Đề tài Đa tạp Afin và định lý nghiệm Hilbert

Lý do chọn đề tài : Định lý không điểm Hilbert có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành của toán học , nó được coi là “định lý cơ bản” của toán học cho trường hợp nhiều biến . Đây là một trong những định lý nổi tiếng nhất của Hilbert . Nó nổi tiếng tới mức ngay trong tài liệu tiếng Anh người ta vẫn dùng nguyên văn tên gọi bằng tiếng Đức “ Nullstellensazt” (Null: Không ; Stellen : Điểm ; Sazt : Định lý ) . Mục đích của đề tài là trình bày chi tiết chứng minh định lý Hilbert. Đề tài nghiên cứu về Đa tạp Afin và định lý nghiệm Hilbert bao gồm 2 chương:Chương 1 : Đa tạp Afin và vành tọa độ1.1 : Đa tạp Afin 1.2 : Iđêan của đa tạp Afin  1.3 : Vành tọa độ của đa tạp AfinChương 2 : Định lý nghiệm Hilbert Chương 1 :Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về đa tạp Afin và vành tọa độ. Chương này cho ta thấy rằng có thể sử dụng các công cụ đại số để nghiên cứu tính chất của các hình học được mô tả bởi các phương trình đa thức. Một điểm akn được gọi là nghiệm của đa thức f k[X] nếu f(a)=0 . Tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức trong k[X] được gọi là một tập đại số trong kn. Nhận xét :Với định nghĩa trên thì các hình hình học thông thường như các đường thẳng , đường tròn , mặt phẳng đều là các tập đại số Ta định nghĩa tập nghiệm của hệ đa thức S trong kn như sau:  Cho S là tập các đa thức trong k[X] . Ta gọi hệ phương trình f(X)=0 ( f S )  là hệ phương trình của S .Khi đó tập :  Z(S) :{a  kn  f(a)=0 với mọi f S}là tập nghiệm của S trong knKhi đó ta còn gọi Z(S) là tập đại số xác định bởi S. Bổ đề 1.1.9 : Cho S1 ,S2là hai tập tùy ý trong k[X]. Nếu S1  S2 thì Z( S1 )  Z( S2 ) Bổ đề 1.1.10 : Hợp của một hệ hữu hạn các tập đại số là một tập đại số. Z(S1) Z(S2)  Z(S) Trong đó S :  { fg  f S1 , g S2 }Nhận xét : Hợp của một tập vô hạn các tập đại số không nhất thiết lại là một tập đại số. Tương tự ta cũng có: Giao của một hệ các tập đại số là một tập đại số. Nhận xét : Từ bổ đề 1.1.10 cho ta thấy có thể trang bị một cấu trúc tôpô cho không gian afin kn ,trong đó các tập đóng chính là các tập đại số.Ta có thể thay hệ phương trình đa thức bởi khái niệm đại số sau : Một tập hợp các phần tử của một vành A được gọi là một iđêan nếu I  Ø và I thỏa mãn các điều kiện :  Nếu f, g  I thì f+g  I   Nếu f  I thì hf  I với mọi h A.Bổ đề 1.1.14 : Nếu I là iđêan sinh bởi S thì Z(I)=Z(S) Nhận xét : Mọi tập đại số trong kn đều là tập nghiệm của một iđêan trong k[X]. Bổ đề 1.1.16 :Cho I, J là hai iđêan tùy ý trong k[X] . Ta có :(a) : Z(I)  Z(J)=Z(IJ)=Z(IJ)(b) : Z(I)  Z(J) = Z(I+J)1.2 : Iđêan của đa tạp afin. Trong phần trước chúng ta đã xét tập nghiệm của hệ đa thức cho trước . Bây giờ ta xét tập các đa thức có nghiệm là một tập điểm cho trước .Định nghĩa iđêan của tập V trong k[X] : Cho V là một tập điểm tùy ý trong k[X] . Ta kí hiệu IV là tập hợp tất cả các đa thức triệt tiêu trên V :  IV : {f k[X]  f(a) = 0 với mọi aV}Có thể thấy ngay IV là một iđêan trong k[X] . Ta gọi IV là iđêan của tập V trong k[X].T a có giao của một tập đại số chứa V lại là một tập đại số chứa V. Đây là tập đại số nhỏ nhất chứa V. Kí hiệu là  Bổ đề 1.2.6 : Cho V là một tập tùy ý trong kn : (a) = V(IV) (b) : I = IV  Nếu V là một tập đại số thì V(IV) = V Bổ đề 1.2.3 : Cho V và W là 2 tập điểm tùy ý trong kn : (a) Nếu V  W thì I(V)  I(W). (b) IVIW = I(VW) Khái niệm iđêan căn : Với mọi iđêan I của một vành A ta kí hiệu là iđêan được sinh ra bởi các phần tử f A thỏa mãn fm I với một số m>0 nào đó . Idean được gọi là căn của I .Rõ ràng là I   . Nếu I  , thì I được gọi là iđêan căn.   