Đề tài Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán

Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán ---------------------------- A. Đặt vấn đề: Trong chương trình toán lớp 9 THCS, chúng ta đã làm quen với phương trình và hàm số bậc hai: Các công thức tính nghiệm, định lý viét và đồ thị hàm số bậc hai. Song việc ứng dụng, vận dùng phương trình bậc hai, hàm số bậc hai trong giải các bài toán khác nhau như thế nào chưa được quan tâm nhiều. Trong bài này tôi nêu ra một số ứng dụng của định lý viét đối với phương trình bậc hai. áp dụng khi giải các bài toán: giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số...; nhằm giúp cho các em học sinh phổ thông nắm vững và sử dụng thành thạo định lý viét, làm tăng thêm năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh. B. Giải quyết vấn đề: Như chúng ta đã biết đối với phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0, nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình thì x1+x2 = và x1x2 = Ngược lại: Nếu hai số x, y thoả mãn các điều kiện: x + y = S xy = P Thì x, y là nghiệm của phương trình bậc hai X2-Sx -P = 0 (*) Chú ý: Phương trình (*) chỉ có nghiệm khi S2 - 4P ³ 0 Hệ quả (trường hợp đặc biệt). a) Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( aạ 0) Có 1 nghiệm x1=1 thì a+b+c=0 và ngược lại nếu a+b+c= 0 thì x1=1 và x2= b) Nếu phương trình ax2+bx +c=0 (aạ0) có 1 ghiệp x1=1 thì a-b+c=0 và ngược lại nếu a-b+c = 0 thì x1= -1 và x2 = Sau đây là một số minh hoạ cho việc vận dụng các kiến thức cơ bản đó. I. ứng dụng của định lý viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình mx2-2(m-2)x+(m-3)=0 thoả mãn điều kiện Bài giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kém): mạ 0 ; D' ạ 0 D' = (m-2)2-m(m-3) = -m+4 D' ³ 0 Û m Ê 4. Với 0 ạ m Ê 4, theo định lý viét, các nghiệm x1; x2 của phương trình có liên hệ: x1+x2 = ; x1.x2 = Do đó: 1 = = (x1+x2)2 - 2x1x2= - Û m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m Û m2 - 10m + 16 = 0 Û m = 2 hoặc m -8 Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0 ạm Ê4 Vậy với m = 2 thì = 1 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 -2(m-2)x+(m2+2m-3)=0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn Bài giải: Ta phải có: (1) Û D' =m2 - 4m + 4-m2-2m+3=-6m+7>0Û m < (2) Û m2 +2m - 3 ạ 0 Û (m-1)(m+3)ạ0 Ûmạ1; mạ -3 (3) Û @ Trường hợp: x1+x2 = 0 Û x1=-x2 ị m=2 trái với điều keịen (1) @ Trường hợp: 5=x1.x2 = 0 Û x1.x2 = 5 Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5 Û (m-2)(m+4) = 0 Vậy m = -4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn Ví dụ 3: Cho phương trình: mx2-2(m+1) x+ (m-4) = 0 (mà là tham số). a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1+4x2=3 b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài giải: (1) (2) (3) (4) a) Ta phải có: Từ (1) và (3) tính được: x2 = Thay vào (2) được Û 2m2 = 17m + 8=0 Giải phương trình 2m2-17m+8 + 0 được m=8; m= thoả mãn điều kiện (4). Vậy m=8; m = các nghiệm của phương trình thoả mãn x1+4x2=3. b) Theo hệ thức viét: x1+x2 = 2 + x1+x2 = 1 - (*) Thay = x1+x2 -2 vào (*) được x1x2 = 1-2(x1+x2-2) Vậy x1+x2 = 5 - 2(x1+x2) Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệp chung: x2 + 2x +m = 0 (1) x2 + mx +2 = 0 (2) Bài giải: Gọi x0 là nghiệm chung nào đó của 2 phương trình khi đó ta có Trừ theo từng vế hai phương trình ta được (m-2)x0=m-2 Nếu m=2 cả hai phương trình là x2+2x + 2 = 0 vô nghiệp Nên m ạ 2 thì x0=1 từ đó m =-3 Với m =-3: (1) là x2+2x -2=0; có nghiệp x1=1 và x2=-3 Và (2) là x2-3x +2=0; có nghiệp x3=1 và x4 =2 Rõ ràng với m= -3 thì hai phương trình có nghiệm chung x = 1. 