Đề tài Phân tích đa thức thành nhân tử - Sáng tạo trong giải toán

Lời nói đầu Tìm ra một cách giải mới là một "phát minh" đó là câu nói nổi tiếng của nhà toán học G.Polia. Là một giáo viên mới ra trường, lần đầu tiên được đứng trên cương vị một người giáo viên để viết một đề tài phạm vi nhỏ ,tôi cảm thấy rất nhiều điều còn hạn chế, đặc biệt là sự cọ sát còn ít ỏi ,đồng nghĩa với việc kinh nghiệm ngề nghiệp còn rất non trẻ . Bởi vậy những điều tôi viết còn mamg tính chủ quan nhiều hơn , quá trình tham khảo ý kiến cũng như đúc kết kinh nghiệm còn hạn hẹp. Có lẽ sau khi các đồng nghiệp hay các bậc đàn anh,đàn chị đọc sáng kiến này sẽ cho rằng đây là một đè tài chưa được sát thực .Bản thân tôi cũng chấp nhận điều đó . Song từ phía tôi lại nghĩ .nếu chúng ta vận dụng một cách linh hoạt đề tài này trong trong khi giảng dạy thì việc phân biệt học sinh miền núi hay đồng bằng chỉ là vấn đề nhỏ. Ngoài ra còn tạo được sự nhẹ nhàng trong việc dạy, việc học khi đó kết quả học tập sẽ khả quan hơn rất nhiều. Tôi rất mong muốn có sự đóng góp của các đồng nghiệp cho đề tài này , nhất là các anh các chị đang công tác cùmg trường để tôi có thể trưởng thành hơn trên con đường thực hiện nhiệm vụ giảng dạy của mình, từ đó bản thân tôi sẽ thấy được ưu và nhược điểm của mình , biết cách phát huy và sửa chữa để kết quả giảng dạy được tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! , tháng 3 năm 2007 Người thực hiện: A. Mở đầu : 1. Lý do chọn đề tài : Trong các môn học ở trường THCS môn toán không chỉ là môn học góp phần vào hệ thống kiến thức của học sinh mà nó còn là môn học hết sức cần thiết cho các môn học khác .Nói cách khác môn Toán là công cụ chủ lực cho việc học một số môn khác (lí, hóa, .) . Góp phần không nhỏ vào việc xây dựng thế giới quan khoa học biện chứng cho học sinh . Tất cả những kiến thức toán học ở trường THCS đều dựa trên tinh thần giáo dục chung ,có tính sát thực bao hàm toàn bộ kiến thức về kỹ thuật tổng hợp .Từ đó tạo điều kiện cho việc hướng nghiệp, gắn với cuộc sống. Nhằm chuẩn bị tốt cho học sinh tham gia vào quá trình lao động xã hội (lao động sản xuất, học tập cao hơn,) Môn toán học góp phần quan trọngtrong việc phát triển tư duy nói chung(tư duy trực quan , tư duy khoa học,),rèn luyện kĩ năng cơ bản mang tính tổng hợp, góp phần xây dựng cho các em một thế giới quan khoa học.Rèn luyện các phẩm chất đạo đức của một con người lao động chủ nghĩa xã hội . Vì vậy dạy toán có một vai trò hết sức quan trọngtrong các mon học tự nhiên và xã hội ,trong lao động sản xuất ,trong việc phát triển tư duy, đạo đức,thẩm mĩ, thể chất , tâm và sinh lý của học sinh ,để từ đó các em có thể tiếp cận với cái mới của thời đại một cách tự nhiên. Hơn thế các em có thể phát huy cao hơn, tốt hơn cái mới đó, trở thành một người lao động giỏi của đất nước. Qua thực tế trước sự cọ sát ban đầu của một giáo viên mới bước vào nghề tôi thấy các em rất ngại học và làm bài tập về "Phân tích đa thức thành nhân tử"(Đ/s 8). Phải chăng đây là dạng bài tập không có thuật toán tổng quát ,bắt buộc học sinh phải tư duy,phải vận dụng linh hoạt một số phương pháp sơ đẳng được học(đặt nhân tử chung ,dùng