Đề tài Một số phương pháp chứng minh chia hết trong tập hợp số nguyên

Phần một – những vấn đề chung I. Lý do chọn đề tài: Trong nhà trường THCS môn Toán luôn giữ một vị trí hết sức quan trọng. Do tính trừu tượng cao độ của toán học và tính thực tiễn phổ dụng, những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường. Đồng thời ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh. Tuy nhiên để học tốt môn Toán đòi hỏi học sinh phải có một tư duy lôgic, một khả năng khái quát cao cùng với việc nắm chắc kiến thức lý thuyết, phương pháp vận dụng kỹ năng giải toán. Đối với học sinh cấp II, khả năng khái quát và phân loại lý thuyết cũng như bài tập chưa cao. Vì thế nếu học sinh được tiếp cận với những kiến thức, các phương pháp giải bài tập đã được sắp xếp một cách hệ thống, theo từng mảng kiến thức sẽ tạo ra hứng thú học tập, kích thích tư duy sáng tạo của học sinh, đặc biệt đối với những em học sinh khá, giỏi. Điều này phụ thuộc rất nhiều vào trình độ, phương pháp dạy học của đội ngũ giáo viên. Với đội ngũ giáo viên THCS hiện nay, họ đã và đang được tiếp cận, làm quen với phương pháp dạy học mới. Nhưng việc thực hiện những phương pháp dạy học mới đó bước đầu cũng gặp không ít khó khăn. Một mặt là do đội ngũ giáo viên giảng dạy lâu năm đã quen với phương pháp dạy học cũ nên họ ngại thay đổi thói quen trong khi phương pháp giảng dạy cũ lại bộc lộ nhiều hạn chế, một mặt là do đội ngũ giáo viên trẻ chưa có nhiều kinh nghiệm. Chính những yếu tố đó đã ảnh hưởng rất nhiều tới việc nâng cao trình độ dạy học phù hợp với yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Chính những lí do trên đã thôi thúc tôi nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp chứng minh chia hết trong tập hợp số nguyên” với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán dành cho học sinh khá giỏi và cùng các đồng nghiệp trao đổi học hỏi kinh nghiệm giảng dạy. Rất mong sự góp ý chân thành của các đồng nghiệm giúp tôi hoàn thiện nguyện vọng bồi dưỡng nâng cao chất lượng học sinh giỏi huyện nhà. II. Mục đích, đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu. 1. Mục đích: - Thông qua các dạng toán cơ bản nhằm giúp học sinh hệ thống các kiến thức về phép chia hết trong tập hợp số nguyên qua đó củng cố các kĩ năng giải toán và nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ. 2. Khách thể và đối tượng nghiên cứu. 2.1. Khách thể: - Giáo viên giảng dạy trường THCS - Học sinh lớp 8,9. 2.2. Đối tượng nghiên cứu. - Khả năng nhận thức của học sinh khá, giỏi trong trường THCS. 3. Phạm vi nghiên cứu. - Một số dạng toán cơ bản về phép chia hết trong chương trình toán THCS. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Bằng việc sưu tầm, đọc tài liệu để nghiên cứu và phân tích, từ đó tôi hệ thống hóa kiến thức cần nhớ và phân loại các dạng bài tập (bài tập mẫu, bài tập tương tự, bài tập mở rộng và bài tập tự giải). Mặt khác, tìm hiểu các dạng bài tập trọng tâm thường được đề cập, tìm hiểu trình độ tiếp thu của học sinh cũng như phương pháp dạy và học để điều chỉnh nội dung cho phù hợp. Từ đó áp dụng vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 nhằm đạt hiệu quả cao. - Trang bị cho học sinh khá giỏi lớp 8,9 nắm vững kiến thức hiểu sâu kiến thức tự tin tham gia các kì thi học sinh giỏi và thi vào các trường chuyên. - Tạo tiền đề cho các em có kiến thức học tập cao hơn. - Thông qua đề tài học sinh có thể nắm một số phương pháp và từ đó vận dụng vào giải bài toán từ đơn giản đến phức tạp, rèn kĩ năng nhìn nhận tìm hướng giải bài toán từ đó hình thành phẩm chất tư duy học sinh. Phần hai: Nội dung 1. THệẽC TRAẽNG: Trửụực ủaõy, trửụứng THCS Minh Laọp laứ trửụứng mụựi taựi laọp, ủieàu kieọn veà cụ sụỷ vaọt chaỏt coứn nhieàu thieỏu thoỏn. Mụựi chổ ủuỷ soỏ lửụùng phoứng hoùc 2 ca, chửa coự phoứng hoùc phuù ủaùo vaứ boài dửụừng hoùc sinh. Beõn caùnh ủoự ủoọi nguừ giaựo vieõn treỷ, khoõng ủoàng ủeàu veà naờng lửùc chuyeõn moõn neõn chửa toồ chửực ủoọi nguừ hoùc sinh gioỷi ngay tửứ ủaàu caỏp. Thoõng thửụứng caực em leõn lụựp 9 mụựi ủửụùc boài dửụừng neõn thụứi gian khoõng ủuỷ ủeồ cung caỏp nhửừng daùng toaựn naõng cao cuỷa caỷ chửụng trỡnh toaứn caỏp. Vỡ theỏ, leõn lụựp 9 khi ủửụùc choùn vaứo ủoọi tuyeồn toaựn, caực em khoõng ủuỷ tửù tin daón tụựi chaỏt lửụùng hoùc sinh gioỷi toaựn lụựp 9 chửa cao. Cuù theồ trong nhửừng naờm gaàn ủaõy khoõng coự hoùc sinh ủaùt giaỷi huyeọn. Trong 2 naờm gaàn ủaõy, nhaứ trửụứng ủaừ ủửụùc caực caỏp laừnh ủaùo quan taõm kũp thụứi neõn cụ sụỷ vaọt chaỏt ủaừ phaàn naứo taùm ủuỷ cho coõng taực daùy vaứ hoùc, trỡnh ủoọ chuyeõn moõn cuỷa giaựo vieõn ủaừ ủửụùc naõng cao. Do ủoự coự theồ boài dửụừng cho hoùc sinh ngay tửứ ủaàu caỏp. Trong naờm hoùc naứy nhaứ trửụứng ủaừ toồ chửực daùy phuù ủaùo boài dửụừng cho hoùc sinh ngay tửứ lụựp 6, ủoự laứ ủieàu kieọn thuaọn lụùi ủeồ ủửa caực daùng toaựn naõng cao vaứo daùy ụỷ lụựp boài dửụừng. Sau ủaõy laứ moọt soỏ daùng toaựn chửựng minh chia heỏt coự theồ aựp duùng vaứo vieọc boài dửụừng hoùc sinh. 2. GiảI pháp. 2.1. lí thuyết. 1.1. ẹũnh lớ veà pheựp chia. a, ẹũnh lớ: - Cho a,b Z vaứ b 0, khi chia a cho b luoõn coự hai soỏ nguyeõn q,r duy nhaỏt sao cho a=bq + r vụựi 0 r < |b|, trong ủoự a laứ soỏ bũ chia, b laứ soỏ chia, q laứ thửụng, r laứ soõ dử. - Khi chia a cho b , thỡ soỏ dử r coự theồ laứ 0; 1; 2; ….; | b| -1. - ẹaởc bieọt neỏu r = 0 thỡ a = bq, khi ủoự ta noựi a chia heỏt cho b (a b) hay b laứ ửụực cuỷa a (b | a). Vaọy a b coự soỏ nguyeõn q sao cho a = bq b, Tớnh chaỏt: - Neỏu a b vaứ b c thỡ a c - Neỏu a b , a c vaứ (b,c) = 1 thỡ a bc - Neỏu ab c vaứ (b,c) = 1 thỡ a c 1.2. Khaựi nieọm ủoàng dử. a, ẹũnh nghúa: Cho soỏ nguyeõn m > 0, neỏu hai soỏ nguyeõn a vaứ b coự cuứng soỏ dử khi chia cho m thỡ ta noựi a ủoàng dử vụựi b theo modum m vaứ kớ hieọu: a b (mod m) Vaọy: a b (mod m) a – b m Daỏu ‘’ goùi laứ ủoàng dử thửực. Vớ duù: 18 3 (mod 5) vỡ 18 – 3 5; 8 3 (mod 6) b, Tớnh chaỏt. - Coọng trửứ theo tửứng veỏ cuỷa nhieàu ủoàng dử thửực theo cuứng moọt modun, tửực laứ: Neỏu a b (mod m) vaứ c d (mod m) thỡ a + c b + d (mod m) vaứ a - c b - d (mod m) - Nhaõn tửứng veỏ cuỷa nhieàu ủoàng dử thửực theo cuứng moõ dun tửực laứ: Neỏu a b (mod m) vaứ c d (mod m) thỡ ac bd (mod m) - Chia tửứng