2. Bài tập: Bài 1: Cho phương trình x2-(m+3)x+2(m+)=0 (1) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệp x1=2x2. Bài 2: Cho phương trình mx2 -2(m+1)x+(m 4)=0 a) Tìm m để phương trình cà nghiệm. b) Tìm m để phương trìNh có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1+4x2=3. d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 3: a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó? x2-(m+4)x+m+5 = 0 (1) x2-(m+2)x+m+1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại: II. ứng dụng của định lý viét trong giải toán hàm số và đồ thị: 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giả sử đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y -2y2-x tại hai điểm có hoành độ x1; x2. Tính Cách giải: Đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm số y =2x2-x tại hai điểm có hoành độ x1; x2 có nghĩa là phương trình bậc hai: 2x2-x-a=0 có hai nghiệm x1; x2. Từ định lý viét ta có: x1+x2 = x1+x2 = Từ đó ta có: = (x1+x2)2=2x1x2 = Vậy = Ví dụ 2: Cho Parabol: y = x2-x-2, một đường thẳng đi qua điểm M (1;-1) cắt Parabol tại hai điểm A, B. Tìm toạ độ các điểm A,B biết rằng M là trung điểm của AB. Cho biết công thức tính toạ độ trung điểm M của AB x y o 1 B 2 M -1 A -1 Với: A(x1; y1); B(x2; y2) là Cách giải: Đường thẳng y = mx+n đia qua điểm M (1;-1) từ đó tính được n =-(1+m). Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=mx-(1+m) và parabol y = x2 - x + 2 là nghiệm của phương trình: x2-x-2=mx-(1+m) hay x2=(1+m)x-1+m=0 (1) Gọi x1;x2 là hoành độ của các giao điểm A, B của parabol và đường thẳng. Ta có x1; x2 là các nghiệm của (1) nên theo định lý viét: x1+x2=1+m (2) Mặt khác, M là trung điểm của AB nên (3) Từ (2) và (3) suy ra 1+m = 2, do đó m=1 Khi đó (1) trở thành x2-2x = 0. Phương trình này có 2 nghiệm: x1=0; x2=2. Vậy: A(0; -2)' B(2; 0) Ví dụ 3: Cho Parabol: y=x2+7x+6. Tìm điểm M trên trục tung sao cho hai tiếp tuyến với parabol kẻ từ M vuông góc với nhau. Cách giải: Đường thẳNg y =mx+n đi qua điểm M (0; y0) nên được y=mx=y0 hoành độ giao điểm của đường thẳng y=mx+y0 và Parabol y=x2+7+6 là nghiệm của phương trình: x2+7x+6 = mx + y0 Û x2 + (7-m)x + 6 - y0 = 0 (*) Để đường thẳng và Parabol tiếp tục nhau thì phương trình (*) có nghiệm kép tức là D = (7 - m)2 - 4(6 - y0) = m2 - 14m + 4y0 + 25 = 0 (1) Để hai tiếp tuyến vuông góc thì các nghiệm m1, m2 của (1) phải thoả mãn m1m2=-1, tức là 4y0 + 25 = -1 Từ đó y0 = - 6 Điểm M phải tìm: (0; -6) 2. Bài tập: Bài 1: Cho Parabol: y=-x2 + 6x - 5. Goi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;2) và có hệ số góc bằng m. a) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d luôn luôn cắt Parabol tại hai điểm B,C phân biệt. b) Xác định đường thẳng d để BC có độ dài nhỏ nhất. Bài 2: Cho Parabol: y = x2. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc đường thẳng y = - , các tiếp tuyến kẻ từ M với Pa ra bol vuông góc với nhau. III. ứng dụng của định lý viét trong bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn số: 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho x1 = ; x2 = Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2 Ta có: x1 = ; x2 = = Nên x1.x2 = . = x1 + x2 =. = Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là x2-x+ Hay 2x2-2x +1=0 Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - 1 = 0 (1) Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệp phương trình (1) Cách giải: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức viét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1 Gọi y1; y2 là các nghiệm cảu phương trình phải lập, ta có: y1 + y2 = y1 + y2 = Ta có: = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 25 + 2 = 27 = ()2 - 2 = 729 - 2 = 727 Vậy phương trình cần lập là: y2-727y +1 = 0 Ví dụ 3: Tìm các hệ số P và q của phương trình: x2 + Px + q = 0 sao cho hai nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn hệ: Các giải: Điều diện D = P2 - 4q(*) ³ 0 khi đó: x1 + x2 = -P; x1 x2 = q. Do đó: Û Û Û Giải hệ này tìm được: p =1; q = -6 và p =-1; q = 6 Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*) 2) Bài tập: Bài 1: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là + và Bài 2: Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện: Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và + = Bài 3: Xác định có số m, n của phương trình: x2+mx+n = 0 Sao cho các nghiệm của phương trình làm m và n. IV. ứng dụng của định lý viét trong giải toán chứng minh. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và b,c là nghiệm của phương trình x2+qx + 1 = 0 Chứng minh: (b-a)(b-c) = pq -6. Hướng dẫn học sinh giải. Đây không phải là một bài toán chứng minh đẳng thức thông thường, mà đây là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa các nghiệm của 2 phương trình và hệ số của các phương trình đó. Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nắm vững định lý viét và vận dụng định ký viét vào trong quá trình biến đổi về của đẳng thức, đề suy ra hai vế bằng nhau. Cách giải: a,b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 b,c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0. Theo định lý viét ta có: và Do đó: (a-b) (b-c) = b2+ac - 3 (1) Pq = (-P)(-q) = (a+b)(b+c) = b2+ac+3 Suy ra: Pq -6 = b2+ac +3-6=b2+ac-3 (2) Từ (1) và (2) suy ra (b-a)(b-c) = Pq -6 (đpcm) Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện: a+b+c = -2 (1) ; a2+b2+c = 2 (2) Chứng mình rằng mỗi số a,b,c đều thuộc đoạn khi biểu diẽn trên trục số: Cách giải: Bình phương hai vế của (1) được: a2+ b2 + c2 + 2(ab+bc+ca) = 4 Do (2) nên: ab+bc+ca = (4-2); 2=1 ị bc = 1-a(b+c)=1-a(-2-a) = a2+2a+1 Ta lại có: b+c=-(a+2), do đó b,c là nghiệm của phương trình: X2+(a+2)X +(a2+2a+1)=0 Để tồn tại X phải có: D ³ 0 (a+2)2 - 4(a2+2a+1) ³ 0 a(3a+4) Ê 0 Û - Ê a Ê 0 Tương tự: - Ê b Ê 0; - Ê c Ê 0 2. Bài tập: Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2+px+1=0. Gọi x,d là hai nghiệm của phương trình: y2+qy+1 = 0 Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bài 2: Cho các số a,b,c thoả mãn: Chứng minh rằng: ẵaẵ; ẵbẵ; ẵcẵ Ê Bài 3: Chứng minh rằng khi viết số x = ()200 dưới dạng thập phân, ta được chữ số liền trước dấu phảy là 1, chữ số liền sau dấu phảy là 9. V. áp dụng định lý viét giải phương trình và hệ phương trình trình. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x3+3x2-3x+11 = 0 (1) Cách giải: Đặt: y = x =1, ta có: x=y+1 thay vào (1) được: (y+3)3+3(y+1)2 -3(y+1)+11=0 Û y3 + 3y2+3y+1-3y2-6y-3-3y-3+11=0 Û y3 - 6y +6 = 0 (2) Đặt: y= u+ thì (2) trở thành: (u+)3-6(u+)+6=0 Ûu3+3u2+33+3 - 6u-6+6=0 Û u3+3+(u+)(3u - 6)+6= 0 Û Hay Như vậy: u3, 3 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: t2 + 6t + 8 = 0 D' = 9 - 8 = 1 t1=-3+1=2 t2=-3-1=4 Suy ra u3=-2; 3=-4 hoặc u3=-4; 3=-2 Với: u3=-2 ị u = u2=-4ịu= =-4 ị = + Do đó: y=u+ = + Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x=y+1 =++1 Ví dụ 2: Giải phương trình: =6 Hướng dẫn: Txđ = {xẻR ẵ xạ-1} Đặt: ị Tính: u, , rồi từ đó tính x. Bài giải: Txđ: = {xẻR ẵ xạ-1} Đặt:(*) ị Ûị u, là nghiệm của phương trình: x2-5x+6=0 D = 25 -24=1 x1==3 x2==2 u=3 thì = 2 hoặc u = 2 thì =3 Nếu: thì (*) trở thành: x2=2x+3=0 D'=1-3=-2 < 0 Phương trình vô nghiệm: Nếu: thì (*) trở thành: x2-3x+2=0 Suy ra: x1=1; x2=2 Vậy phương trình có hai nghiệm x1=1; x2 =2. Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình: a) b) a) x,y là nghiệm của phương trình: x2 - 11x +31 = 0 D=(-11)2-4.1.31=121-124=-3 <0 Phương trình vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. b) Đặt x+y = S và xy = P Ta có hệ: Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2-7t+12=0. Giải phương trình này được t=4 và t=3. + Nếu S=4 thì P=3 khi đó x,y là nghiệm của phương trình: u2 + 4u + 3 = 0 ị u = 1 và u = 3 Suy ra (x=1; y = 3) và (x=3; y = 1) + Nếu S=3 thì P=4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình: 2-3+4 = 0 Phương trình này vô nghiệm vì D = 9-16 = -7 <0 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1) 2. Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: x3+9x2+18+28=0 Bài2: Giải các hệ phương trình sau: a) b) VI. Định lý viét với bài toán cực trị: 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2-(2m-1)x+m-2=0 Tìm m để có giá trị nhỏ nhất Bài giải: Xét: D = 4m2 - 4m+1-4m+8=4m2-8m+9=4(m-1)2+5>0 Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m Theo định lý viét ta có: x1+x2=2m-1; x1.x2=m-2 ị = (x1+x2)2-2x1x2=(2m-1)2-2(m-2) =4m2-6m+5=(2m-)2 + ³ Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình: 2x2+2(m+1)x+m2+4m+3=0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A=ẵx1x2-2x1-2x2ẵ Cách giải: D' = (m+2)2-2(m2+4m+3) = -(m+1)(m+5) ³ 0 ị - 5 Ê m Ê - 1 (*) Khi đó theo hệ thức viét ta có: x1 + x2 = -m-1 x1 + x2 = Do đó: A = ẵẵ Ta có: m2 + 8m+7=(m+1)(m+7) với điều kiện (*) thì (m+1)(m+7)Ê0. Suy ra: A = = Ê Dấu bằng suy ra khi (m+4)2 = 0 huy m =-4 Vậy A đạt giá trị lớn nhất là: khi m =-4, giá trị này thoả mãn điều kiện (*). Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A=(x4+1) (y4+1), biết x,y ³ 0; x+y = Cách giải: A= (x4+1)(y4+1)= x4 + y4 + y4x4+1 Ta có: x+y = ị x2+y2=10-2xy ị x4 + y4 + 2y4x4=100-40xy+4x2y2 ị x4 + y4 = 100- 40xy+2x2y2 Đặt : xy = t thì x4+y4=100-40t+2t2 Do đó A = 100-40t+2t2+t4+1=t4+2t2-40t+101 a) Tìm giá trị nhỏ nhất: A=t4-8t2+16+10t2-40t+40+45=(t2-4)2+10(t-2)2+45 ³ 45 Min A = 45 Û t=2, khi đó xy = 2; y+y= nên x và y là nghiệm của phương trình X2 - +2=0. Tức là x = ; y = hoặc x = ; y = b) Tìm giá trị lớn nhất: Ta có: 0 Ê xy Ê == ị 0 Ê t Ê (1) Viết A dưới dạng: A = t(t3+2t-40)+101. Do (1) nên t3 Ê ; 2 t Ê 5 ị t3+2t - 40 Ê +5- 40 < 0 còn t ³ 0 nên A Ê 101 Max: A=101 khi và chỉ khi t=0 tức là x=0; y= hoặc x =; y=0 2. Bài tập: Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. x2+2(m-2)x - 2m+7=0 Tìm m để có giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Cho phương trình: x2 - m + (m-2)2 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhro nhất của biểu thức A = x1x2 + 2x1+2x2 Bài 3: Cho phương trình: x2-2(m+1)x + 2m+10=0 (m là tham số). Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 10x1x2 + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. C. Kết luận. Trên đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc vận dụng định lý viét trong việc giải toán ở các khía cạnh: Điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra, hàm số và đồ thị, lập phương trình, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn, chứng minh đẳng thức, tìm cực trị, giải các phương trình, hệ phương trình. Những ví dụ đưa ra chưa chắc là đã hay, vì thế tôi rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp./. Phòng giáo dục huyện nga sơn Trường thcs Nga hưng -----------------@& ?----------------- Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán Họ và tên: Trịnh Thị Hoa Đơn vị: Trường THCS Nga Hưng Năm học 2003 - 2004 *************