hằng đẳng thức ). Đó cũng là một vấn đề dẫn đến nguyên nhân học sinh không làm tốt các bài tập dạng này , bởi kiến thức nắm chưa vững , chưa có sự vận dụng linh họat các phương pháp đơn giản .Nói cách khác là chưa liên kết được các phương pháp đơn giản để giải một bài toán phức tạp . Theo tôi nghĩ đây quả thật là một vấn đề nan giải với các đối tượng học sinh nói chung nhất là học sinh vùng cao nói riêng . Chính vì tính quan trọng và cấp thiết của việc daỵ và học môn toán nói chung ,đặc biệt là việc dạy các phương pháp "Phân tích đa thức thành nhân tử" nói riêng .Tôi muốn mạnh dạn giới thiệu với các đồng nghiệp và các em học sinh một cách có hệ thống logic chặt chẽ các phương pháp "Phân tích đa thức thành nhân tử" mà tôi cho là đầy đủ nhất . Các phương pháp sẽ được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp , mỗi phương pháp phân tích có kèm theo các ví dụ cụ thể rõ ràng, để từ đây sẽ là chìa khóa cho các em làm tốt các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử , các bài tập có liên quan , khắc sâu cho các em một đơn vị kiến thức ,một công cụ sắc bén trong quá trình lao động học tập hiện tại và ở các lớp cao hơn . Rõ ràng bên cạnh việc đưa ra hệ thống kiến thức tốt, kèm theo đó phải có sự tác động đúng mức về mặt tâm lí lứa tuổi mà tôi cho là cần thiết , để tạo niềm đam mê học toán ,sự hứng thú và sảng khoái trong giờ toán ,từ đó có sự ảnh hưởng lớn về mặt tích cực đến những môn học khác và đó sẽ là sự định hướng về tương lai cho các em . Tôi tin rằng nếu chúng ta có thể làm được những điều nói trên thì chất lượng dạy và học sẽ được nâng cao rõ rệt. 2. Mục đích nghiên cứu : Xây dựng một cách có hệ thốngcác phương pháp phân tích cho học sinh là trang bị cho các em mọtt phần tri thức còn thiếu hụt từ đó các em có thể làm tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ,các bái toán có liên quan một cách đúng đắn nhất ,nhanh gọn và dễ hiểu nhất .Trên cơ sở đó các em có thể phát triển thêm về kiến thức toán học của mình giúp các em xứng đáng là con người chủ nghĩa xã hội . Thông qua việc làm bài tập ,phát triển kĩ năng vận dụng ,kĩ năng phân tích, tổng hợp, kĩ năng tư duy logic và kĩ năng nhín nhận vấn đè không chỉ trong học tập mà còn trong cuộc sống một cách khoa học hơn . 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu : a.Khách thể nghiên cứu : Nghiên cứu việc dạy và khả năng lĩnh hội tri thức của học sinh khi học phần "Phân tích đa thức thành nhân tử " (Đại số 8). b. Đối tượng nghiên cứu : Tìm và đưa ra các dạng bài tập về "Phân tích đa thức thành nhân tử" một cách phông phú ,có hệ thống kèm theo các phương pháp giải có thể trên cơ sở đó có sự lồng ghép các dạng bài tập bất quy tắc đòi hỏi sự tư duy học sinh . 