + 2 = (y +1)(y+2) Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2) 2. Phương pháp hệ số bất định . a. Phương pháp: Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2 + dx +m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia. b.Ví dụ: Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử. Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng (x+a)(x2 + bx + c) = x3 + (a+b)x2 + (ab + c)x +ac Vì 2 đa thức này đồng nhất nên: a+ b = 0 ab + c = -19 ac =-30 Chọn a = 2, c = -15 Khi đó b = -2 thoả mãn 3 điều kiện trên Vậy : x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15) 3. Phương pháp xét giá trị riêng. a. Phương pháp: Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại. b.Ví dụ P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x bởi y thì thấy P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = 0 như vậy P chứa thừa số (x -y) Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa thừa số (y - z), (z - x ). Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x). Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x). đúng với mọi x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = 0 ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) k =-1 Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) c)Ngoài ra ta còn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong đó a,b,c có vai trò như nhau trong biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = 0 khi a=b thì F(a,b,c) sẽ chứa nhân tử a-b,b-c,c-a .Nếu F(a,b,c) là biểu thức đối xứng của a,b,c nhưng F(a,b,c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu không,nếu thoả mãn thì F(a,b,c) chứa nhân tử a+b và từ đó chứa các nhân tử b+c, c+a. c1)Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử F(a,b,c) = a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) - Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2(a-c)+a2(c-a) = 0,do đó F(a,b,c) có chứa nhân tử (a-b). Tương tự F(a,b,c) chứa các nhân tử (b-c) và (c-a) .Vì F(a,b,c) là biểu thức bậc ba do đó F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a). Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có 1+1 = k.1.1.(-2) ị k = -1 Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a) c2)Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz . - Khi x = -y thì F(x,y,z)= -y2z + y2z = 0 nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y Lập luận tương tự ví dụ 1,ta có F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x). 4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức: a. Phương pháp: Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do. Ví dụ: x3 + 3x - 4 Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử còn lại có dạng (x2 + bx + c) -ac = - 4 a là ước của - 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi. Ước của (- 4 ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức đa thức chứa nhân tử ( x - 1). Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x - 1). *Cách 1: x3 + 3x - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2 *Cách 2: x3 + 3x - 4 =x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1) = ( x - 1)(x + 2)2 Chú ý: - Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x-1) -Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1). Ví dụ: * Đa thức: x2 - 5x + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0 Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) *Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + 9 có -5 + 9 =1 + 3 Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1). + Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất. Ví dụ: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là: (-1), 1, (), , (),() (- 3),.....Sau khi kiểm tra ta thấy x= a là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung ( 2x - 1) 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3 = x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1) = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) 5. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai a.Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c Nếu b2 - 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết. Nếu b2 - 4ac không là bình phương của số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa. b. Ví dụ: 2x2 - 7x + 3 a =2, b = -7, c = 3. xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 52 phân tích được thành nhân tử : 2x2 - 7x + 3 = (x - 3)(2x -1) hoặc có thể phân tích bằng cách để ra bình phương đủ 2x2 - 7x + 3 = 2(x2- x +) = 2 (x2 - 2.x + ) = 2 = 2 = 2(x-3)(x-) Chú ý: P(x) = x2 + bx = c có hai nghiệm x1, x2 thì: P(x) = a(x - x1)(x - x2) Phần 2: Giải các bài toán phân tích đa thức 1. Bài toán rút gọn biểu thức. a. Ví dụ: Cho A = a1). Rút gọn A a2). Tính giá trị của A với x = 998 a3).Tìm giá trị của x để A > 1 b. Đường lối giải: Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số, phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm dưới mẫu. Với học sinh: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh. b. Ví dụ 2: (Các bài toán tương tự )Rút gọn biểu thức : A = B = C = Đường lối giải :Để rút gọn các phân thức trên: - Bước 1: ta phải phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử - Bước 2: chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung 2.Bài toán giải phương trình: a.