Đề tài Phân dạng các bài toán về phương trình bậc hai trong chương trình Toán THCS

a. ®Æt vÊn ®Ò i. lý do chän ®Ò tµi 1. C¬ së lý luËn Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội. Vì vậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra. Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình bậc hai là một phần học quan trọng trong chương trình lớp 9 THCS, một trong những phần mà trong các đề thi học sinh giỏi cũng như tuyển sinh thường ra . Đó cũng là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. 2. Cơ sở thực tiễn Phương trình bậc hai là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải phương trình như thế nào? có những phương pháp giải nào? Hoc sinh không phân dạng ra được nên khi giải theo một cách chung chung dẫn đến lệch hướng đi không giải được. Các bái toán về phương trình bậc hai rất đa dạng và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này chỉ nêu ra cách giải chung chưa phân dạng và phương pháp giải cụ thể gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên. Vì vậy việc nghiên cứu để “phân dạng các bài toán về phương trình bậc hai trong chương trình Toán THCS” là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS. 3. Khảo sát chất lượng ban đầu Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Số lượng HS 0 4(6%) 20(30%) 42(64%) II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu về “các dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai trong chương trình toán THCS”. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả. Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần phương trình bậc hai trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán. Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về phương trình bậc hai. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường. 2. Phân dạng các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong chương trình toán THCS. 3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài. 4. Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm. IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Đối tượng nghiên cứu: a. Các tài liệu có liên quan . b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS . 2. Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong chương trình Toán THCS. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 2. Phương pháp điều tra, khảo sát. 3. Phương pháp thử nghiệm . 4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm . VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán này hơn . b. gi¶i quyÕt vÊn ®Ò i. Mét sè kiÕn thøc liªn quan 1) §Þnh nghÜa. Ph­¬ng tr×nh bËc hai lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng trong ®ã a, b, c lµ c¸c sè cho tr­íc vµ . 2) C¸ch gi¶i: B­íc 1: X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè , vµ cña ph­¬ng tr×nh ®· cho. B­íc 2: TÝnh biÖt thøc ®en-ta: hoÆc (trong ®ã ) B­íc 3: Dùa vµo dÊu cña (hoÆc ) ®Ó x¸c ®Þnh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. +) NÕu () th× ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. +) NÕu () th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm kÐp +) NÕu () th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: vµ B­íc 4: KÕt luËn. L­u ý. NÕu ph­¬ng tr×nh cã th× nã lu«n cã hai nghiÖm vµ NÕu ph­¬ng tr×nh cã th× nã lu«n cã hai nghiÖm vµ 3) §iÒu kiÖn cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . (1) ( Chó ý: Ph­¬ng tr×nh (1) ch­a ph¶i lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai ) +) Ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai . +) Ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt . +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt . +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt . +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm . +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm hoÆc +) Ph­¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm hoÆc 4) HÖ thøc Vi-et. NÕu ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm vµ th× vµ 5) Hµm sè ii. C¸c d¹ng to¸n th­êng gÆp. D¹ng 1: Bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh (*) khi cho biÕt gi¸ trÞ cña tham sè m = k. 