4. Giả thuyết khoa học : Đại số là một môn thuộc khoa học tự nhiên ,có thể coi bộ mon này là "một sợi chỉ đỏ " xuyên suốt trong quá trình học tập và trong dời sống xã hội .Bởi vậy bộ môn này rất được coi trọng trong chương trình phổ thông trung học . Cả giáo viên và học sinh đều rất quan tâm đến bộ môn này .Song kết quả lại không như mong đợi .Thật vậy qua tìm hiểu đã cho thấy một số nguyên nhân sau : a. Về phía giáo viên : Chưa có sự đầu tư thực sự về chuyên môn ,hay một số giáo viên chưa tìm tòi tiếp cận cái mới của toán học Điều này là một vấn đề lớn đối với giáo viên vùng cao bởi họ thực sự chịu ảnh hưởng rất lớn từ bản thân học sinh ,gia đình học sinh ,.và nhất là về các phương tiện thông tin đại chúng . b. Về phía học sinh : Có rất nhiều lí do để nói .Song theo tôi nghĩ điều ảnh hưởng lớn nhất nói chung là sự nghễnh ngảng về tâm lí ,đây là lứa tuổi rất ham chơi ,chưa thấy được sự quan trọng của vịc học đối với tương lai Ngoài ra đối với học sinh vùng cao còn chịu sự ảnh hưởng rất lớn về phong tục ,khó khăn về đường đi ,nơi ăn , chốn ở ,đã khiến các em đi học không đều. Bên cạnh đó thì lượng kiến thức trong chương trình ngày càng nhiều các em có lẽ chỉ nắm đại khái ,thậm chí còn không nắm được gì . Đứng trước tình hình chung đó ,chúng ta những người thầy, người cô cần có sự quan tâm , có sự phối hợp chặt chẽ giữa nhà trường- gia đình- xã hội để có thể dưa các em đi đúng quỹ đạo chung của giáo dục nước nhà . "Phân tích đa thức thành nhân tử "(Đại số 8) là một trong những đơn vị kiến thức khó ,đòi hỏi cần phải có sự chịu khó ,tư duy cao,Vì vậy nếu không có sự quan tâm đúng mức thì sự sa sút về học lực của các em không có gì lạ ,từ đó sẽ kéo theo hàng loạt đơn vị kiến thức có liên quan bị các em buông lỏng. Bên cạnh đó một trông những nguyên nhân được coi là không kém phần quan trọng đó là sự bế tắc trước một bài toán sẽ làm các em tự buông xuôi ,lơ là việc học ,không có hứng thú .Vì cvậy việc tạo được hứng thú cho các em trong học tập là rất quan trọng . 5.Các nhiệm vụ nghiên cứu : Tìm hiểu nguyên nhân từ phía học sinh, giáo viên từ đó đưa ra hệ thống bài tập "Phân tích đa thức thành nhân tử" một cách khoa học ,logic kèm theo phương pháp giải nếu có thể giúp học sinh nắm một cách có hệ thống . 6. Giới hạn đề tài : Chỉ đưa ra các dạng bài tập từ đơn giản đến phức tạp theo một logic có kèm theo phương pháp giải nếu có thể làm nền tảng để giải các bài toán có liên quan. 7. Luận điểm bảo vệ : - Những dạng bài tập về "Phân tích đa thức thành nhân tử " kèm theo cách giải các dạng từ đơn giản đến phức tạp. -Những bài tập có liên quan đến phân tích như : giải phương trình tích , tìm tập xác định 8. Các đóng góp mới cũng như ý nghĩa của lí luận và tính thiết thực của đề tài : Với đề tài này ,bản thân tôi tự nghĩ đây là một trong những đóng góp thiết thực cho việc dạy môn đại số ở trường THCS cũng như các cấp học trên. Đây là một trong những đơn vị kiến thức mang tính chất "điểm tựa" để các em có thể làm tốt các phần kiến thức lớp trên như giải phương trình bậc cao , tìm giá trị lớn nhất , bé nhất, Đặc biệt tìm được học sinh giỏi để có sự đầu tư . Trong đề tài này theo tôi thì hệ thống các bài tập đã đầy đủ ,logic ,từ cơ bản đến phức tạp ,từ có quy tắc đến bất quy tắc ,với việc đưa ra hệ thống từ lý thuyết đến bài tập có quy trình sẽ tạo sự nhẹ nhàng và hiệu quả trong việc dạy và học .Điều này sẽ làm cho các em chủ động hơn trong việc học ,tạo hứng thú và thấy được tính quan trọng của việc học . 