veỏ cuỷa moọt ủoàng dử thửực vụựi ửụực chung cuỷa noự: Neỏu a b (mod m) vaứ dệC (a,b) thỡ . ẹaởc bieọt: dệC (a,b,m) thỡ 1.3. Caực coõng thửực bieỏn ủoồi luừy thửứa: am . an = am+n; am : an = am-n ; (a.b)n = an . bn ; (a:b)n = an : bn (am)n = am.n ; 1.4. ẹũnh lớ ễ le vaứ ủũnh lớ Pheực ma a) ẹũnh lớ ễ le: Cho m laứ soỏ tửù nhieõn khaực 0, vaứ (a,m) = 1 thỡ ii) Neỏu m = ụỷ ủoự p laứ moọt soỏ nguyeõn toỏ vaứ laứ moọt soỏ tửù nhieõn khaực 0 thỡ: ii) Neỏu m>1 vaứ coự daùng phaõn tớch nguyeõn toỏ m = thỡ: Vớ duù: Ta coự= 6 vỡ (7,10) = 1 neõnhay b) ẹũnh lớ Pheực ma: ẹũnh lớ 1: Cho p laứ moọt soỏ nguyeõn toỏ vaứ (a,p)=1 thỡ ap-1 Vớ duù: 210 1(mod 11) ẹũnh lớ 2: (daùng khaực cuỷa ủũnh lớ pheực ma) Cho p laứ moọt soỏ nguyeõn toỏ vaứ a laứ moọt soỏ nguyeõn tuứy yự, ta coự: 1.5. Caực daỏu hieọu chia heỏt: a) Ta coự N = Do ủoự Vaọy N; N b) Vỡ vụựi neõn: vaứ Vaọy N; N c) Ta coự: =10nan + 10n-1an-1 + …+ 102a2 + Do ủoự Vaọy d) Tửụng tửù neõn e) Daỏu hieọu chia heỏt cho 11: N = Ta coự: vụựi k = 0,1,2 ,…,n Do ủoự: Vaọy soỏ chia heỏt cho 11 khi vaứ chổ khi hieọu cuỷa toồng caực chửừ soỏ ụỷ vũ trớ chaỹn vaứ toồng caực chửừ soỏ ụỷ vũ trớ leỷ (tớnh tửứ phaỷi sang traựi) chia heỏt cho 11 f) Daỏu hieọu chia heỏt cho 7: Ta coự: = Maứ 1000 neõn Vaọy soỏ chia heỏt cho 7 khi vaứ chổ khi toồng ủan daỏu cuỷa boọ ba chửừ soỏ tớnh tửứ phớa beõn phaỷi cuỷa soỏ naứy chia heỏt cho 7. Vớ duù: 494949 vỡ 949 – 494 = 455 1.6. Bieồu dieón moọt soỏ tửù nhieõn trong heọ thaọp phaõn. a) Soỏ goàm 2 chửừ soỏ: (vụựi a,b vaứ ) a) Soỏ goàm 3 chửừ soỏ: (vụựi a,b,c vaứ ) a) Soỏ goàm 4 chửừ soỏ: (vụựi a,b,c vaứ ) 2.2. Các dạng toán. Dạng 1: Sử dụng tính chất: “Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n với n ”. Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n thì được n số dư khác nhau đôi một, trong n số dư khác nhau đôi một này có duy nhất một số dư bằng 0, tức là có duy nhất một số chia hết cho n. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120. Lời giải: a) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và 2n +2 (với n Z) do đó tích của chúng là 2n(2n + 2) = 4n(n + 1). Mà n và n+1 là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 do đó n(n + 1) nên 4n(n + 1) . Vậy tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. b) Ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3, mà (2,3) = 1 nên tích của chúng chia hết cho 6. c) Ta có 120 = 3.5.8 Trong 5 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5 Mà trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho 8 (câu a) Thật vậy 5 số nguyên liên tiếp có dạng n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4. Nếu n chẵn thì n, n + 2 là 2 số chẵn liên tiếp. Nếu n lẻ thì n + 1, n + 3 là 2 số chẵn liên tiếp. Mà (3,5,8) = 1. Nên tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với m,n Z, ta có: n3 + 11n mn(m2 - n2) n(n+1)(2n + 1) Phương pháp: Biến đổi đa thức về dạng tích của các số nguyên liên liếp rồi áp dụng tính chất. Lời giải: a) n3 + 11n = n3 - 1 + 12n = (n - 1)n(n + 1) + 12n theo ví dụ 1b) ta có (n - 1)n(n + 1) và 12n nên n3 +11n b) Ta có mn(m2 - n2) = mn = mn(m - 