Đường lối giải: Với các phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng, vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì được dạng phương trình tích. A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0 b. Ví dụ: Giải phương trình (4x + 3)2 - 25 = 0 Giải: áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình về dạng. 8(2x - 1)(x +2) = 0 x = hoặc x = -2 3. Bài toán giải bất phương trình a. Đường lối giải: Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phương trình thành đa thức, tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình về dạng bất phương trình tích (A.B 0 ) hay bất phương trình thường. b. Ví dụ: Giải các bất phương trình b1) > 1 Û > 0 Nhận xét: vì (- 2) < 0 ị (x- 2)(x - 3) < 0 ị 2 < x< 3 b2) 3x2 - 10x - 8 > 0 ị(3x+ 2)( x- 4) > 0 Ta lập bảng xét dấu tích .Kết quả x 4 . 4. Bài toán chứng minh về chia hết . a . Đường lối giải: Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết . b .Ví dụ: b1) Chứng minh rằng x ẻZ ta có biểu thức P = (4x+3)2 - 25 chia hết cho 8. Phân tích : P = 8(2x-1)(x+1) chia hết cho 8 b2)Chứng minh rằng biểu thức : là số nguyên n ẻZ Biến đổi biểu thức về dạng và chứng minh (2n+3n2+n3) chia hết cho 6 . Ta có 2n+3n2+n3 = n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp,vì vậy có ít nhất một thừa số chia hết cho 2,một thừa số chia hết cho 3 mà (2;3)=1 nên tích này chia hết cho 6.Vậyn ẻZ thì là số nguyên. 5. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. a)Đường lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức về dạng hằng đẳng thức A2 + m , A2 - m ,A2+B2 . . .(m là hằng số) rồi nhận xét để đi đến kết quả cuối cùng. b. Ví dụ 1 :Chứng tỏ x2+x+1 > 0 x Ta viết : x2+x+1 = x2+2.x+ = (x+)2 + ≥ >0 x. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đa thức A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y (Tương tự :B = x2+y2+xy - x- y ) Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y = (x2+y2+16+xy+8x+4y) + (y2- 3y) + 2005 -16 =(x+y+4)2+( y2 - 2.y+)+1989- = (x+y+4)2+(y-)2+≥ Vì (x+y+4)2≥ 0 , (y-)2 ≥ 0.Dấu " =" xảy ra Û . Vậy A(x,y) đạt GTNN là Phần B cũng ta cũng làm bằng cách tách tương tự . Kết luận Trên đây là 5 loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.Tất nhiên không chỉ có 4 dạng này mà còn có một số bài tập khác cũng vận dụng phân tích thành nhân tử để giải quyết.Với những bài tập vận dụng này đã giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tới phương pháp giải bài toán nhanh hơn,thông minh hơn.Đường lối giải những bài tập này là học sinh biết vận dụng phương pháp tích hợp để giải.Giáo viên hãy tác động đến từng đối tượng sao cho phù hợp như với học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỷ, học sinh khá -giỏi nên ra nét cơ bản hướng dẫn giải theo con đường ngắn nhất.Có như vậy học sinh sẽ hoạt động tích cực hơn, phát huy được tư duy-trí tuệ của mình. Qua các bài tập vận dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử học sinh được rèn luyện - củng cố tư duy tổng hợp. c . Kết luận chung Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp tới các phương pháp khác tạo lên sự lôgíc chặt chẽ của toán học. Các phương pháp được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích. Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức. Trong năm học qua tối đa đã vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất, kể cả các bài tập vận dụng rút gọn biểu thức thì ý nghĩa của việc phân tích đa thức tử và mẫu của các phân thức rất quan trọng, nó không những giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu có thể ) mà còn giúp việc tìm tập xác định mà còn tìm mẫu thức chung của biểu thức. Số học sinh nắm vững các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng được vào các bài tập là 85%. Trên đây là một số suy nghĩ của tôi về vấn đề phát triển tư duy học sinh qua việc dạy giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Rất mong sự góp ý của đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn ! Nghĩa Trung ngày 08 tháng 02 năm 2008 Người viết Nguyễn Chỉnh