9. Cơ sở phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu : a. Cơ sở phương pháp luận : Thông qua thực tiễn giảng dạy, khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh ,nhất alf học sinh vùng cao và dựa trên hệ thống các sách viết về đại số 8. b. Phương pháp nghiên cứu : Thu thập thông tin Phân tích và tổng hợp thông tin Quan sát, điều tra khảo sát Kết hợp các tài liệu B . Nội dung I. Cơ sở lí luận : 1. "Phân tích đa thức thành nhân tử "là đơn vị kiến thức không thể thiếu trong chương trình (Đại số 8 ) Yêu cầu chủ yếu của việc dạy môn đậi số 8 ở trường THCS là học sinh phải nắm hệ thống, nắm vững các khái niệm ,định nghĩa, tính chất các thuật toán cơ bản đối với biểu thức đại số . Đặc biệt với đối tượng học sinh lớp 8 việc nắm vững kiến thức đại số sẽ cho phép các em vận dụng tốt vào chương trình hiện tại và ở các lớp trên ,trong đời sống hàng ngày .Thông qua vịêc lĩnh hội các kiến thức , sẽ trang bị thêm cho các em về trí tuệ, rèn luyện về phẩm chất đạo đức , phát triển thêm về thế giới quan khoa học biện chứng . Hầu hết các bài toán đại số , đều không có thuật toán tổng quất. Vì vậy giáo viên có trách nhiệm phải khơi mào cho học sinh, hướng các em theo suy nghĩ đúng đắn, đây là cơ hội tốt cho giáo viên trang bị dần cho học sinh một số tri thức về phương pháp giải toán học hóa , rèn luyện tính tư duy khoa học mà đay là một năng lực không thể thiếu đối với học sinh . "Phân tích đa thức thành nhân tử"là một đơn vị kiến thức khá phức tạp và khó. Chỉ khi ta bắt tay vào làm việc thì mới thấy được tính logic, chặt chẽ của vấn đề(cộng ,trừ, nhân, lũy thừa,) Tất cả đều vận dụng theo một quy trình tuyệt đối chính xác. Đây không chỉ là yêu cầu riêng cho phân tích, nà còn là yêu cầu chung đối với toán học . Vì vậy khi gặp các bài tập toán về phân tích ,cũng như các bài toán có liên quan thì mỗi học sinh phải chuẩn bị cho mình những gì trong quá trình giải (Đọc kĩ đề bài, xem xét vấn đề có liên quan , từ đó xây dựng cho mình một quy trình giải đúng đắn nhất ). Đồng thời cần phải biết suy đoán, suy luận theo từng bước . Nếu không vận dụng được những yêu cầu trên thì việc giải sẽ dẫn đến luẩn quẩn ,không cho kết quả hoặc kết quả sai.klfghkhkhkj 2. Yêu cầu của việc vận dụng "phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử": Ta có thể xem việc tìm được một cách giải mới cho bài toán là một "phát minh" đó chính là câu nói nổi tiếng của G.Polia nhà toán học người úc hfghghgh. Vì vậy để vận dụng tốt trong quá trình phân tích đa thức ta cần chú ý những điểm sau : Phân tích, tổng hợp và nhận xét đề bài Xây dựng chương trình giải Thực hiện chương trình giải Kiểm tra, nghiên cứu lại lời giải II. Tình hình thực tiễn : 1. Thực tiễn khảo sát trước khi áp dụng đề tài : Là một giáo viên trực tiếp đứng lớp môn toán khối 8 trường THCS Quảng Lộc. Tôi thấy rằng hầu hết các em không thích làm bài tập phần "Phân tích đa thức thành nhân tử", có lẽ đây là một vấn đề khó khăn , cần tìm ra đúng nguyên nhân để có hướng khắc phục . Qua một thời gian giảng dạy, cùng với sự điều tra từ phía các em thì hầu hết các em đều phản ánh đây là dạng toán khó , chỉ làm được những bài tập cực kì đơn giản không dùng đến tư duy còn các bài toán đòi hỏi vận dụng sáng tạo thì không làm được. Có lẽ nguyên