Đề tài Hướng dẫn học sinh THCS giải các phương trình bậc cao một ẩn

A - mở đầu: 1. Lý do chọn đề tài: Toán học là một môn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết trong các lĩnh vực của cuộc sống, từ xa xưa con người đã biết đến toán học thông qua việc đo đạc, tính toán... Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác. Trong nhà trường, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán có tính trừu tượng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm. Vì vậy, làm thế nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cô và cha mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học. Phương trình là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học toán từ cấp II đến cấp III và các cấp cao hơn. Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bị cho mình những kiến thức thật vững chắc về phương trình. Trong chương trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đưa ra cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai đơn giản. Đối với các em học sinh thì việc giải các phương trình đó không gây khó khăn nhiều. Nhưng khi gặp một số phương trình bậc cao thì các em thường lúng túng, chưa tìm ngay được các cách giải cho bài toán. Ngay cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết phương trình này. Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phương pháp giải phương trình bậc cao trong chương trình toán THCS và các bài tập minh họa. 2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài. - Phương pháp giải các phương trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đưa về các phương trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc. - Các ví dụ minh hoạ. - Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phương trình bậc cao một ẩn. - Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập. 3. Đối tượng nghiên cứu. - Học sinh ở lứa tuổi 14 - 15 ở trường THCS vì đa số các em chăm học, thích học toán và bước đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tương đối ổn định. - Đối tượng khảo sát Học sinh lớp 9 trường THCS xã Hoàng Giang - huyện Nông Cống - Thanh Hoá được phân loại theo học lực Giỏi - Khá - Trung Bình - Yếu- Kém. 4. Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo, thu thập tài liệu. - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm. - Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học. 5. Dự kiến các kết quả đạt được của đề tài. Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trường THCS trong việc học và giải phương trình bậc cao một ẩn. Qua đó các em có phương pháp giải nhất định tránh tình trạng định hướng giải chưa đúng, lúng túng trong việc trình bày cách giải, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quả cao trong các kỳ thi. B. Nội dung đề tài I. Một số kiến thức cơ sở về phương trình bậc cao I.1.Cơ sở lý luận 1> Khái niệm về phương trình một ẩn: Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x. Khi nói A(x) = B(x) là một phương trình ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x gọi là ẩn Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm Mỗi biểu thức là một vế của phương trình Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình 2> Định nghĩa hai phương trình tương đương Hai phương trình gọi là tương đương nếu tập hợp các nghiệm của chúng bằng nhau. 3> Các phép biến đổi tương đương các phương trình Định nghĩa phép biến đổi tương đương các phương trình: Biến đổi một phương trình đã cho thành một phương trình khác tương đương với nó, nhưng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tương đương. a) Định lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ: 3x= 27 Û 3x + 2x = 27 + 2x Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho Ví dụ: 5x + 7 = 16x - 3 Û 5x - 16x = -3 -7 Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho Ví dụ: 7x3 + 8x - 5=14 + 7x3 Û 8x -5 = 14 b. Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ: I-2. Các dạng phương trình 1. Phương trình bậc nhất một ẩn: 1.1. Định nghĩa: Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ạ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn . 1.2. Tập xác định: Tập xác định của phương trình là R 1.3.Cách giải Phương trình bậc nhất ax + b = 0 có nghiệm duy nhất 2.Phương trình bậc hai một ẩn số : 2.1.Định nghĩa: Phương trình bậc hai có một ẩn số là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn số, a, b, c là các hệ số đã cho, a ạ 0. Nghiệm của phương trình bậc hai là những giá trị mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của vế trái bằng 0. 2.2. Cách giải - Ta dùng các phép biến đổi tương đương, biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất, phương trình dạng tích) để tìm nghiệm của phương trình. - Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ạ0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số D của phương trình: D = b2 - 4ac D gọi là biệt số của phương trình bậc hai vì biểu thức D = b2 - 4ac quyết định nghiệm số của phương trình bậc hai Ta thấy có các khả năng sau xảy ra : D < 0 Û phương trình bậc hai vô nghiệm D=0 Û phương trình bậc hai có nghiệm kép ( hai nghiệm trùng nhau ) D>0 Û phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: ; 2.3. Hệ thức Viet. Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là : S = x1+x2 = - P = x1.x2 = 3. Phương trình bậc cao một ẩn. 3.1. Dạng tổng quát của phương trình bậc cao một ẩn Phương trình tổng quát bậc n có dạng: anxn + an-1xn-1 +...+a1x+a0 = 0 (an ạ 0) Trong đó: x là ẩn số, an,...,a0 : là các hệ số Đối với phương trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìm nghiệm của nó. Ngay cả trong trường hợp là phương trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù có công thức nhưng việc tìm nghiệm của phương trình cũng hết sức phức tạp nằm ngoài chương trình THCS, THPT. Ta cũng có hệ thức Viet liên quan giữa các nghiệm của phương trình đại số bậc cao. 3.2. Định lí Viet cho phương trình bậc n một ẩn: Cho phương trình bậc n: anxn + an-1xn-1 +...+a1x+a0 = 0 (an ạ 0) Giả sử phương trình có n nghiệm x1,...,xn, trong các nghiệm được kê ra một số lần bằng bội của nó, khi đó ta có hệ thức Viet sau: với 1Êi1<i2<...<ik Đảo lại: Cho trước n số bất kỳ x1x2,...xn Đặt S1 = x1+...+xn S2=x1x2 + x3x4 +...+xn-1xn Sk= với 1 Ê i1 < i2 < ... < ik <n Sn=x1x2...xn Khi đó x1x2,...,xn là nghiệm của phương trình sau: xn- S1xn-1 + S2xn-2+... +(-1)kSn = 0 Ví dụ: Định lý Viet cho phương trình bậc ba có dạng sau: Cho phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm x1 , x2 , x3. Khi đó: - Hệ thức Viet cho phương trình bậc bốn : ax4 + bx3 +cx2 +dx +e =0 Có dạng như sau: II. Một số phương pháp giải một số loại phương trình đại số bậc cao một ẩn: Khi gặp các phương trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải song trong đề tài này tôi đề cập đến hai phương pháp cơ bản để giải phương trình đại số bậc cao. Đó là: + Phân tích đa thức thành nhân tử, đưa phương trình về dạng phương trình tích. + Đặt ẩn phụ II.1. Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1.Cơ sở lý luận: Ta biết rằng phương trình: Vì vậy phương trình bậc cao nếu ta phân tích được vế trái thành nhân tử thì sẽ đưa phương trình về dạng phương trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạng phương trình quen thuộc đã biết cách giải. 2. Nội dung Trong nội dung nghiên cứu khi phân tích đa thức thành nhân tử tôi thường hướng dẫn học sinh sử dụng các phương pháp sau: a. Đặt nhân tử chung b. Dùng hằng đẳng thức c. Nhóm nhiều hạng tử d. Tách hạng tử e. Thêm bớt cùng một hạng tử đ. Phối hợp nhiều phương pháp Ví dụ: Giải phương trình sau: a) 7x3 - 63 x=0 7x(x2 -9)=0 7x (x-3)(x+3)=0 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x=0; x=3; x=-3 b) x3 -6x2 + 12x - 8 =0 (x-2)3 =0 x-2=0 x=2 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x=2; c)x3 - 3x2 + 6x - 18 = 0 (x3 - 3x2 ) + ( 6x - 18 ) = 0 x2 (x-3) + 6( x-3) = 0 ( x2+ 6 )(x-3) = 0 ( 1) Vì x2 ³ 0 nên x2 + 6 ³ 6 x2 + 6 > 0 ( 2) Từ (1) và (2) x-3=0 x=3 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x= 3 x4 + 3x2 - 28 = 0 x4 + 7x2 - 4x2 - 28 =0 x2(x2 -4) + 7(x2 -4) = 0 (x2 + 7)(x2 - 4) =0 (x2 +7 )(x-2)(x+2)=0 (1) Vì x2 ³ 0 nên x2 + 7 ³ 7 x2 + 7 > 0 ( 2) Từ (1), (2) (x-2) (x+2)=0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=2; x=-2 e) x3 - 7x-6 =0 x3 + 8 -7x - 6- 8=0 (x3 + 8) -(7x+14)=0 (x+2)(x2 -2x+4) - 7(x+2) =0 (x+2)(x2 -2x-3)=0 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x=-1; x=-2; x=3 * Ngoài các phương pháp trên ta còn sử dụng định lí Bơzu giúp các em nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử . Định lí Bơzu được phát biểu như sau : Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a . - Khai thác cách nhẩm nghiệm : anxn + an-1xn-1 +...+a1x+a0 = 0 (1) ( ai ẻ Z ) +) Nếu an + an-1 +...+a1+ a0 = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm x = 1 +) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình (1) có nghiệm x = - 1 +) Nếu số hữu tỉ x = ( p , q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phương trình (1) thì p là ước của a0 , q là ước của an . Ví dụ : Giải phương trình : x4 - 2x3 + x2 - 4 = 0 (*) Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phương trình (*) nhận x =- 1là nghiệm . Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phương trình (*) chia hết cho x + 1, do đó phương trình (*) có thể viết được dưới dạng : (x +1 ). ( x3 - 3x2 + 4x - 4 ) = 0 x + 1 = 0 (1) x3 - 3x2 + 4x - 4 = 0 (2) (1) Û x+1 = 0 Û x = - 1 (2) Û x3 - 3x2 + 4x - 4 = 0 T a thử các ước của 4 và thấy x = 2 là nghiệm của (2), nên (2) phân tích được thành : ( x - 2) . ( x2 -x + 2 ) = 0 x -2 = 0 x = 2 x2 - x + 2 = 0 D'< 0 : vô nghiệm Vậy phương trình (*) có hai nghiệm là x = -1 ; x = 2 . Bài toán áp dụng: 1. Giải phương trình: a) 3x4 -12x2 = 0 b) x3 + 14x2 - 4x - 56 =0 c) 2x3 + 11x +9 =0 d) x16 +x8 -2 =0 e) 2x4 + 5x3 -35x2 + 40x-12=0 2. Cho phương trình : 2x3 -(1+4m)x2 + 4(m2 -m+1)x -2m2 + 3m -2=0 a. Xác định m để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt b. Giải phương trình với m=1 Hướng dẫn 2a) 2x3 -(1+4m)x2 + 4(m2 -m+1)x - 2m2 +3m -2 =0 (*) 2x3 -x2 -4mx2 + 2x(2m2 -3m+2+m)-2m2 +3m-2=0 x2(2x - 1) -4mx2 + 2mx +2x(2m2 -3m+2) -(2m2 -3m +2)=0 x2(2x - 1) -2mx(2x-1) + (2m2 -3m+2)(2x-1) = 0 (2x - 1)( x2- 2mx+2m2-3m+2)=0 (1) 2=000(2) (1) 2x- 1 = 0 (2) x2 -2mx+2m2-3m+2=0 Ta thấy phương trình (*) luôn có 1 nghiệm Muốn phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác Đặt f(x)=x2 -2mx +2m2 -3m +2 thì f(x) phải thỏa mãn các điều kiện sau: Vậy với 1<m<2 thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt khác Phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt khi 1<m<2 II.