Đề tài Lượng giác hóa bài toán

Mục lục I. đặt vấn đề ở trường phổ thông, dạy toán là dạng hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Hoạt động giải bài tập toán học là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn, là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học ở trường phổ thông. Trong chương trình toán ở trường THPT, ở chương trình đại số cuối lớp 10 và chương trình đại số đầu lớp 11 học sinh đã được trang vị đầy đủ kiến thức về lượng giác: Công thức lượng giác, hàm số lượng giác, phương trình lượng giác. Với nhưng kiến thức tiếp thu được như vậy các em có thể giải quyết bài toán “Giải phương trình lượng giác” thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Trong thực tế giải toán không chỉ có những bài toán lượng giác mới sử dụng đến các kiến thức lượng giác mà có rất nhiều bài toán khác có thể lượng giác hóa và sử dụng các kiến thức lượng giác để tìm ra lời giải. Các bài toán: Chứng minh đẳng thức, giải phương trình vô tỉ, tính tích phân,... có thể lượng giác hóa để và tìm ra đáp số một cách nhanh chóng. Để giúp học sinh có thêm một phương pháp giải các bài toán trên và cũng là để học sinh thấy được một ứng dụng của lượng giác trong giải toán, tôi xin trình bầy một số kinh nghiệm của mình trong việc giải các bài toán này. II. Mục tiêu của đề tài Đưa ra một số phương pháp để chúng minh đẳng thức đại số, giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số và tính tích phân nhờ phương pháp lượng giác hóa. III. Các kiến thức liên quan Để giải các bài toán bằng phương pháp này đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức về lượng giác: Định nghĩa giá trị lượng giác của một cung, các công thức lương giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung đặc biệt, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt, các công thức lượng giác và cách giải một số phương trình lượng giác Ngoài ra học sinh còn phải chú ý những kiến thức sau: Một số dạng thường gặp khi lượng giác hóa Dạng 1: Nếu x2 + y2 =1 thì đặt với Dạng 2: Nếu x2 + y2 =a2 (a > 0) thì đặt với Dạng 3: Nếu thì đặt Dạng 4: Nếu thì đặt Dạng 5: Nếu hoặc bài toán chứa thì đặt với Dạng 6: Nếu hoặc bài toán có chứa thì đặt với Dạng 7: Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức thì đặt với Dạng 8: Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức thì đặt với Iv. Nội dung 1. Lượng giác hóa chứng minh đẳng thức Ví dụ 1: Cho ẵxẵ ³ ẵyẵ. Chứng minh ẵx + yẵ +ẵx - yẵ= Giải Đẳng thức hiển nhiên đúng với x = y = 0. Giả sử x ạ 0. Chia hai vế đẳng thức cần chứng minh cho ẵxẵ ta được: + Do ta có: Ê 1 nên –1 Ê Ê 1. Đặt = cos a với a ẻ [0; p] đẳng thức cuối sẽ là ẵ1 + cos aẵ+ẵ1 – cos aẵ=ẵ1 + sin aẵ+ẵ1 – sin aẵ Bởi vì các biểu thức trong các dấu giá trị tuyệt đối luôn không âm (-1 Ê sina, cosa Ê 1) nên đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Ví dụ 2: Cho là ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng (*) Giải Đặt , , với . Từ giả thiết ta có Ta có Từ (1) và (2) suy ra (*) được chứng minh 2. Lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng Giải (ở đây bất đẳng thức cần chứng minh không có tính chất đối xứng nên khó có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi) Đặt với Từ giả thiết ta có Ta có = Hay Dấu bằng xảy ra khi Bài toán tổng quát: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn và . Chứng minh rằng Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Giải: Điều kiện: a2 – 1 ³ 0 Û ẵaẵ ³ 1. Đặt ẵaẵ = , với a ẻ [0 ; ). Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng: Û sina + cosa Ê 2 Û sina + cosa Ê 1 Û sin (a + ) Ê 1, luôn đúng. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có: Giải: Đặt: với Khi đó: Suy ra: Vậy: Ví dụ 4: (ĐH khối B – 2008) Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn hệ thức , tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Giải Đặt với Khi đó hay (*) Phương trình (*) tương đương với Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 3, giá trị nhỏ nhất bằng . 3. Lượng giác hóa để giải phương trình và bất phương trình Ví dụ 1 : Giải phương trình sau : Giải ĐK: Đặt (). Khi đó phương trình đã cho trở thành Với ta có Với ta có Vậy phương trình có hai nghiệm và Ví dụ 2: Giải phương trình sau: Giải Đặt , phương trình đã cho trở thành Với ta có phương trình (*) Ta có với thì Với thì nên mọi mà đều không là nghiệm của (*) Với , đặt . Khi đó phương trình (*) trở thành Giải phương trình (*) trên ta được các nghiệm Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: Ví dụ 3: Giải bất phương trình : Giải : Điều kiện : Đặt Khi đó bất phương trình đã cho trở thành : Vậy phương trình này có nghiệm . 4. Lượng giác hóa tính tích phân Ví dụ 1. Tính tích phân . Giải Đặt Đổi cận . Vậy . Ví dụ 2. Tính tích phân . Giải . Đặt . Ta có Đổi cận Khi đó . V. Một số bài tập tự luyện Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực ta có Bài 2: Cho . Chứng minh: a) b) c) Bài 3: Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng Bài 4: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng a) b) Bài 5: Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) b) c) d) Bài 6. Tính các tích phân sau a) b) Bài 7. Với là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:  VI. kết luận Là một giáo viên còn ít cả tuổi đời và tuổi nghề, việc tích lũy kinh nghiệm còn nhiều hạn chế. Song để trao đổi chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô giáo lớn tuổi và khích lệ tinh thần tự học, tự nghiên cứu của mỗi bản thân, tôi mạnh dạn trình bầy một số hiểu biết của minh về việc sử dụng lương giác để giải một số bài toán trong chương trình toán trung học phổ thông. Tôi hy vọng rằng với các phương pháp trên sẽ giúp cho các em học sinh phát triển tư duy, nhanh nhẹn hơn trong việc giải toán. Đề tài được hoàn thành không tránh khỏi những sai sót, tôi rất mong muốn nhận được các ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, cô trong ban giám khảo và các đồng nghiệp để nội dung để tài của tôi được đầy đủ và hoàn thiện hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Ân Thi, ngày 01 tháng 12 năm 2011 Tác giả Phạm Trung Hảo