nhân chính ở đây tôi xin được nói chung vấn đề này là : Xuất phát từ khả năng nhận thức của học sinh còn thấp . Sự cộng hưởng giữa ba mặt Nhà trường- Gia đình-Xã hội chưa đạt yêu cầu dẫn đến hệ thống tri thức của các em không liên tục. Điều này sẽ làm cho các em ngày một chễnh mảng trong học tập . Bên cạnh đó một yếu tố nữa có ảnh hưởng cũng không kém đó là một số giáo viên thiếu sự tâm huyết với nghề nghiệp. Có lẽ tôi phải hết sức xin lỗi các bậc đàn anh, đàn chị đi trước khi nói ra điều này. Song đó vẫn là vấn đề thực tế . Qua việc tham khảo kết quả khảo sát chất lượng đầu năm cho thấy đây là một vấn đề nan giải, kết quả khá khiêm tốn . Vậy thì nguyên nhân nào dẫn đến kết quả thấp như vậy? 2. Nguyên nhân : Qua tìm hiểu thực tế thì tôi thấy nguyên nhân chủ yếu là : a. Đối với học sinh : Tư tưởng "nghỉ ngơi" sau ba tháng hè vẫn còn phảng phất chưa trú tâm vào việc học ngay từ đầu . Kiến thức cũ,kiến thức cơ bản nắm không vững hoặc không nắm được nên vận dụng sai, không hợp lí trong quá trình làm bài thậm chí có nhiều em không làm được gì . Tâm lí lứa tuổi đã ảnh hưởng lớn đến mục tiêu học tập . Dành thời gian cho việc học còn ít, không biết tự học. Tham gia lao động trong gia đình còn nhiều, thậm chí không bao giờ học bài cũ , xem thời gian lên lớp là việc nghỉ ngơi . b. Đối với giáo viên : Chưa cung cấp đầy đủ ,hệ thống các phương pháp "Phân tích đa thức thành nhân tử " . Việc thực hành các bài tập trên lớp cho các em còn ít . Chưa xây dựng được phương pháp dạy đúng để kích thích sự say mê học tập của các em. Nhất là học sinh vùng cao, cần có sự gần gũi để các em có được niềm tin, sự ấm cúng khi lên lớp. Chưa tập trung được thời gian để bồi dưỡng học sinh yếu kém . Có lẽ nếu nói như vậy thì nguyên nhân đều từ hai phía học sinh và giáo viên . Nhưng nếu chúng ta nhìn nhận sâu xa hơn một chút thì nguyên nhân trên xuất phát từ một nguyên nhân rất đơn giản là sự thiếu quan tâm của gia đình tới việc học của các em , theo tôi đây là một nhân tố có tác động quyết định để các em đến trường đầy đủ hơn, về nhà học bài nhiều hơn Từ đó về phía giáo viên chúng tôi có được niềm tin trong nghề, có được lóng tự tin vào những việc mình đang làm. 3. Các giải pháp đã áp dụng: Tạo hứng thú học tập sẽ kích thích khả năng sáng tạo của các em. Thông qua một số bài toán cụ thể , yêu cầu các em phân tích ,tổng hợp và giải quyết bài toán đó thông qua sự khai mào của giáo viên. Chỉ có như vậy mới truyền thụ cho học sinh kinh nghiệm, cách thức tiến tới nghệ thuật tìm tòi lời giải cho dạng toán phân tích này. Thông qua hệ thống các bài tập và các phương pháp phân tích, tôi chia thành hai dạng bài tập. ứng với mỗi dạng là các phương pháp phân tích cụ thể, có kèm theo các ví dụ minh họa. Dạng 1: Các phương pháp phân tích cơ bản (Có 4 phương pháp) 1. Phương pháp đặt nhân tử chung : Đây là phương pháp đơn giản nhất . Song học sinh đôi khi vẫn lúng túng bởi chưa có kĩ thuật để làm xuất hiện nhân tử chung, đưa về dạng : A. B + A . C = A . (B+C) (1) B . A + C . A = (B + C) . A (2) Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : (2a2 - 3ax)(5y+2b) - (6a2 - 4axiu)(5y+2b) Phân tích : Hãy đặt (5y+2b) ra