1)(m + 1) - mn(n - 1)(n + 1) Mà m(m - 1)(m + 1) và n(n - 1)(n + 1) Nên mn(m2 - n2) c) n(n+1)(2n + 1) = n(n+1)(n + 2 + n - 1) = n(n + 1)(n + 2) + (n - 1)n(n + 1) Ví dụ 3: a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng: p2 - 124 b) Chứng minh rằng n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau. Lời giải: a) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ và p không chia hết cho 3. Ta có: p2 - 1 = (p - 1)(p + 1) p là số lẻ nên p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên (p - 1)(p + 1) 8 (1) Mặt khác: p - 1, p, p + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3 mà p không chia hết cho 3 nên p - 1 hoặc p + 1 chia hết cho 3, suy ra (p - 1)(p + 1) 3 (2) Mà (3,8) = 1 nên (p - 1)(p + 1) 24 b) Để chứng minh n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau ta chứng minh hiệu n5 - n 10. Ta có: n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1)[(n2 - 4) + 5] = n(n2 - 1)(n2 - 4) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1) (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.5 10 và 5(n - 1)n(n + 1) 10. Do đó: n5 - n 10 Ví dụ 4: a) Chứng minh rằng là số nguyên với mọi n b) Chứng minh với n chẵn thì là số nguyên. Lời giải: a) Ta có: do đó: , ta đã chứng minh được n5 - n 10 (Ví dụ 3b) và n3 - n 6 (ví dụ 1b) từ đó suy ra được là số nguyên (đpcm) b) Giả sử: n = 2m (m), ta có: = = = mà 6 nên là số nguyên. Ví dụ 5: Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng mn - m - n + 1 Lời giải: m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên chúng có dạng: = Ta có và mà (3,4) = 1 nên = 192 Bài tập tương tự: 1. Chứng minh rằng: a) Tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24 b) Tích 6 số nguyên liên tiếp chia hết cho 720 c) Tích 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48. 2. Cho a, b là hai số lẻ không chia hết cho 3. Chứng minh rằng: 3. Chứng minh rằng với mọi m,n , ta có: a) n2(n2 - 1) 12 c) mn(m4 - n4) 30 b) n2 (n4 - 1) 60 d) 2n (16 - n4) 30 4. Chứng minh rằng n4 + 6n3 +11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n 5. Chứng minh rằng: a) n8 - n4 240, với mọi n N b) n5 - 5n3 +4n 120, với mọi n N c) Khi nào n5 - 5n3 +4n 240? 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau là số nguyên với mọi n nguyên: a) b) 7. Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9. 8. Chứng minh rằng biểu thức A = (23n+1 + 2n)(n5 - n) chia hết cho 30 với mọi n N. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức mở rộng. Với nN ta có: an - bn = (a - b) (an-1 +an-2b+ .…+ abn-2+bn-1) Với n lẻ: an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b+ .…- abn-2+bn-1) Suy ra: a,b Z và ab thỡ an - bn (a - b) (vụựi nN) a,b , n leỷ vaứ a -b thỡ an + bn (a + b) a,b , n chaỹn vaứ a -b thỡ an - bn (a + b) Vớ duù 1: Chửựng minh raống: 72n+1 - 48n - 7 288 (1) Lụứi giaỷi: Caựch 1: Ta coự 72n+1 – 7 = 7 (49n - 1) = 7.48 (49n – 1 + 49n-1 + … + 49 + 1) = 7.48.[(48+1)n-1 + (48+1)n-2 + … +(48 +1) + 1] = 7.48.(48k + n) (vụựi kN ) Do ủoự: 72n+1 - 48n – 7 = 7.48.