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i B­íc 1: Thay m = k vµo ph­¬ng tr×nh (*) ®Ó ®­îc mét ph­¬ng tr×nh míi Èn x. B­íc 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh võa thu ®­îc ®Ó cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. B­íc 3: KÕt luËn. 2)VÝ dô: Cho ph­¬ng tr×nh: (1) (víi m lµ tham sè) a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi . b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) nghiÖm kÐp. Gi¶i: a) Khi ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh: . (*) Ph­¬ng tr×nh (*) cã: , vµ . V× nªn ph­¬ng ph­¬ng tr×nh (*) sÏ cã hai nghiÖm vµ . VËy khi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ vµ . b) Ph­¬ng tr×nh (1) cã: , , , vµ §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp th× . VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp. D¹ng 2: Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm . 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i B­íc 1: Thay vµo ph­¬ng tr×nh (*) ®Ó ®­îc mét ph­¬ng tr×nh míi Èn m. B­íc 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh Èn m võa thu ®­îc ®Ó cã ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè m. B­íc 3: KÕt luËn. 2)VÝ dô: Cho ph­¬ng tr×nh Èn x tham sè m: (1) a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm . b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ t×m hai nghiÖm ph©n biÖt ®ã. Gi¶i: a) Thay vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta ®­îc: (*) Ph­¬ng tr×nh (*) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn m cã: , vµ . V× nªn ph­¬ng tr×nh (*) sÏ cã hai nghiÖm lµ vµ . VËy víi hoÆc th× ph­¬ng tr×nh (1) sÏ cã mét nghiÖm . b) Ph­¬ng tr×nh (1) cã: , , , vµ §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× . Khi ®ã, hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: vµ VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt. D¹ng 3: Bµi to¸n liªn quan ®Õn ®iÒu kiÖn vÒ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) 1) KiÕn thøc cÇn nhí. +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ tr¸i dÊu . +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ cïng dÊu +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ ®Òu d­¬ng +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ ®Òu ©m +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ ®èi nhau +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ lµ nghÞch ®¶o cña nhau 2) VÝ dô. VÝ dô 1. Cho ph­¬ng tr×nh Èn x, tham sè m: (1) Chøng minh r»ng: Ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm cïng dÊu . Khi ®ã hai nghiÖm mang dÊu g× ? Gi¶i: Ta cã: ; ; ; vµ . a) V× ph­¬ng tr×nh (1) cã nªn ph­¬ng tr×nh (1) lµ mét ph­¬ng tr×nh bËc hai. (*) MÆt kh¸c: (**) Tõ (*) vµ (**) ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m. b) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm cïng dÊu th× . Khi th× tæng hai nghiÖm nªn hai nghiÖm nµy ph¶i ®Òu d­¬ng. VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm cïng dÊu vµ khi ®ã hai nghiÖm ®Òu d­¬ng. VÝ dô 2. Cho ph­¬ng tr×nh Èn x, tham sè m: (1) a) Chøng minh r»ng: Ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi . b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña nhau. c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ®Òu mang dÊu ©m. Gi¶i: Ta cã: ; ; vµ a) Khi th× nªn ph­¬ng tr×nh (1) lµ mét ph­¬ng tr×nh bËc hai. (*) MÆt kh¸c: (**) Tõ (*) vµ (**) ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m. b) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ®èi nhau th× VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ®èi nhau. c) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ®Òu mang dÊu ©m th×: (kh«ng tån t¹i m) VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ®Òu ©m. D¹ng 4: Bµi to¸n sö dông hÖ thøc Vi-et. Lo¹i 1. Nh÷ng bµi to¸n sö dông trùc tiÕp hÖ thøc Vi-Ðt . 