ngoài dấu ngoặc để đưa về dạng : B . A + C . A = (B+C) . A hoặc biến đổi đưa về : A. B + A. C = A . (B+C) Biến đổi : (2a2 - 3ax)(5y+2b)-(6a2 - 4ax)(5y+2b) = (5y+2b)(2a2 - 3ax-6a2 +4ax) = a(5y + 2b)(x-4a) Lý do : Vì (2a2 - 3ax)(5y+2b) = (5y+2b) (2a2 - 3ax) = (6a2 - 4ax)(5y+2b) = (5y+2b) (6a2 - 4ax) Chú ý : đối với học sinh miền xuôi có thể chỉ cần gợi ý thông qua tính chất giáo hoán của phép nhân : A.B =B . A 2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức : Đây cũng là một phương pháp cần có kĩ năng biến đổi tốt để làm xuất hiện các hằng đẳng thức ,từ đó dùng các hằng đẳng thức để đưa bài toán về tích các nhân tử . Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2 +1)2 - 4x2 Phân tích : ở đây ta không thể sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung mà phải biến đổi đưa về dạng (A2 - B2) Biến đổi : (x2 +1)2 - 4x2 = (x2 +1)2 - (2x)2 = (x2 -2x +1) (x2 +2x +1) =(x-1)2 . (x+1)2 Lý do : Vì 4x2 = (2x)2 Vận dụng : a2 - b2 = (a-b) (a+b) Vận dụng : a2 +2ab + b2 = (a+b)2 Vận dụng ; a2 -2ab + b2 = (a-b)2 Chú ý : a. Có những bài toán đôi khi rất đơn giản nhưng học sinh vẫn nhầm tưởng mình đã phân tích xong nhưng chưa phải nhưng chưa phải nhất là học sinh vùng cao. VD: Phân tích đa thức thành nhân tử : (x2 + 2)2 - 9x2 Ta biến đổi tương tự đưa về : (x2 - 3x + 2 ) (x2 + 3x + 2 ) đến đây việc phân tích chưa triệt để ta phải phân tích tiếp hai đa thức (x2 - 3x + 2 ) và (x2 + 3x + 2 ) thành nhân tử . b. Nếu gặp một số bài toán không vận dụng được 7 hằng đẳng thức ta sử dụng nhị thức Niutơn hoặc tam giác Pascal: + Nhị thức Niutơn : (a+b)n = an +C1n an-1b + +Cnn-1a.bn-1 + bn Với Cnk = quy ước 0! = 1 n! = n.(n-1)(n-2) .1 + Tam giác Pascal: Cần giới thiệu cách xây dựng tam giác Pascalvaf cách sử dụng nó . 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 . Ngoài ra ta có thể vận dụng thêm các hằng đẳng thức sau : (an -bn ) = (a -b )(an-1+an-2.b + ..+ a.bn-2 + bn-1) (mọi n) (an +bn ) = (a +b )(an-1-an-2.b + ..- a.bn-2 + bn-1) ( n lẻ) 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử : Trong nhiều trường hợp ta cần nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức . Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 +3x2y +x +3xy2 + y +y3 Phân tích : ở đây bài toán này không thể vận dụng đơn lẻ một trong hai phương pháp trên , mà phải vận dụng cả hai . Sắp xếp hợp lí và nhóm các hạng tử : x3, 3x2y ,3xy2,y3 vào một nhóm , các hạng tử x,y vào một nhóm . Sau đó vận dụng hai phương pháp đã học để biến đổi . Cụ thể : Biến đổi : x3 + 3x2y +x +3xy2 +y +y3 = = (x3 +3x2y +3xy2 +y3) + (x+y) = (x+y)3 + (x+y) = (x+y)[ (x+y)2+1] Lý do : -Vận dụng tính chất kết hợp - Vận dụng hằng đẳng thức : (A+B)3 = A3 +3A2B+3AB2 + B3 -Vận dụng phương pháp 1 4. Phân tích bằng cách phối hợp nhiều phương pháp : Trong nhiều trường hợp chúng ta không thể sử dụng đơn lẻ các phương pháp trên mà cần phải phối hợp nhiều phương pháp mới giải quết được bài toán . Chẳng hạn : Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : (x3 -x2) -4x2 +8x -4 . Phân tích : - Thử từng phương pháp đã học đều không được - Biến đổi : (x3 -x2) và (-4x2 +8x -4) để xuất hiện nhân tử chung . - Vận dụng