(48k + n) – 48n = 7.48.48k – 6.48n 288 (vỡ 6.48 = 288) Caựch 2: Coự theồ chửựng minh baống phửụng phaựp quy naùp (Daùng 6) + Vụựi n = 0 ta coự: 71 – 48.0 – 7 = 0 288 (1) ủuựng vụựi n = 0. + Giaỷ sửỷ n =k ta coự (1) ủuựng, tửực laứ: 72k+1 – 48k - 7 288 72k+1 = 288p +48k +7 (vụựi p N) + Vụựi n = k+1, ta coự 72n+1 - 48n – 7 = 72k+3 – 48(k+1) – 7 = 49(288p +48k +7) – 48k – 55 = 49.288p +48.48k – 288 288 (1) ủuựng vụựi n = k+1. Vaọy (1) ủuựng vụựi moùi n N (ủpcm) Vớ duù 2: Vụựi n chaỹn (n N) chửựng minh raống: 20n +16n – 3n -1 323 Lụứi giaỷi: Ta coự 323 = 17.19. Bieỏn ủoồi 20n +16n – 3n -1 = (20n - 1) + (16n – 3n) 20n – 1 (20 - 1) = 19 vaứ n chaỹn neõn 16n – 3n (16 + 3) = 19 Do ủoự: 20n +16n – 3n -1 19 Maởt khaực: 20n +16n – 3n -1 = (20n - 3n) + (16n –1) 20n – 1 (20 - 3) = 17 vaứ n chaỹn neõn 16n – 1 (16 + 1) = 17 Do ủoự: 20n +16n – 3n -1 17 Maứ (17,19) = 1 neõn 20n +16n – 3n -1 323 Vớ duù 3: Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n ta coự: 11n+2 + 122n+1 133 5n+2 +26.5n+ 82n+1 59 7.52n + 12.6n 19 Lụứi giaỷi: a) Ta coự: 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.122n = 121.11n +12.144n = (133 – 12).11n +12.144n = 133.11n - 12.(144n – 11n) Vỡ 133.11n 133 vaứ 144n – 11n (144 - 11) = 133 neõn 11n+2 + 122n+1 133 (ủpcm) b) Ta coự: 5n+2 +26.5n+ 82n+1 = 25.5n + 26. 5n + 8.64n = 51.5n + 8.64n = 59.5n + 8 (64n- 5n) Vỡ 59.5n 59 vaứ 64n – 5n (64 - 5) = 59 Neõn 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59 c) Ta coự: 7.52n + 12.6n = 7.25n +12.6n = 7.(25n - 6n) +19. 6n 19 maứ 25n – 6n (25 - 6) =19 neõn 7.52n + 12.6n 19 (ủpcm) Baứi taọp tửụng tửù: 1. Chửựng minh raống: vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n ta coự a) 10n + 18n – 28 27 b) 9n + 1 -8n – 9 64 2. Tỡm moùi soỏ tửù nhieõn n sao cho: a) 10n -1 81 b) 10n -1 11 c) 10n -1 121 3. Cho n laứ soỏ tửù nhieõn, chửựng minh raống: a) 9.10n +18 27 b) 92n + 14 5 c) 1n + 3n +5n + 7n 8 vụựi n leỷ 4. Chửựng minh raống: vụựi n N, ta coự: a) 62n + 19n -2n+1 17 b) 62n+1 +5n+2 31 c) 34n+1 + 32n.10 - 3 64 d) 16n – 15n – 1 31 e) 33n+3 – 26 – 27 169 f)106n-4+106n-5+ 1 111 () 5. Cho n laứ soỏ nguyeõn dửụng leỷ, chửựng minh raống: 46n + 296.13n 1947 6. Vụựi n laứ soỏ nguyeõn dửụng, chửựng minh raống: a) 72n -48n - 1 482 b) n4 – n2 +n – 1 (n - 1)2 (n > 1) 7. Cho n N*, chửựng minh raống: a) 3n+2 + 42n+1 13 b) 4.32n+2 +32n – 36 64 c) 62n + 3n+2 +3n 11 Daùng 3: Sửỷ duùng pheựp chia coự dử. ẹeồ chửựng minh bieồu thửực A(n) p ta xeựt taỏt caỷ caực soỏ dử trong pheựp chia n cho p. Chia n cho p ủửụùc caực soỏ dử laứ 0,1,2, …, p -1. ẹaởc bieọt neỏu p leỷ ta coự theồ vieỏt: n = k.p + r vụựi r = 0, Chaỳng haùn khi n chia cho 5 thỡ n coự daùng: n = 5k, n = 5k 1, n = 5k 2 (vụựi ) Vớ duù 1: Tỡm dử trong pheựp chia moọt soỏ chớnh phửụng cho 3, cho 5 Lụứi giaỷi: Soỏ chớnh phửụng coự daùng n2 (n) 1) Chia cho 3 thỡ n = 3k hoaởc n = 3k 1 * Neỏu n = 3k thỡ n2 = 9k2 chia heỏt cho 3 * Neỏu n = 3k 1 thỡ n2 = 9k2 6k + 1 chia cho 3 dử 1 Vaọy moọt soỏ chớnh phửụng chia cho 3 coự dử laứ 0 hoaởc 1. 