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i B­íc 1: T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ . (tøc lµ t×m m ®Ó cho vµ hoÆc ) B­íc 2: BiÕn ®æi hÖ thøc ®· cho thµnh hÖ thøc míi cã chøa vµ B­íc 3: Thay vµ vµo hÖ thøc võa biÕn ®æi ®Ó ®­îc mét ph­¬ng tr×nh míi Èn m. B­íc 4 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh Èn m võa thu ®­îc ®Ó cã m. B­íc 5 : §èi chiÕu m võa t×m ®­îc víi ®iÒu kiÖn ë b­íc 1, råi kÕt luËn. L­u ý. 2) VÝ dô. VÝ dô 1. Cho ph­¬ng tr×nh Èn x, tham sè m: (1) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm. T×m m sao cho ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a) . b) . c) . Gi¶i: 1) Ta cã: ; ; ; vµ: . §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm th× . VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm. 2) Tr­íc hÕt ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ th× . (theo c©u a) Khi ®ã, ¸p dông hÖ thøc Vi –Ðt ta ®­îc: a) Ta cã: . (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn). VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . b) Ta cã: (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . c) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn th× tr­íc hÕt ph­¬ng tr×nh (1) ph¶i cã hai nghiÖm vµ kh«ng ©m. Tøc lµ: . MÆt kh¸c: (tho¶ m·n) VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . VÝ dô 2. Cho ph­¬ng tr×nh Èn x, tham sè m: (1) a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m. b) Gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: Gi¶i: a) Ta cã: ; ; ; V× nªn ph­¬ng tr×nh (1) lµ mét ph­¬ng tr×nh bËc hai. (*) MÆt kh¸c: () (**) Tõ (*) vµ (**) ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m. b) V× ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm vµ (chøng minh c©u a) nªn theo hÖ thøc Vi- Ðt ta cã: vµ . MÆt kh¸c ta l¹i cã: V× . DÊu “=” x¶y ra khi . VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A b»ng (-3). §¹t ®­îc khi m = 0. VÝ dô 3. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai tham sè m: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm tr¸i dÊu. Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. Gäi vµ lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. a) Chøng minh biÓu thøc kh«ng phô thuéc vµo m. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: . Gi¶i: 1) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu th× . VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. 2) Ta cã: , , , V× ph­¬ng tr×nh (1) lµ mét ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã: Nªn ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m. (®pcm) 3) V× ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ , ¸p dông hÖ thøc Vi - Ðt ta ®­îc: a) Ta cã: . BiÓu thøc M kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña tham sè m. (®pcm) b) Ta cã: vµ . VËy víi th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . Lo¹i 2. Nh÷ng bµi to¸n sö dông hÖ høc Vi-et kh«ng triÖt ®Ó. Bµi to¸n 1. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: . 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i B­íc 1:. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ . (tøc lµ t×m m ®Ó cho vµ hoÆc ) B­íc 2 : BiÕn ®æi hÖ thøc ®· cho vÒ d¹ng: B­íc 3: Thay vµ vµo hÖ thøc võa biÕn ®æi råi tÝnh hoÆc . B­íc 4:. Thay hoÆc võa tÝnh vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®­îc mét ph­¬ng tr×nh Èn m. B­íc 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh võa thu ®­îc, ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn ë b­íc 1, råi kÕt luËn. 2) VÝ dô VÝ dô 1. Cho ph­¬ng tr×nh Èn x, tham sè m: (1) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. T×m tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a) b) c) Gi¶i: 1) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu th× . VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. 2) Ta cã: ; ; vµ Tr­íc hÕt, ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ th× . Khi ®ã, ¸p dông hÖ thøc Vi Ðt ta ®­îc: a)Ta cã: (v× ) Thay vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta ®­îc: . (tho¶ m·n §K) VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . b) Ta cã: (v× ) Thay vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta ®­îc: . (tho¶ m·n §K) VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . c) Ta cã: Thay vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta ®­îc: . (tho¶ m·n §K) VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . VÝ dô 2. Cho ph­¬ng tr×nh Èn x, tham sè m: . (1) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: 1) 2) 3) Gi¶i: Ta cã: ; ; ; vµ Tr­íc hÕt, ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ th× Khi ®ã, ¸p dông hÖ thøc Vi Ðt ta ®­îc: vµ 1) Ta cã: Thay vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta ®­îc: . vµ VËy víi hoÆc th× pt(1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . 2) Ta cã: Thay vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta ®­îc: . (*) V× nªn ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm lµ: vµ VËy víi hoÆc th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . 3) Ta cã: VËy víi hoÆc th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . Bµi to¸n 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia. 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i B­íc 1: T×m hai nghÖm vµ cña ph­¬ng tr×nh ®· cho theo m. (th«ng th­êng chóng ta ph¶i sö dông tÝnh chÊt: NÕu th× vµ ) B­íc 2: Thay vµ võa t×m vµo hÖ thøc: råi t×m m. B­íc 3: KÕt luËn. 2) VÝ dô VÝ dô 1. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m: (1) Chøng tá r»ng ph­¬nh tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm vµ víi mäi m. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp vµ tÝnh nghiÖm kÐp ®ã. §Æt Chøng minh T×m m ®Ó . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc vµ gi¸ trÞ cña t­¬ng øng T×m m sao cho ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nµy b»ng 2 lÇn nghiÖm kia. Gi¶i: Ta cã: ; ; . 1) V× ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã: nªn ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm vµ . §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp th× . VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp . 2) V× ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm vµ nªn ¸p dông hÖ thøc Vi et ta ®­îc: vµ . a) (®pcm) b) VËy víi hoÆc th× . c) V× . DÊu “=” x¶y ra khi . VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng , ®¹t ®­îc khi . 3) Theo c©u (a) ta cã vµ . §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nµy gÊp 2 lÇn nghiÖm kia th×: VËy víi hoÆc th× Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nµy gÊp 2 lÇn nghiÖm kia.. VÝ dô 2. Cho ph­¬ng tr×nh Èn x, tham sè m: (1) a) Chøng tá r»ng ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m. b) T×m tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ lµ nghÞch ®¶o cña nhau. c) T×m tham sè m sao cho ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng 3 lÇn nghiÖm kia. Gi¶i: Ta cã: ; ; ; . Vµ: . a) V× ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã víi mäi m, nªn ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m. (®pcm) b) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ lµ nghÞch ®¶o cña nhau th×: . VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ lµ nghÞch ®¶o cña nhau. c) Theo c©u (a) ta cã: vµ . §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nµy b»ng 3 lÇn nghiÖm kia th×: VËy víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nµy b»ng 3 lÇn nghiÖm kia. Bµi to¸n 3. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a vµ mµ kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i B­íc 1: T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ . (tøc lµ t×m m ®Ó cho vµ hoÆc ) B­íc 2 : ¸p dông hÖ thøc Vi-et ®Ó tÝnh theo tham sè m. B­íc 3 : Rót m tõ ph­¬ng tr×nh (1) hoÆc (2) theo hoÆc råi thÕ vµo ph­¬ng tr×nh cßn l¹i ®Ó cã hÖ thøc. B­íc 4: KÕt luËn. VÝ dô 1. Cho ph­¬ng tr×nh Èn x, tham sè m: (1) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1). Trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ vµ h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a vµ mµ kh«ng phô thuéc vµo m Gi¶i: a) Ta cã: ; ; ; . Vµ: . +) NÕu th× ph­¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. +) NÕu th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp . +) NÕu hoÆc th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt. vµ KÕt luËn: Víi th× ph­¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. Víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp . Víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp . Víi hoÆc th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ . b) Tr­íc hÕt ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm vµ th×: hoÆc . Khi ®ã, ¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt ta cã: Tõ ph­¬ng tr×nh (*) ThÕ vµo ph­¬ng tr×nh (**) ta ®­îc . VËy hÖ thøc liªn hÖ gi÷a vµ mµ kh«ng phô thuéc vµo m cÇn t×m lµ . VÝ dô 2. Cho ph­¬ng tr×nh Èn x, tham sè m: . a) Chøng minh r»ng: Ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt . b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã tÝch hai nghiÖm b»ng 5, tõ ®ã h·y tÝnh tæng hai nghiªm cña ph­¬ng tr×nh. c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m. d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ tho¶ m·n hÖ thøc: . Gi¶i: a) Ta cã: ; ; ; vµ: . Víi th× . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ mét ph­¬ng tr×nh bËc hai. (*) MÆt kh¸c: . (**) Tõ (*) vµ (**) ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. (®pcm) b) V× ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nªn theo hÖ thøc Vi- Ðt ta cã: §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã tÝch hai nghiÖm b»ng 5 th× (tho¶ m·n). Khi ®ã, tæng cña hai nghiÖm lµ: . VËy víi th× tÝch cña hai nghiÖm b»ng 5 vµ khi ®ã tæng cña hai nghiÖm b»ng 6. c) Theo c©u (b) ta cã: Tõ ph­¬ng tr×nh (1) ThÕ vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta ®­îc . VËy hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m lµ . d) Ta cã: (tho¶ m·n) VËt víi th× ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm tho¶ m·n hÖ thøc: . D¹ng 5. Bµi to¸n liªn quan ®Õn ®å thÞ cña hµm sè bËc hai 1. KiÕn thøc cÇn nhí a) TÝnh chÊt cña hµm sè: +) NÕu th× hµm sè nghÞch biÕn khi vµ ®ång biÕn khi . +) NÕu th× hµm sè ®ång biÕn khi vµ nghÞch biÕn khi . b) §å thÞ cña hµm sè NhËn xÐt. +) §å thÞ cña hµm sè lµ mét ®­êng cong ®i qua gèc to¹ ®é vµ nhËn Oy lµm trôc ®èi xøng. §­êng cong ®ã gäi lµ parabol víi ®Ønh O. +) NÕu th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh Ox, O(0; 0) lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ. +) NÕu th× ®å thÞ n»m phÝa d­íi trôc hoµnh Ox, O(0; 0) lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ. C¸ch vÏ ®å thÞ hµm sè B­íc 1: LËp b¶ng gi¸ trÞ t­¬ng øng cña x vµ y. ? ? ? ? ? ? ? B­íc 2: VÏ c¸c ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè ®· x¸c ®Þnh ë b¶ng gi¸ trÞ t­¬ng øng trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é. B­íc 3: Nèi c¸c ®iÓm võa vÏ thµnh mét ®­êng cong ®Ó cã ®å thÞ cña hµm sè. 4) Sù t­¬ng giao cña Parabol (P): vµ ®­êng th¼ng (d): . XÐt ph­¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña Parabol (P) vµ ®­êng th¼ng (d). hay (1) L­u ý. Parabol (P) kh«ng c¾t ®­êng th¼ng (d) ph­¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm (). Parabol(P) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng (d)ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp (). Parabol (P) c¾t ®­êng th¼ng (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt (). 2. Mét sè vÝ dô. VÝ dô 1. Cho Parabol (P): vµ đường thẳng (d): . a) Vẽ (P) vµ (d) trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é Oxy. b) Gọi A, B lµ giao điểm của (P) vµ (d). T×m điểm M trªn cung AB của (P) sao cho diện tÝch tam gi¸c MAB lớn nhất. c) T×m điểm N trªn trục hoµnh Ox sao cho NA + NB ngắn nhất. VÝ dô 2. Cho hµm số: y = x + m (D). T×m c¸c gi¸ trÞ của m để đường thẳng (D): a) Đi qua điểm A (1; 2003). b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ; c) Tiếp xóc với parabol y = - 1/4.x2. VÝ dô 3. Vẽ đồ thị hµm số: (P) vµ đường thẳng (D): trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é. T×m tọa độ c¸c giao điểm của (P) vµ (D) bằng phÐp tÝnh. VÝ dô 4. Cho Parabol (P): vµ ®­êng th¼ng (d): . a) Chøng minh r»ng: (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B khi m thay ®æi. b) Gäi vµ lÇn l­ît lµ hoµnh ®é cña ®iÓm A vµ ®iÓm B. X¸c ®Þnh m ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ nµy. §Ò thi vµo líp 10 Chuyªn THPT §ai Häc Vinh (vßng 2) n¨m 2010 D¹ng 6: Bµi to¸n liªn quan ®Õn ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng 1) C¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng. B­íc 1: §Æt (*) vµ ®Æt ®iÒu kiÖn cho , ®Ó ®­a ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng vÒ d¹ng ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn . B­íc 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai võa thu ®­îc ®Ó cã nghiÖm . B­íc 3: Thay võa t×m ®­îc vµo (*) ®Ó cã nghiÖm . B­íc 4: KÕt luËn. 2) §iÒu kiÖn vÒ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng. XÐt ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng: (1) §Æt: (§K ). Khi ®ã, ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh (2) +) Ph­¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm ph­¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm hoÆc ph­¬ng tr×nh (2 cã hai nghiÖm ®Òu ©m. Tøc lµ ph­¬ng tr×nh (2) cã hoÆc +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm ph­¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm kÐp b»ng 0, hoÆc ph­¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm b»ng 0 vµ nghiÖm cßn l¹i ©m. Tøc lµ ph­¬ng tr×nh (2) cã : hoÆc hay (L­u ý: Chóng ta cñng cã thÓ lÝ luËn: V× nÕu lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) th× cñng lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1). Nªn ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm th× . Tõ ®ã chóng ta t×m ®­îc mèi quan hÖ gi÷a ). +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph­¬ng tr×nh (2) ph¶i cã nghiÖm kÐp d­¬ng, hoÆc ph­¬ng tr×nh (2) ph¶i cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. Tøc lµ ph­¬ng tr×nh (2) cã : hoÆc . +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph­¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm b»ng 0 vµ mét nghiÖm d­¬ng. Tøc lµ ph­¬ng tr×nh (2) cã : +) Ph­¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm ph­¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d­¬ng. Tøc lµ ph­¬ng tr×nh (2) cã : 3) VÝ dô. Cho ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng Èn x, tham sè m: (1) 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = 1. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã: a) Hai nghiÖm. b) Ba nghiÖm. c) Bèn nghiÖm. Gi¶i: §Æt (§iÒu kiÖn: ). Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh: (2) a) Thay m = 1 vµo ph­¬ng tr×nh (2) ta ®­îc: (tho¶ m·n) . VËy khi m = 1 ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ vµ . b) Ta cã: Ph­¬ng tr×nh hai lµ mét ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn cã: ; ; ; vµ 1) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh (2) ph¶i cã nghiÖm kÐp d­¬ng, hoÆc ph­¬ng tr×nh (2) ph¶i cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. Tr­êng hîp 1. Ph­¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm kÐp d­¬ng: . Tr­êng hîp 2. Ph­¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu: . V©þ víi hoÆc th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm. 2) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh (2) ph¶i cã mét nghiÖm b»ng 0 vµ mét nghiÖm d­¬ng. . V©þ víi th× ph­¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm. 3) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh (2) ph¶i cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d­¬ng. V©þ víi vµ th× ph­¬ng tr×nh (1) cã bèn nghiÖm. C. KẾT LUẬN I. Bài học kinh nghiệm Bài toán về phương trình bậc hai là các dạng toán thường gặp trong chương trình toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này. Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải bài toán liên quan đến phương trình bậc hai thì bản thân mỗi giáo viên phải phân dạng được các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai và biết cách giải cụ thể của các dạng toán. Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình. Sau quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã áp dụng vào giảng dạy cho học sinh khối lớp 9 và thấy răng các em có hứng thú học hơn đặc biệt là các em hiểu bài và làm bài tốt hơn. Kết quả khảo sát sau khi thực hiện đề tài như sau : Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Số lượng HS 5(8%) 21(32%) 40(60%) 0 II. Kết luận chung Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi người thầy phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu, tìm tòi và sáng tạo. Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo. . . tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. Hy vọng đề tài “Ph©n d¹ng c¸c bµi to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai trong ch­¬ng tr×nh To¸n THCS” làm một kinh nghiệm của mình để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực tư duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các bài toán về phương trình bậc hai cho học sinh. Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mong được sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp. D. TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK vµ s¸ch gi¸o viªn líp 9 c¶i c¸ch Bµi tËp n©ng cao vµ 1 sè chuyªn ®Ò to¸n 9” cña Bïi V¨n Tuyªn Một số vấn đề phát triển Đại số 9. Các chuyên đề trên báo tuổi thơ 2. Báo toán học tuổi thơ 2 của Bộ Giáo Dục Ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán. Bộ đề ôn tập Toán 9. Bài tập nâng cao Đại số 9 của Vũ Hửu Bình.