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 1.Cơ sở lí luận Khi giải phương trình bậc cao ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn để đưa phương trình về dạng phương trình quen thuộc đã biết cách giải 2. Nội dung phương pháp Trong chương trình THCS học sinh thường gặp các dạng phương trình sau: 2.1. Phương trình trùng phương: a. Dạng tổng quát: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 +bx2 +c =0 (1) (a ạ 0) Trong đó: x là ẩn số a, b, c là các hệ số b.Cách giải: Khi giải phương trình loại này ta thường dùng phương pháp đổi biến số Đặt y=x2 ( y ³ 0) (2) Khi đó phương trình trùng phương sẽ đưa về dạng phương trình bậc hai trung gian: ay2 + by + c=0 Giải phương trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm được của y vào (2) ta được phương trình bậc hai rút gọn với biến x ( y³ 0). Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu. c.Ví dụ: * Ví dụ 1: Giải phương trình x4 -3x2 +2 =0 (1) Giải : Đặt y=x2 (y³ 0). Phương trình (1) trở thành : y2 -3y +2 =0 (y-1)(y-2)=0 Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn y³ 0 + Với y=1 ta có x2 =1 x1=1 x2=-1 + Với y=2 ta có x2 =2 x3 = x4= Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1=1;x2=-1; x3 =; x4= * Ví dụ 2 : Xác định a để phương trình: ax4 - ( a - 3 ) x2 + 3a = 0 (a ạ 0 ) (1) Có bốn nghiệm phân biệt đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn hơn -1 Giải : Đặt y= x2 ³ 0 (1) Û ay2 - ( a - 3 ) y + 3a = 0 (2) Giả sử (2) có nghiệm 0 < y1 < y2 thì (1) có 4 nghiệm phân biệt : - < - < < Muốn phương trình (1) có đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn hơn -1 thì : - 4 > - 1 y1 < 1 Vậy phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt y1 , y2 thoả mãn : 0 < y1 < 1 < 4 < y2 a .f(0) < 0 a . 3a < 0 3a2 < 0 Û a . f(1) < 0 Û a . (a -a +3 +3a ) < 0 Û 3a2 + 3a < 0 a. f(4) < 0 a . ( 16a - 4a + 12 + 3a ) < 0 15a2 -12a < 0 a ạ 0 a ạ 0 Û 3a ( a + 1 ) < 0 Û - 1 < a < 0 Û - < a < 0 3a ( 5a + 4 ) < 0 - < a < 0 Vậy với a ẻ ( - , 0 ) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm nhỏ hơn - 2 và ba nghiệm kia lớn hơn - 1 Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình : 4x4 -5x2 +1 =0 2) Cho phương trình:x4-2(2m-1)x2 +4m2-3 =0 (*) a. Với giá trị nào của m thì phương trình 4 có 4 nghiệm phân biệt b. Giải phương trình với m= Hướng dẫn: 2a) Đặt y=x2 (y ³ 0) phương trình (*) trở thành: y2 -2(2m-1)y +4m2 -3 = 0 (1) D’=(2m-1)2 -4m2 +3 = -4(m-1) Để (*) có 4 nghiệm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt tức là (1) thỏa mãn: 2.2. Phương trình bậc bốn đối xứng: a. Dạng tổng quát : Phương trình bậc bốn đối xứng là phương trình dạng:ax4 +bx3 +cx2 +bx +a=0 (a ạ 0) b. Cách giải : Vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của phương trình cho x2 rồi đặt: c.Ví dụ *Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x4 +2x3 -34x2 +2x +3=0 Giải: Phương trình trên là phương trình đối xứng( các hệ số có tính đối xứng ) Hiển nhiên x=0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x2. 3x2 +2x -34 + Đặt thì ta có: 3(y2 -2) +2y-34 =0 3y2 +2y -40 =0 Với y= - 4 thì x2 + 4x + 1=0 Với thì 3x2 - 10x + 3 =0 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: ;;. * Ví dụ 2: Giải phương trình : 2x5 +5x-13x2 +5x +2 =0 (1) Giải: Ta thấy x=-1 là nghiệm của phương trình (1) Phương trình (1) tương đương với phương trình sau: (2) (3) (x+1)(2x4 +3x3 -16x2 +3x +2) = 0 (2) x+1=0 (3) 2x4 +3x3 -16 x2 +3x+2 =0 Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình (3) Chia cả hai vế của phương trình (3) cho x2 ta có: Đặt Ta có: 2(y2 - 2) +3y -16 =0 2y2 + 3y - 20 = 0 Ta có =9+160=169 ; + Với ta có: =25-16=9 +Với y= - 4 ta có: Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm: ; ;x5=-1. d. Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình: x4 +mx3 +3mx2 +mx +1 =0 (1) a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm. b) Giải phương trình 2. Giải phương trình : x4 +2x3 + 4x2 +2x +1 = 0 Hướng dẫn: 1a) x=0 không là nghiệm của (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x2 ta được: Đặt ( Phương trình (1) trở thành : y2+ my + 3m - 2 = 0 (2) ( Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm thỏa mãn điều kiện Ta xét bài toán tìm các giá trị của m để phương trình (2) vô nghiệm: + Phương trình ( 1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình ( 2) có hai nghiệm thuộc (-2,2) + Phương trình (2) vô nghiệm: =m2 -(3m-2 ) < 0 m2 -12m+8<0 + Phương trình (2) có 2 nghiệm thuộc (-2,2): Tức Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi Do đó phương trình (1) có nghiệm khi: m hoặc Chú ý: a)Trong phương trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì 1/a cũng là nghiệm . b) Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x=-1 c) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n được đưa về phương trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ 2.3. Phương trình bậc bốn phản đối xứng a. Dạng tổng quát: Phương trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 –bx +a =0 ( a ≠ 0) gọi là phương trình bậc bốn phản đối xứng b. Cách giải : Vì x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho x2 rồi đặt c.Ví dụ *Ví dụ 1 : Giải phương trình : x4 + x3 +x2 - x +1 =0 (1) Giải Vì x=0 không là nghiệm của phương trình (1). Chia cả hai vế của (1) cho x2 ta có: Đặt Thay vào ta có: y2 +2+y+1= 0 (2) y2 +y+ 3=0 =1 - 12 < 0 Phương trình (2) vô nghiệm Phương trình (1) vô nghiệm *Ví dụ 2: Cho phương trình : x4 - ax3- (2a+1)x2 +ax + 1 = 0 (1) Tìm a để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ? Giải: Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên chia 2 vế của (1) cho x2 ≠ 0 ta có: Đặt (*) Ta được phương trình: y2 + 2 – ay –( 2a+1) =0 (2) Ta thấy phương trình (*) luôn có 2 nghiệm với Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) phải có nghiệm kép: a2 +8a -4=0 =16+4=20 Vậy với hoặc thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. d) Bài tập áp dụng Giải phương trình: 1) x4-3x3-6x2+3x+1=0 2) x5-4x3+2x2+2x-1=0 3) 6x4-35x3+62x2+35x+6=0 Hướng dẫn 2) x5- 4x3+2x2+2x-1=0 (1) Ta thấy x=1 là nghiệm của (1) (1) (x-1)(x4 +x3 -3x2 –x +1)=0 ị x-1 = 0 (2) x4 +x3 -3x2 –x +1= 0 (3) (2) x - 1= 0 x = 1 (3) Vì x = 0 không là nghiệm của (3) Chia hai vế của (3) cho x2≠ 0 ta có: Đặt Ta được phương trình : y2+2+y-3=0 y2 + y -1 =0  ; + Với ; + Với y = = Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm: 2.4. Một số dạng phương trình khác Ngoài các dạng phương trình đã nêu ở trên, trong một số kỳ thi học sinh giỏi vào trung học phổ thông học sinh còn gặp một số dạng phương trình sau: 2.4.1. Phương trình dạng : ax2n + bxn +c = 0 ( a ≠ 0) a) Cách giải: Đặt xn = y sau đó đưa về phương trình bậc hai đối với biến y: ay2 + by + c = 0 b)Ví dụ minh hoạ: * Ví dụ 1: Giải phương trình: x6 - 3x3 + 2 = 0 (1) Giải : Đặt x3 = y . Phương trình ( 1) trở thành y2 -3y +2 =0 y1=1 y2=2 Thay trở lại ta có : y1=1 x3 = 1 x=1 y2 = 2 x3 = 2 x= Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1=1 ; x2= *Ví dụ 2 : Cho phương trình : x10 + ( m-1)x5 + 4 =0 (2) Tìm m