2) Chia cho 5 thỡ n = 5k, n = 5k 1, n = 5k 2 * Neỏu n = 5k thỡ n2 = 25k2 chia heỏt cho 5 * Neỏu n = 5k 1 thỡ n2 = 25k2 10k + 1 chia cho 5 dử 1 * Neỏu n = 5k 2 thỡ n2 = 25k2 20k + 4 chia cho 5 dử 4 Vaọy moọt soỏ chớnh phửụng khi chia cho 5 coự dử laứ 0, 1 hoaởc 4. Qua baứi taọp naứy giuựp ta nhaọn bieỏt ủửụùc: + Moọt soỏ coự daùng 3k + 2 khoõng theồ laứ moọt soỏ chớnh phửụng. + Moọt soỏ coự daùng 5k +2 hoaởc 5k + 3 khoõng theồ laứ moọt soỏ chớnh phửụng. Vớ duù 2: Chửựng minh raống toồng luyừ thửứa chaỹn cuỷa 3 soỏ nguyeõn lieõn tieỏp khoõng theồ laứ moọt soỏ chớnh phửụng. Lụứi giaỷi: Toồng luyừ thửứa 2k () cuỷa ba soỏ nguyeõn lieõn tieỏp coự daùng: Toồng 3 soỏ nguyeõn lieõn tieỏp coự moọt soỏ chia heỏt cho 3, hai soỏ coứn laùi coự daùng 3k1 neõn toồng luyừ thửứa chaỹn cuỷa 3 soỏ nguyeõn lieõn tieỏp chia cho 3 dử laứ 2 neõn khoõng theồ laứ moọt soỏ chớnh phửụng. Tửụng tửù ta coự baứi taọp sau: Vớ duù 3: Chửựng minh raống toồng bỡnh phửụng cuỷa 5 soỏ nguyeõn lieõn tieỏp khoõng theồ laứ moọt soỏ chớnh phửụng. Lụứi giaỷi: Toồng bỡnh phửụng cuỷa 5 soỏ nguyeõn lieõn tieỏp coự daùng: T = = = 5 (n2 + 2) Ta chửựng minh n2 + 2 khoõng chia heỏt cho 5 vụựi moùi n. Thaọt vaọy: Neỏu n 5 thỡ n2 + 2 chia cho 5 dử 2. Neỏu n = 5k 1 thỡ n2 + 2 chia cho 5 dử 3. Neỏu n = 5k 2 thỡ n2 + 2 chia cho 5 dử 1. Suy ra n2 + 2 khoõng chia heỏt cho 5 maứ T laứ soỏ chia heỏt cho 5 nhửng khoõng chia heỏt cho 25. Do ủoự T khoõng theồ laứ moọt soỏ chớnh phửụng. Vớ duù 4: Tỡm taỏt caỷ caực soỏ tửù nhieõn n ủeồ 32n + 3n + 1 13 Lụứi giaỷi: + Vụựi n = 3k ta coự: 32n + 3n + 1 = 36k + 33k + 1 = (272k - 1) + (27k – 1) + 3 chia cho 13 dử 3 vỡ 27n – 1 (27 - 1) = 26 + Vụựi n = 3k + 1 ta coự 32n + 3n + 1 = 36k+2 + 33k+1 + 1 = 9(272k - 1) + 3.(27k – 1) + 13 13 + Vụựi n = 3k + 2 ta coự 32n + 3n + 1 = 36k+4 + 33k+2 + 1 = 81(272k - 1) + 9(27k – 1) + 91 13 Vaọy vụựi n khoõng chia heỏt cho 3 thỡ 32n + 3n + 1 13 Baứi taọp vaọn duùng: 1. Chửựng minh raống: a) n4 – n 42 b) Neỏu n khoõng chia heỏt cho 7 thỡ n3 – 1 hoaởc n3 + 1 chia heỏt cho 7. c) mn(m4 – n4) 30 vụựi m,n 2. Tỡm soỏ tửù nhieõn n ủeồ: a) 22n+ 2n+1 7 b) 3n + 63 72 3. Chửựng minh raống n(n2 + 1)(n2 + 4) 5 vụựi moùi n Z 4. a) Tỡm taỏt caỷ soỏ tửù nhieõn n ủeồ 2n - 1 chia heỏt cho 7 b) Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n thỡ 2n + 1 khoõng chia heỏt cho 7 5. Chửựng minh raống toồng bỡnh phửụng cuỷa 7 soỏ nguyeõn lieõn tieỏp khoõng theồ laứ moọt soỏ chớnh phửụng. Daùng 4: Sửỷ duùng nguyeõn taộc ẹiRichLet. Nguyeõn taộc ngaờn keựo ẹirichlet: “Neỏu ủem n + 1 vaọt xeỏp vaứo n ngaờn keựo thỡ coự ớt nhaỏt moọt ngaờn keựo chửựa tửứ hai vaọt trụỷ leõn”. Toồng quaựt: “Neỏu ủem nk + 1 vaọt xeỏp vaứo n ngaờn keựo thỡ coự ớt nhaỏt moọt ngaờn keựo chửựa tửứ k + 1 vaọt trụỷ leõn”. Vớ duù 1: a) Trong 11 soỏ nguyeõn baỏt kỡ coự theồ tỡm ủửụùc 2 soỏ coự chửừ soỏ taọn cuứng gioỏng nhau. b) Trong 101 soỏ nguyeõn baỏt kỡ coự theồ tỡm ủửụùc 2 soỏ coự hai chửừ soỏ taọn cuứng gioỏng nhau. c) Trong n +1 soỏ nguyeõn baỏt kỡ coự hai soỏ coự hieọu cuỷa chuựng chia heỏt cho n. Lụứi giaỷi: a) Laỏy 11 soỏ nguyeõn ủaừ cho chia cho 10 thỡ ủửụùc 11 soỏ dử nhaọn moọt trong 10 soỏ: 0;1;2; …..; 9. Theo nguyeõn taộc ẹirichlet phaỷi coự hai soỏ coự cuứng soỏ dử, hieọu 2 soỏ ủoự chia heỏt cho 10. Khi ủoự hai soỏ ủoự coự chửừ soỏ taọn cuứng gioỏng nhau. Chuự yự: ễÛ ủaõy “vaọt” laứ 11 soỏ dử khi chia 11 soỏ nguyeõn cho 10 (Tửực laứ laỏy caực chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa 11 soỏ ủoự) coứn “ngaờn keựo” laứ caực soỏ dử 0,1,2, … ,9. b) Tửụng tửù caõu a) laỏy 101 soỏ nguyeõn ủaừ cho chia cho 100 (tửực laứ laỏy 2 chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa chuựng) c) Toồng quaựt laỏy n +1 soỏ nguyeõn ủaừ cho chia cho n thỡ ủửụùc n + 1 soỏ dử nhaọn moọt trong caực soỏ 0,1,2, … n -1 neõn theo nguyeõn taộc ẹirichlet phaỷi coự 2 soỏ coự soỏ dử baống nhau, nghúa laứ hieọu hai soỏ naứy chia heỏt cho n. Vớ duù 2: Cho 10 soỏ tửù nhieõn baỏt kỡ a1, a2, …. a10. Chửựng minh raống toàn taùi moọt soỏ chia heỏt cho 10 hoaởc toồng moọt soỏ soỏ chia heỏt cho 10. Haừy phaựt bieồu baứi toaựn toồng quaựt. Lụứi giaỷi: Xeựt 10 soỏ mụựi nhử sau: S1 = a1, S2 = a1+ a2, …, S10 = a1+a2 + … + a10 laỏy 10 soỏ S1,S2, …,S10 chia cho 10. + Neỏu coự moọt soỏ Si 10 (i =1,2,… 10 ) thỡ baứi toaựn ủửụùc chửựng minh. + Neỏu Si khoõng chia heỏt cho 10 vụựi moùi i, tửực laứ S1,S2, …,S10 chia cho 10 coự caực soỏ dử laứ moọt trong caực soỏ 1,2, … , 9. Theo nguyeõn taộc ẹirichlet coự hai soỏ coự cuứng dử khi chia cho 10, giaỷ sửỷ laứ Sk vaứ Sl (k > l). Khi ủoự: Sk – Sl = al – 1 +al -2 + … + ak 10 (ủpcm) Baứi toaựn toồng quaựt: Trong n soỏ tửù nhieõn baỏt kỡ toàn taùi moọt soỏ tửù nhieõn chia heỏt cho n hoaởc toồng cuỷa moọt soỏ soỏ chia heỏt cho n. Baứi taọp tửụng tửù: Chửựng minh raống : Trong 5 soỏ tửù nhieõn baỏt kyứ , bao giụứ cuừng tỡm ủửụùc moọt soỏ hoaởc moọt soỏ soỏ coự toồng cuỷa chuựng chia heỏt cho 5 Vớ duù 3: Chửựng minh raống trong 8 soỏ tửù nhieõn coự 3 chửừ soỏ bao giụứ cuừng choùn ủửụùc hai soỏ maứ khi vieỏt lieàn nhau ta ủửụùc moọt soỏ coự 6 chửừ soỏ vaứ chia heỏt cho 7. Lụứi giaỷi: Laỏy 8 soỏ ủaừ cho chia cho 7 ủửụùc 8 soỏ dử nhaọn moọt trong 7 giaự trũ 0,1,2 … 6. Theo nguyeõn taộc ẹirichlet coự hai soỏ coự cuứng soỏ dử, giaỷ sửỷ vaứ khi chia cho 7 coự cuứng dử laứ r. Giaỷ sửỷ = 7k +r vaứ = 7l + r. Ta coự: = 100 + = 1000 (7k + r) + 7l +r = 7(1001r + l) + 1001r (ủpcm) Vớ duù 4: Cho 4 soỏ nguyeõn phaõn bieọt a,b,c,d. Chửựng minh raống: (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) 12 Lụứi giaỷi: ẹaởt A = (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) 12 Boỏn soỏ nguyeõn a,b,c,d phaõn bieọt chia cho 3 coự hai soỏ coự cuứng dử, khi ủoự hieọu cuỷa chuựng chia heỏt cho 3, hieọu laứ moọt trong caực thửứa soỏ cuỷa A neõn A 3 Neỏu a,b,c,d coự hai soỏ coự cuứng soỏ dử. Khi chia cho 4 thỡ A 4 coứn neỏu a,b,c,d coự dử khaực nhau khi chia cho 4 thỡ seừ coự hai soỏ chaỹn vaứ hai soỏ leỷ, luực ủoự coự hai hieọu chia heỏt cho 2, do ủoự A 4 Maứ (3,4) = 1 neõn A 12 Vớ duù 5: Chửựng minh raống trong 5 soỏ nguyeõn baỏt kỡ coự theồ tỡm ủửụùc 3 soỏ coự toồng chia heỏt cho 3 Lụứi giaỷi: Laỏy 5 soỏ nguyeõn ủaừ cho chia cho 3 ủửụùc caực soỏ dử 0,1,2. + Neỏu 5 soỏ nguyeõn naứy chia cho 3 coự ủuỷ 3 soỏ dử 0,1,2. Giaỷ sửỷ a1 = 3k, a2 = 3k + 1, a3 =3k + 2 thỡ a1+ a2 + a3 = 3(a1+ a2 + a3 + 1) 3 + Neỏu 5 soỏ nguyeõn naứy khi chia cho 3 chổ coự 2 