Đề tài Những bài toán về bất đẳng thức trong Đại số

Phần 1: mở đầu Lý do chọn đề tài: Bất đẳng thức đại số là một trong những chuyên đề cơ bản và tương đối khó trong chương trình đại số phổ thông. Các bài toán về bất đẳng thức đại số rất phong phú, đa dạng. Đòi hỏi cần vận dụng các phương pháp giải vào từng bài một các hợp lý, để đem lại kết quả bài toán một cách nhanh gọn, dể hiểu hay nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. Việc giải các bài toán này giúp chúng ta tiếp cận và làm quen dần với các bài toán thực tế như: So sánh các biểu thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức... Đối với tôi - là một giáo viên THCS, việc tập dượt nghiên cứu khoa học là rất cần thiết. Để củng cố và đào sâu kiến thức. Từ đó có thể truyền đạt cho học sinh một các linh hoạt và có hệ thống hơn. Hơn nữa, trong chương trình Đại số THCS chưa đề cập và đi sâu vào phần này. Vì vậy, tôi chọn chuyên đề "Những bài toán về bất đẳng thức trong Đại số" làm đề tài nghiên cứu. Nội dung chính là tìm tòi và hệ thống lại các bài toán hay; phân loại các bài toán và tìm phương pháp giải chúng. Nội dung đề tài được phân loại ra các phương pháp giải như sau: 1. Phương pháp 1: Dùng phép biến đổi tương đương 2. Phương pháp 2: Dùng phương pháp phản chứng. 3. Phương pháp 3: Dùng tính chất bất đẳng thức 4. Phương pháp 4: Dùng phương pháp làm trội 5. Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức trong tam giác 6. Phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức Côsi 7. Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki 8. Phương pháp 8: Dùng phương pháp hình học. Do tính đa dạng và phong phú của các bài tập về "Bất đẳng thức đại số". Nên tôi chỉ trình bày được một số dạng thông qua các phương pháp giải cơ bản. Trong mỗi phương pháp giải là một số bài toán tiêu biểu và có kèm theo lời giải chi tiết. Phần hai: Nội dung đề tài Những bài toán về bất đẳng thức trong đại số A. Tóm tắt lý thuyết I. Định nghĩa Hai biểu thức A và B của các số hoặc chữ thay số, liên hệ với nhau bởi một trong các quan hệ lớn hơn (>); bé hơn (<), lớn hơn hoặc bằng (), bé hơn hoặc bằng (); khác () gọi là bất đẳng thức. Viết là: A B; A B; A B; A B. II. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức. 1. Tính chất 1: Nếu a và b là hai số thực thì a > b b < a 2. Tính chất 2: Nếu a > b và b > c thì a > c 3. Tính chất 3: Nếu a > b và c bất kỳ thì a + c > b + c 4. Tính chất 4: Nếu a > b + c thì a - b > c 5. Tính chất 5: Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d 6. Tính chất 6: Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc 7. Tính chất 7: Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd 8. Tính chất 8: Nếu a > b > 0 thì 0 < 9. Tính chất 9: Nếu a > b > 0 và n là một số nguyên dương thì an > bn. 10. Tính chất 10: Nếu a > b > 0 và n là một số nguyên dương thì . B. Những bài toán về chứng minh bất đẳng thức đại số cùng với phương pháp giải của nó. 1. Phương pháp 1: Dùng phép biến đổi tương đương Phương pháp: A B A - B 0 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh đúng. Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng: a) a2 + b2 + 1 ab + a + b b) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Giải: a) Ta có: a2 + b2 + 1 ab + a + b 2(a2 + b2 + 1) - 2(ab + a + b) 0 (a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) 0 (a - b)2 + (a - 1)2 + (b-1)2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với a, b. Nên ta có đpcm. Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a = b = 1. b) Ta có: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac - ad - ae 0 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0 (a2 - 4ab + 4b2) + (a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0 (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với a, b, c, d, e. Nên ta có đpcm. Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e. Bài 2: Cho ba số a, b, c bất kỳ. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Giải: Ta có: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca 0 (a2 - 2ab + b2) +(b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ac + a2) 0 (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với a, b, c. Nên ta có đpcm. Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài 3: Cho ab 1. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: ( Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do ab 1. Do đó ta có đpcm. 2. Phương pháp 2: Dùng phương pháp phản chứng Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng. Ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với giả thiết để suy ra điều vô lý. Điều vô lý có thể là điều trái giả thiết, có thể là điều trái với một điều đúng. Cũng có thể sai vô lý là hai điều trái ngược nhau. Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. Bài 1: Chứng minh rằng nếu a1a2 2(b1 + b2) thì ít nhất một trong hai phương trình: x2 + a1x = b1 = 0 x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm Giải: Giả sử cả hai phương trình đã cho vô nghiệm. Khi đó: 1 = a12 - 4b1 < 0 2 = a22 - 4b2 < 0 => a12 + a22 - 4b1 - 4b2 < 0 a12 + a22 < 4 (b1 + b2) Mà theo giả thiết ta có 2(b1 + b2) a1a2 => 4(b1 + b2) 2a1a2 Do đó : => a12 + a22 2a1a2 => a12 + a22 - 2a1a2 0 => (a1 - a2) 2 0 (vô lý) Vậy: có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm. Bài 2: Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau ít nhất có một bất đẳng thức đúng. a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 Giải: Giả sử cả 3 bất đẳng thức trên đều sai: Ta có a2 + b2 < (1) b2 + c2 < (2) c2 + a2 < (3) Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được: a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 < 4(a2 + b2 + c2) < 2(a2 + b2 + c2) + 2ab + 2bc + 2ca 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < 0 (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (a2 - 2ac + c2) < 0 (a-b)2 + (b - c)2 + (a - c)2 < 0 (vô lý). Vậy: Trong 3 bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức đúng. 3. Phương pháp 3: Dùng các tính chất sau: a. Tính chất tỉ số: Cho a, b, c > 0 khi đó: - Nếu <1 thì < - Nếu >1 thì > b. Trị tuyệt đối: -1 < x < 1 Nếu 1 thì x2 Bài 1: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: Giải: áp dụng -1 < x < 1 Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác nên: a - b < a + b Do đó < 1 Theo tính chất tỉ số ta có: < Tương tự: Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta được: Từ đó suy ra: Bài 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: Giải: Ta luôn có (1) áp dụng tính chất tỉ số ta có: (2) Từ (1) và (2) ta có: Tương tự ta có: Cộng vế với vế 4 bất đẳng thức kép trên ta được: Vậy: 4. Phương pháp 4: Dùng phương pháp làm trội Dùng các tính chất bất đẳng thức để đưa một bất đẳng thức cần chứng minh về dạng để tính được tổng hữu hạn. - Phương pháp để tính tổng hữu hạn: n = u1 + u2 + ... + un ta biểu diễn số hạng tổng quát uk về hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk = ak - ak+1 khi đó: n = (a1 - a2) + (a2 - a3) + ... + (an - an+1) = a1 - an+1 Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau với n là nguyên dương: Giải: Ta biến đổi số hạng tổng quát: Với k = 1 ta có: Với k = 2 ta có: Với k = 3 ta có: Với k = n ta có: Cộng vế với vế ta được: Vậy: (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có: Giải: Ta biến đổi số hạng tổng quát: = Với k = 1 ta có: Với k = 2 ta có: Với k = n ta có: Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được: (đpcm) Vậy: 5. Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác thì a, b, c > 0 và: Trong một số bài toán mà các đại lượng trong biểu thức ở các vế của bất đẳng thức là không âm. Khi đó sẽ tồn tại một tam giác mà các cạnh là giá trị của các đại lượng đó và ta có thể vận dụng các bất đẳng thức trên để chứng minh. Bài 1: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta có: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca) Giải: Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có: 0 a2 < a(b + c) 0 b2 < b(a + c) 0 c2 < c(a + b) Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta được: a2 + b2 + c2 < a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác với a b c thì (a + b + c)2 9bc Giải: Vì a b nên a + b + c 2b + c => (a + b + c)2 (2b + c)2 Ta sẽ chứng minh: (2b + c)2 9bc Ta có: (2b + c)2 9bc 4b2 - 5bc + c2 0 (4b2 - 4bc) + (c2 - bc) 0 4b (b - c) + c (c - b) 0 (b - c) ( 4b - c) 0 (1) Vì b c nên b - c 0 4b - c (a + b) - c + 2b Do đó (1) đúng Vậy: (a + b + c)2 9bc Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác với a < b < c. Chứng tỏ rằng: a3 (b2 - c2) + b3 (c2 - a2) + c3 (a2 - b2) < 0 Giải: Ta có: a3 (b2 - c2) + b3 (c2 - a2) + c3(a2 - b2) = a3 [(b2 - a2) + (a2 - c2)] + b3 (c2 - a2) + c3 (a2 - b2) = a3 (b2 - a2) + a3 (a2- c2) + b3 (c2 - a2) + c3 (a2 - b2) = (a2 - b2) (c3 - a3) + (a2 - c2) (a3 - b3) = (a - b) (a - c) [-(a + b) (a2 + ac + c2) + (a + c) (a2 + ab + b2)] = (a - b) (a - c) (b - c) (ab + bc + ca) < 0 (vì a <b <c) Vậy ta có đpcm 6. Phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức Côsi Cho n số không âm a1, a2, ..., an Ta có bất đẳng thức: Dấu "=" xảy ra a1 = a2 = ... = an Trong trường hợp này ta thường đề cập đến một số bài toán mà chỉ sử dụng trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Côsi: Cho 2 hoặc 3 số không âm ta có: Bài 1:Chứng minh rằng a, b là hai số dương ta luôn có: 3a3 + 7b3 > 9ab2 Giải: Ta có 3a3 + 7b3 = 3a3 + 3b3 + 4b3 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm: 3a3; 3b3; 4b3 ta có: 3a3 + 3b3 + 4b3 => 3a3 + 7b3 > 9ab2 Vậy 3a3 + 7b3 > 9ab2 Bài 2: Cho a, b, c > 0 với Chứng minh rằng: Giải: Ta có => b = Khi đó: Và : Do đó: = áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm và ta suy ra: (đpcm) Vậy: 7. Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức bunhiacopxki Cho n cặp số bất kỳ a1, a2, ..., an, b1, b2, ... bn ta có bất đẳng thức (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)2 (a12 + a22 + ... + an2) (b12+ ...bn2) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi k: ai = kbi (*) (Nếu bi 0 thì (*) được viết ) Ta chỉ đề cập đến trường hợp: Cho hai hoặc ba cặp số bất kỳ: a1; a2; b1; b2 hoặc a1, a2, a3l b1 b2 b3 ta có: (a1b1 + a2b2)2 (a12 + a22) (b12 + b22) (a1 b1 + a2b2 + a3b3)2 (a12 + a22 + a32) (b12 + b22 + b32) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a1 = kb1; a2 = kb2; a3 = kb3 ( k R) Bài 1: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng: Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai cặp số: 2, 3; x, y ta có: (đpcm) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: Hoặc x = ; y = Hoặc x = ; y = Bài 2: Cho a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Chứng minh rằng: (x2 + ax + b2) + (x2 + cx + d)2 (2x2 + 1)2 (xR) Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 cặp số: Ta có: (x2 + ax + b2) (x2 + a2 + b2) (x2 + x2 + 1) Tương tự: (x2 + cx + d2) (x2 + c2 + d2) (x2 + x2 + 1) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta được: (x2 + ax + b2)+(x2 + cx + d2) (x2 + x2 + 1) (x2 + x2 + a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + ax + b2) +(x2 + cx + d2) (2x2 + 1) (2x2 + 1) = (2x2 + 1)2 (đpcm) (vì a2 + b2 + c2 + d2 = 1) Bài 3: Chứng minh rằng nếu phương trình: x4 + bx3 + cx2 + bx + 1 = 0 có nghiệm thì: b2 - (c-2)2 > 3 Giải: Giả sử x0 0 là nghiệm của phương trình đã cho => x04 + bx03 + cx02 + bx0 + 1 = 0 Chia hai vế cho x02 0 ta được: x02 + + b(x0 + ) + c = 0 (1) Đặt x0 = x0 + thì x02 = x02 + + 2 4 Khi đó (1) trở thành: x02 + bx0 + c - 2 = 0 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: x04 = (bx0 + c - 2)2 [b2 + (c - 2)2 ] (x02 + 1) => b2 + ( c - 2)2 = x02 - 1 + > 4 - 1 = 3 (vì x02 4 ) Vậy b2 + (c-2)2 > 3 (đpcm) 8. Phương pháp 8: Dùng phương pháp hình học 1. Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác Ba điểm A, B, C bất kỳ ta có: AB + BC AC Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi B ở giữa A và C 2. Dạng 2: Sử dụng đường gấp khúc Các điểm A1, A2, ..., An bất kỳ ta có: A1A2 + A2A3 + ... + An-1An A1An 3. Dạng 3: Sử dụng đường tròn và khoảng cách 4. Dạng 4: Sử dụng diện tích Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a, b ta đều có: Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Trên mặt phẳng toạ độ lấy: A (0; -1); B (a, 1); C (b, 2); D(3, 3) Ta có: AB = BC = CD = Từ bất đẳng thức AB + BC + CD AD ta có: + + = 5 (đpcm) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D thẳng hàng và xếp theo thứ tự đó: Bài 2: Cho a, b, c thoả mãn điều kiện: a > c > 0 và b > c > 0 Chứng minh rằng: Giải: Theo giả thiết a, b, c > 0 và đồng thời a > c, b > c nên tồn tại tam giác ABC có các cạnh AB = , AC = và đường cao AH = Theo định lý Pitago cho hai tam giác vuông AHB và AHC ta có: BH = CH = Do đó diện tích ABC là: S = Mặt khác: S = (do sin A 1) Từ đó suy ra: (đpcm) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABC vuông tại A Tức là khi: Phần 3: Kết luận Có thể nói rằng: Chuyên đề bất đẳng thức là một phần khó và đóng một vai trò quan trọng trong chương trình đại số THCS. Tuy nhiên, do tính đa dạng của các bài toán nên tôi chỉ nghiên cứu được một số phương pháp giải cơ bản. Hy vọng sẽ góp được một phần trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Giúp học sinh nắm được các phương pháp, cũng như một số bài toán cơ bản của bất đẳng thức. Do tài liệu ít cộng với trình độ có hạn nên không thể tránh khỏi những khiếm khuyết. Vì vậy rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo cùng bạn đọc để đề tài này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Quảng Xương, ngày 10 tháng 04 năm 2006