để phương trình ( 2) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó ? Giải Đặt x5 = y Phương trình ( 2) y2 + (m-1)y + 4 = 0 ( 3) Để phươnh trình (2 ) có nghiệm duy nhất thì phương trình ( 3 ) phải có nghiệm kép hay  : (m-1)2 - 4.4 =0 (m-1-4)(m-1+4)=0 (m-5)(m+3)=0 Vậy với m = 5 hoặc m= - 3 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm + Với m=5 (3) y2 +4y+4 =0 (y+2)2 =0 y+2=0 y=-2 Với y=-2 x5 = -2 x= + Với m=-3 ( 3) y2 -4y+4=0 (y-2)2=0 y-2=0 y=2 Với y=2 x5 = 2 x= Kết luận : Với m = 5 thì phương trình có nghiệm duy nhất x= Với m=-3 thì phương trình có nghiệm duy nhất x= c) Bài tập áp dụng: Giải phương trình: 1)7x6 + 8 x3 +1 = 0 2)12x10 – 15x5 +3= 0 2.4.2. Phương trình dạng : (x+a)4 + (x+b)4 =c (1) a) Cách giải: Đặt y = x +. Ta có: x+a = y+ x+b = y- Khi đó phương trình ( 1) trở thành: 2y4 + Đây là phương trình trùng phương mà ta đã biết cách giải. b)Ví dụ: *Ví dụ 1: Giải phương trình: (x+5)4 + (x+9)4 =82 (1) Đặt y = x+7 khi đó phương trình ( 1) trở thành: (y-2)4 + (y+2)4 =82 2y4 + 48y2 + 32 = 82 y4 +24y2 - 25 = 0 Đặt t = y2 với t (loại) Ta có phương trình : t2 + 24t -25 =0 Với t =1 ta có : y2 =1 y=1 hoặc y=-1 Nếu t =1 x+7 = 1 x= - 6 Nếu t =- 1 x+7= - 1 x=-8 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x =- 6 ; x =- 8 *Ví dụ 2: Cho phương trình sau: (x+m)4 + ( x+m+2)4 =n (1) a.Tìm điều kiện của m và n để phương trình có nghiệm b.Giải phương trình với m = 3, n =2 Giải a.Giải phương trình (1) (x+m)4 + ( x+m+2)4 = n ( 2) Đặt y = x+m+1 Phương trình trở thành: (y-1)4 + (y+1)4 = n 2y4 +12y2 +2- n = 0 (3) Đặt t = y2 ta được: 2t2 +12t +2- n = 0(4) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (4) phải có ít nhất 1 nghiệm không âm Ta thấy : S = t1 + t2 = - Vậy muốn phương trình (4) có một nghiệm không âm thì : P = t1.t2= Vậy với n2 thì phương trình (1) có nghiệm. b. Khi m=3, n=2 phương trình ( 1) trở thành: (x+3)4 + (x+5)4 =2 Đặt y = x+4 phương trình ( 1) 2y4+12y2 +0=0 y2(y2+6)=0 y=0 ( vì y2 nên y2 + 6) với y=0 x+4=0 x=-4 Vậy phương trình có nghiệm x=-4 c)Bài tập áp dụng : Giải phương trình: 1)(x+1)4 + (x+3)4 =16 ; 2)(x+5)4 + (x+9)4 = 1 ; 3)(x-6)4 + (x-8)4 = 4 2.4.3. Phương trình có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =m.Trong đó a+d=b+c a)Cách giải: Nhóm [(x+a)(x+d)] và [(x+b)(x+c)] rồi triển khai các tích đó, ta đưa về dạng: [x2 + (a+d)x+ad][x2+9b+c)x+bc]=m Do a+d=b+c đặt x2 +(a+d)x+k=t ( trong đó k có thể là ad hoặc bc) Ta sẽ đưa phương trình về dạng: t2+nt-m=0 Giải phương trình trên ta tìm được t. Sau đó thay t vào giải tiếp phương trình : x2+ (a+d)x+k=t Ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình ban đầu. b)Ví dụ : *Ví dụ 1 : Giải phương trình :(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=9(1) Ta thấy 1+7=3+5. ta biến đổi phương trình (1) như sau: [(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]=9 (x2 +8x+7)(x2+8x+15)=9 (2) Đặt y=x2 +8x +7 (2) y(y+8)=9 y2+8y-9=0 + Với y=1 x2 +8x+7=1 x2+ 8x+6=0 + Với y=-9 x2 +8x+7=-9 x2 +8x+16=0 (x+4)2=0 x+4=0 x=-4 Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm: ; ; x3 = -4 *Ví dụ 2: Cho phương trình: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=m (*) a.