loaùi soỏ dử thỡ theo nguyeõn taộc ẹirichlet coự ớt nhaỏt hai soỏ coự cuứng dử khi ủoự toồng cuỷa 3 soỏ naứy chia heỏt cho 3. + Neỏu 5 soỏ nguyeõn naứy khi chia cho 3 chổ coự chung moọt soỏ dử thỡ toồng 3 soỏ baỏt kỡ trong chuựng chia heỏt cho 3. Vaọy trong 5 soỏ nguyeõn baỏt kỡ coự theồ tỡm ủửụùc 3 soỏ coự toồng chia heỏt cho 3. Vớ duù 6: Chửựng minh raống trong 52 soỏ tửù nhieõn baỏt kỡ luoõn tỡm ủửụùc moọt caởp goàm hai soỏ sao cho toồng hoaởc hieọu cuỷa chuựng chi heỏt cho 100. Lụứi giaỷi: Trong taọp hụùp caực soỏ dử trong pheựp chia 52 soỏ cho 100 ta laỏy ra tửứng caởp soỏ sao cho toồng caực caởp ủoự baống 100 vaứ laọp thaứnh caực nhoựm sau: (0,0); (1,99); (2,98); …; (49,51); (50,50). Ta coự taỏt caỷ laứ 51 caởp maứ coự tụựi 52 soỏ dử neõn theo nguyeõn taộc ẹirichlet ớt nhaỏt phaỷi coự hai soỏ dử thuoọc cuứng moọt nhoựm. Roừ raứng caởp soỏ tửù nhieõn ửựng vụựi caởp soỏ dử naứy laứ hai soỏ tửù nhieõn coự toồng hoaởc hieọu chia heỏt cho 100. Vớ duù 7: Chửựng minh raống trong 6 soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp tuựy yự, bao giụứ ta cuừng choùn ủửụùc 2 soỏ coự hieọu chia heỏt cho 5. Lụứi giaỷi: Ta bieỏt : Moọt soỏ tửù nhieõn a khi chia cho 5 coự 5 khaỷ naờng veà soỏ dử khaực nhau laứ 0; 1; 2; 3; 4 Vaọy trong 6 soỏ tửù nhieõn vụi 5 khaỷ naờng veà soỏ dử, do vaọy chaộc chaộn bao giụứ cuừng coự 2 soỏ khi chia cho 5 coự cuứng soỏ dử . Vaọy hieọu cuỷa chuựng chia heỏt cho 5. (ủpcm) Vớ duù 8: Chửựng minh raống : Trong 3 soỏ nguyeõn toỏ lụựn hụn 5 , bao giụứ cuừng tỡm dửụùc hai soỏ coự toồng hoaởc hieọu chia heỏt cho 12 . Lụứi giaỷi: Neỏu a laứ soỏ nguyeõn toỏ lụựn hụn 5, khi chia a cho 12 ta nhaọn ủửụùc caực soỏ dử sau :1; 5; 7 vaứ 11 Trong 3 soỏ nguyeõn toỏ treõn khi chi cho 12 chổ coự soỏ dử laứ moọt trong caực soỏ treõn. - Neỏu 2 trong 3 soỏ chia cho 12 coự cuứng soỏ dử thỡ hieọu cuỷa chuựng chia heỏt cho 12 - Neỏu trong 3 soỏ khoõng coự 2 soỏ naứo chia cho 12 coự cuứng soỏ dử, do vaọy soỏ dử cuỷa 3 soỏ ủoự chổ coự theồ nhaọn ủửụùc tửứ caực boọ soỏ sau (1 ; 5 ; 7) ; (1 ;5; 11 ); ( 1;7 ;11) ; ( 5 ; 7; 11) . Maứ trong caực boọ soỏ ủoự luoõn coự toồng hai soỏ baống 12 Do vaọy duứ coự xaỷy ra trửụứng hụùp naứo ta cuừng tỡm ủửụùc hai soỏ coự toồng chia heỏt cho 12 Vaọy: Trong 3 soỏ nguyeõn toỏ lụựn hụn 5 , bao giụứ cuừng tỡm dửụùc hai soỏ coự toồng hoaởc hieọu chia heỏt cho 12. Vớ duù 9. Chửựng minh raống : Luoõn toàn taùi soỏ tửù nhieõn n sao cho 13n - 1 chia heỏt cho 1996 Lụứi giaỷi Xeựt 1996 soỏ sau : S1 = 13 S1995 = 131995 S2 = 132 S1996 = 131996 S3 = 133......... Deó thaỏy Si khoõng chia heỏt cho 1996 ( i = 1;2;3....1996 ) Khi chia Si cho 1996 coự 1996 soỏ dử khaực nhau laứ 1; 2; 3; 4;.......1994; 1995 maứ coự 1996 soỏ Si , maứ chổ coự 1995 khaỷ naờng veà soỏ dử . Do vaọy chaộc chaộn toàn taùi 2 soỏ khi chia cho 1996 coự cuứng soỏ dử. Vaọy hieọu cuỷa chuựng chia heỏt cho 1996 Giaỷ sửỷ 2 soỏ ủoự laứ Sm vaứ Sn trong ủoự Sm = 13m ; Sn = 13n ( m > n ; m,nN ) Sm - Sn = 13m - 13n = 13n( 13m-n - 1) 1996 maứ 13n vaứ 1996 laứ hai soỏ nguyeõn toỏ cuứng nhau ( 13m-n - 1) 1996 ẹaởt k = m - n neõn ( 13k - 1) 1996 Vaọy