Bổ đề 1.2.9 : IV là một iđêan căn . Khái niệm tập bất khả quy : Một tập đại số được gọi là bất khả quy nếu nó không thể phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn .Khái niệm iđêan nguyên tố : Một iđêan I trong một vành A được gọi là iđêan nguyên tố nếu từ điều kiện fg  I suy ra được : f I hay g I. Bổ đề 1.2.13 : Cho I là một iđêan nguyên tố và J1 , J2 là hai iđêan sao cho J1J2  I . Khi đó ta phải có J1  I hay J2  I.Định lý 1.2.15 : Một tập đại số V là bất khả quy khi và chỉ khi IV là iđêan nguyên tố.1.3 Vành tọa độ của đa tạp Afin. Cho V  Ø là một tập đại số trong kn . Việc nghiên cứu hình học trong V ta đưa về xét nghiệm của các hệ phương trình đa thức trong V. Do đó ta chỉ cần xét các hàm thu hẹp fV của các đa thức f  k[X] trên V. Một hàm F : V k được gọi là hàm đa thức trên V nếu tồn tại một đa thức f  k[X] sao cho f|V , có nghĩa là F(a) = f(a) với mọi a  V. Ta có khái niệm đại số sau:  Cho A là một vành và I là một iđêan thực sự của A . Cho f, g là hai phần tử tùy ý của A . Ta nói f đồng dư với g theo I nếu f-gI. Tập các lớp đồng dư theo I lập thành một vành . Ta gọi là vành thương của A theo I kí hiệu A/I.   Một nhóm abel M với phép toán cộng là một A – môđun nếu ta có một phép nhân vô hướng giữa mọi phần tử u  A , và mọi phần tử f  M thỏa mãn các điều kiện :  u(f +g)  uf + ug  (u + v)f  uf +vf  (uv)f  u(vf)  1f  fvới mọi u, v  A và f , g  M .  Ta định nghĩa môđun thương M/N như sau : Cho M là một A-môđun và N là một A – môđun con của M. Cho f, g là hai phần tử tuỳ ý của M . Ta nói f đồng dư với g theo N nếu f-g N , dễ thấy đây là một quan hệ tương đương . Kí hiệu : f+N :{f+h h N}.Là lớp các phần tử đồng dư với f theo N. Gọi M/N là tập các lớp đồng dư theo N . Ta gọi M/N là môđun thương của M trên N. Ta thể đồng nhất các hàm đa thức trên V với các lớp đồng dư theo IV và tập các hàm chính quy với vành thương k[X]/IV. Vành này được gọi là vành tọa độ của V. Kí hiệu là k[V].  k[V]  k[X]/ IV. Định nghĩa : Cho B là một vành tùy ý . Ta gọi một phần tử f  B là phần tử lũy linh nếu fr  0 với r là một số mũ nào đó. Vành B được gọi là vành rút gọn nếu B không có phần tử lũy linh.  Chương 2 : Định lý nghiệm hilbert Định lý không điểm của Hilbert là một định lý cơ bản của hình học đại số . Định lý không điểm của Hilbert được xem như một phiên bản nhiều chiều của định lý cơ bản của đại số . Việc xét nghiệm của hệ các đa thức trong một vành ta đưa về dạng khảo sát sự có nghiệm của iđêan sinh bởi hệ các đa thức đó . Định lý 2.0.22 (Định lý nghiệm của Hilbert) Nếu k là một trường đóng đại số thì mọi iđêan I  k[X] đều có nghiệm trong kn. Để chứng minh được định lý này ta phải sử dụng các bổ đề sau đây :  Bổ đề 2.0.17. Mọi iđêan I trong một vành đa thức một biến đều là iđêan chính . Nếu I 0 thì I = (f) với mọi đa thức f có bậc nhỏ nhất trong I.   Bổ đề 2.0.20 : Cho 1 ,.t k , tn . Mọi đa thức f k[X] đều có thể viết dưới dạng :  f=f1(x1-1)++ft(xt-t) +r  với r  k[xt+1,,xn].  Bổ đề 2.0.21 : Cho A là một vành và I là một idean trong A . Cho g  A[x] là một đa thức bậc m có hệ số đầu là c và q  A[x] là một đa thức tùy ý với hệ số trong I.T a luôn có thể tìm thấy một lũy thừa cd sao cho cdq có thể viết dưới dạng : cdq = ug +v.với v  A[X] là một đa thức với hệ số trong I và bậc  m.  Định lý nghiệm của Hilbert cho ta cách xác định iđêan của mọi tập đại số thông qua hệ thức ban đầu.   Định lý 2.0.23 : Cho k là một trường đóng đại số . Cho I là một iđêan tùy ý trong k[X] và V = Z(I) . Ta có IV =  Nhận xét : Định lý không điểm của Hilbert dẫn tới một tương ứng 1-1 giữa tập các đa tạp đại số afin trong Cn và tập các idean radical trong vành đa thức C[x1,,xn]. Điều này giúp chúng ta chuyển dịch các khẳng định trong Hình học sang ngôn ngữ của Đại số và ngược lại.Chúng em xin chân thành cảm ơn! Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy , cô và các bạn sinh viên để đề tài của chúng em hoàn thiện hơn .