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm. b.Giải phương trình với m=-6 Giải a. Phương trình (*)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=m (x2+2x-3)(x2 +2x-8)=m Đặt x2+2x-3=y (1) ta có: y(y-5)=m y2-5y-m=0 (2) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm: Ta xét bài toán phủ định tìm m để phương trình (*) vô nghiệm : Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình ( 2) có nghiệm nhưng phương trình (1 ) vô nghiệm : + Phương trình ( 2 ) vô nghiệm khi : 25+4m<0 m< + Phương trình ( 2 ) có nghiệm, phương trình (1) vô nghiệm: (vô lý) Vậy phương trình (*) vô nghiệm khi m< Phương trình (*) có nghiệm khi m b. Thay m=-6 vào (*) ta có: (x-1)(x+32)(x-2)(x+4)=-6 x2 + 2x - 3 =-1 x2+ 2x - 2 = 0 Khi đó (2) y2- 5y - 6 = 0 + Thay y =-1 vào (1) ta có : x1 = -1 + x2 = -1 - +Thay y = 6 vào (1) ta có : x2 + 2x - 3 = 6 x2 + 2x - 9 = 0 = 1 + 9 = 10 x1 = -1 + x2 = -1 - Vậy với m = -6 phương trình (*) có 4 nghiệm : x1 = -1 + ; x2 = -1 - x3 = -1 + ; x4 = -1 - c) Bài tập áp dụng : 1. Giải phương trình : a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x + 2)(x - 3)(x + 1)(x + 6) = - 96 c) (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297 2. Giải phương trình : (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = m a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm b. Giải phương trình khi m = 40 Hướng dẫn : Nhóm (x + 1)(x + 4) và (x + 2)(x + 3) Nhóm (x + 2)(x + 1) và (x -3)(x + 6) Nhóm (x - 1)(x + 5) và (x - 3)(x + 7) = m (x2 + 14x + 45)(x2 + 14x + 48)= m 2.a) (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = m Đặt x2 + 14x + 45 = y (*) Ta có : y (y + 3) = m y2 + 3y - m = 0 (2) Để phương trình (1) có hai nghiệm thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt và phương trình (*) phải có nghiệm kép hoặc phương trình (2) có nghiệm kép và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. 2.b) Thay m = 40 vào (2) sau đó giải phương trình: y2 + 3y - 40 = 0 Tìm y rồi thay trở lại (*) tìm x. C . kết luận Đề tài ''Hướng dẫn học sinh THCS giải phương trình bậc cao một ẩn'' tuy là một vấn đề khó và rộng nhưng trong quá trình tìm hiểu và nhờ sự hướng dẫn của thầy cô giáo, tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên toán trường THCS. Trong đề tài này, tôi chỉ nêu ra một số phương pháp giải phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai trong chương trình giảng dạy môn toán ở lớp 8 và lớp 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc kết trong quá trình giảng dạy. Trước khi áp dụng các phương pháp trên tôi thấy hầu hết học sinh lúng túng không tìm ra được hướng giải khi gặp các phương trình bậc cao. Sau khi áp dụng đề tài, học sinh đã khắc phục được nhiều nhược điểm, tỷ lệ làm được bài tăng, học sinh hứng thú tích cực học tập hơn. Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán trên: Năm học áp dụng đề tài Kết quả kiểm tra giỏi khá TBình yếu kém 2005 - 2006 chưa áp dụng 5% 15% 35% 37,5% 7,5% 2006 - 2007 đã áp dụng 15% 27,5% 37,5% 17,5% 2,5% Tuy nhiên, để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng. Giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh . Người thầy cần chú trọng phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh từ đó giúp các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giải toán đúng đắn. Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường. Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự góp ý bổ sung của quý thầy cô, các bạn để bài viết được hoàn chỉnh và hấp dẫn hơn. Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy tôi còn được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy, cô giáo Tôi xin chân thành cảm ơn ./. Người viết Bùi Thị Bình D. tài liệu tham khảo 1. Sách giáo khoa Đại số 8, Đại số 9 (NXB Giáo dục). 2. Giáo trình thực hành giải toán hệ cao đẳng sư phạm của Phạm Gia Đức - Hoàng Ngọc Hưng - Đặng Đình Lăng (NXB Giáo dục) 3. 172 bà