cả hai phương pháp 1và 2 Dạng 2 : Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử không cơ bản . Biến đổi : (x3 -x2) - 4x2 +8x -4 = x2 (x-1) -4(x2-2x+1) = x2(x-1) -4(x-1)2 = (x-1)[x2 - 4(x-1)] = (x-1)(x2 -4x+4) = (x-1)(x-2)2 Lý do : - Vận dụng : A.B + A.C= A (B + C) -Vận dụng : (A-B)2 = A2 - 2AB + B2 5. Phương pháp phân tích tách một hạng tử thành hai hạng tử khác . Phương pháp này có thể áp dụng với nhiều đa thức dạng khác nhau . Song ở đây ta chỉ áp dụng với dạng : ax2 + bx + c (a,b,c 0 ) . ở đây có rất nhiều cách tách nhưng có hai cách phổ biến nhất là : a. Tách hạng tử bx thành hai hạng tử sau đó vận dụng phương pháp đặt nhân tử chung . b. Tách hạng tử c thành hai hạng tử rồi đưa về dạng a2 - b2 ,sau đó vận dụng phương pháp phân tích đa thức dùng hằng đẳng thức . Chẳng hạn : Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử . 9x2 + 6x - 8 . Cách 1 : Tách 6x . Phân tích : Không thể vận dụng trực tiếp các phương pháp cơ bản để giải bài toán . Ta tách hạng tử 6x thành tổng (hiệu) hai hạng tử , sau đó nhóm hợp lí làm xuất hiện nhân tử chung . Biến đổi : 9x2 + 6x - 8 = 9x2 - 6x + 12x -8 = (9x2 -6x ) +(12x - 8 ) = 3x(3x - 2 )+ 4 (3x -2 ) =(3x - 2)(3x + 4) Lý do : - Vì 6x = -6x +12x - Vận dụng tính chất kết hợp - Vận dụng phương pháp 1 Cách 2 : Tách hạng tử -8 Phân tích : Vận dụng các phương pháp cơ bản đều không cho kết quả . Tách hạng tử -8 thành tổng (hiệu) của hai hạng tử sau đó nhóm hợp lí đưa về dạng a2 - b2 Thật vậy : Biến đỏi : 9x2 + 6x - 8 = 9x2 + 6x + 1 - 9 = (9x2 + 6x + 1) - 9 = (3x + 1)2 - 32 = [ (3x+1) - 3 ] [(3x + 1) + 3] = (3x -2 ) (3x + 4) Lý do : - Vì : -8 = 1- 9 - Vận dụng tính chất kết hợp . - Vận dụng hằng đẳng thức : A2 - B2 = (A-B) (A+B) Tổng quát : Qua việc thực hành hai cách trên, đặc biệt việc tách đa thức có dạng : ax2 + bx + c (a,b,c ≠ 0 ) Ta có cách tách tổng quát sau : Nếu đa thức : ax2 + bx + c có hệ số b = b1 +b2 và b1 b2 = ac , trong thực hành ta làm như sau : i). Tìm tích a.c ii). Phân tích a.c thành tích hai số nguyên bằng mọi cách nếu có thể . iii). Chọn ra hai số có tổng bằng b và tích bằng a.c . Chú ý : - Trong nhiều trường hợp hệ số b lẻ hoặc a không là số chính phương ta phải vận dụng cách tách 1 - Nếu a là số chính phương thì ta vận dụng cách tách 2 . - Các cách tách trên chỉ vận dụng với đa thức một biến . 6. Phương pháp tìm nghiệm đa thức : ở đây để hiểu được phương pháp này cần trang bị cho học sinh biết đinh nghĩa nghiệm của đa thức . Thật vậy: Định nghĩa : Số nguyên a Z* là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0 . Như vậy , đa thức f(x) có nghiệm x=a thì nõ chứa thừa số (x - a) . Điều này đồng nghĩa với việc a là ước của hệ số tự do . Từ đó ta có thể sử dụng lược đồ sau trong quá trình phân tích của đa thức dạng : f(x) = anxn + an-1 xn-1 + .. + a1x + a0 Với a là nghiệm của đa thức trên thì f(x) = (x-a) . Q(x). Trong đó hệ số của Q(x) được tính : an an-1 ... a1 a0 a an a. an+ an-1 .. Có nghĩa là Nếu : Q(x) = bn-1xn-1 + bn-2 xn-2 + .+b1x + b0 Thì : bn-1 = an ; bn-2 = a.an + an-1 bn-3 = a. b n-2 + an-2 .. b1 = a.b2 + a1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng pgương pgáp tìm nghiệm đa thức có hai dạng : a. Phương pháp tìm nghiệm nguyên , nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi . Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử f(x) = x3 - x2 -4 Phân tích : Ta thấy không thể vận dụng các phương pháp cơ bản để phân tích . ở đây ta sẽ thử các cặp số nguyên : ± 1 ; ±2 ; ± 3 vào đa thức .Nếu số nào cho giá trị f(x) = 0 thì đó là nghiệm của đa thức . Thật vật ta thấy x = 2 thì f(x) = 0 . Chứng tỏ 2 là nghiệm . Có nghĩa là f(x) có chứa thừa số (x-2) . Đến đây bài toán trở nen đơn giản với việc sử dạng lược đồ trên , hoặc có thể tách các hạng tử . Chẳng hạn : Biến đổi x3 - x2 -4 = x3 - 2x2 + x2 -4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 4) =x2 (x-2) + (x - 2) (x+2 ) = (x - 2) (x2 + x + 2) Lý do : - Vì - x2 = - 2x2 + x2 - Vận dụng tính chất tổng đại số - Vận dụng phương pháp 1 ở đây ta còn có thể tách : x3 - x2 -4 = x3 -x2 -8 + 4 . Từ đó việc giải tương tự . Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên của một đa thức ta cần chú ý hai định lý sau i). Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của f(x) và f(x) chứa thừa số (x - 1) ii). Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số bậc lẻ bằng tổng hệ số bậc chẵn thì - 1 là nghiệm của đa thức f(x)và đa thức f(x) có chứa thừa số (x + 1) b. Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ : Một đa thức có thể có nghiệm hoặc không có nghiệm . Nếu đa thức có nghiệm thì hoặc là nghiêmj nguyên hoặc là nghiệm hữu tỉ . Nếu là nghiệm hữu tỉ thì có dạng trong đó : p là ước của hạng tử không đổi , q là ước của hệ số hạng tử có bậc cao nhất . Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 Phân tích : Không thể áp dụng các phương pháp cơ bản để phân tích , ta áp dụng phương pháp tìm nghiệm đa thức để phân tích . Xét các tập : q = ± 1; ± 2 ; ± 3 ; . p = 1 ; 2 ; 3 ; . = ± 1 ; ± ; ± 3 ; . Thay váo f(x) ta thấy x = là nghiệmcủa đa thức f(x) . Vì vậy f(x) có chứa nhân tử (2x - 1) . Khi đó ta áp dụng lược đồ hoặc tách f(x) làm xuất hiện nhân tử chung (2x - 1) Biến đổi : 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 2x3 - x2 - 4x2 + 6x + 2x - 3 = x2 (2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1) (x2 - 2x + 3) Lý do : - Vì - 5x2 = - x2 - 4x2 8x = 2x + 6x - Sử dụng phương pháp 1 và 3 Chú ý: Phương pháp tìm nghiệm đa thức chỉ áp phổ biến với đa thức bậc 3 một ẩn . 7. Phương pháp phân tích bằng thêm bớt : Đây là một phương pháp khó , đòi hỏi phải vận dụng nhiều kĩ năng , sau khi thêm bớt thì có thể sử dụng các phương trên . Có hai cách thêm bớt : Cách 1 : Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức : Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 4x4 + 81 Phân tích : - Vận dụng các phương đã học đều không được - Ta thêm bớt hạng tử 36x2 . Khi đó : Biến đổi : 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (4x4 + 36x2 + 81) - 36 x2 = (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 + 6x + 9 ) Lý do : - Thêm 36x2 và bớt 36x2 thì đa thức không đổi - Vận dụng tính chất kết hợp Cách 2 : Thêm bớt để làm xuất hiện nhân tử chung. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : x7 + x2 + 1 Phân tích : - Không vận dụng được các