Đề tài Bất đẳng thức côsi

A- Đặt vấn đề: Bất đẳng thức côsi là bất đẳng thức quan trọng nhất trong chương trình THPT bởi vì: Các ứng dụng của bất đẳng thức côsi rất phong phú. Trong lượng giác hình học, trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, nhận dạng tam giác, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Việc sử dụng bất đẳng thức côsi là rộng rãi trong các đề thi đại học, cao đẳng hàng năm, đề thi học sinh giỏi. Tuy nhiên tôi nhận thấy: - Khi áp dụng bất đẳng thức côsi vào chứng minh giải toán các em thường: + Lúng túng thụ động, không biết bắt đầu làm từ đâu, phân tích như thế nào? + Chưa nắm chắc bản chất bất ĐT côsi và các hệ quả thường gặp của nó. + Sử dụng bất đẳng thức côsi 1 cách máy móc, không linh hoạt hiệu quả. - Bất đẳng thức cô si là bất đẳng thức quan trọng song trong phân phối chương trình chỉ có 1 tiết, số lượng bài tập trong SGK còn ít. - Các tài liệu viết về bất đẳng thức côsi rất nhiều tuy nhiên hiếm có tài liệu hướng dẫn giải thích rõ tại sao làm như vậy. Không chỉ rõ cách tư duy, phân tích. Từ thực trạng trên để công việc đạt hiệu quả hơn, tôi mạnh dạn cải tiến nội dung, đưa ra vài kinh nghiệm như trong bài viết này. hy vọng các em học tập hiệu quả hơn. B- giải quyết vấn đề: I. Các giải pháp thực hiện: 1. Yêu cầu học sinh nắm thật vững lý thuyết về định lí côsi, các hệ quả thường gặp. Đặc biệt là 1 số bất đẳng thức quan thuộc thường gặp yêu cầu học sinh nhớ cách chứng minh cũng như kết quả. 2. Khi cho các em làm bài tập tôi. Đặc biệt định hướng cho các em phân tích bài toán. - Vai trò các số hạng nhân tứ có bình đẳng. - Bất đẳng thức có dấu bằng không? Nếu xảy ra dấu bằng thì các số hạng, nhân tử phải thoả mãn điều kiện nào? - Có thể biến đổi một nhân tử, số hạng đại diện được hay không? - Có thể làm trội (nhân, chia, thêm bớt) đưa về dạng mong muốn, loại các bất đẳng thức, bài toán quen thuộc. Từ phân tích trên cho phép định hướng áp dụng bất đăngt thức côsi cho số hạng nào, nhân tử nào mới hợp lí, phù hợp với thuyết của bài toán, làm được như vậy bài toàn coi như giải được 5 phần. 3) Sau khi giải bài toán, khuyến khích các em tìm tòi cách giải khác, phương pháp khác Có thể là phương pháp tam thức bậc 2, bất đẳng thứ bunhiacopski. Công việc này cũng rất có lợi cho tư duy cũng như khả năng tổng hợp của các em. II. Các biện pháp tổ chức thực hiện: Để thực hiện được các giải pháp trên tôi đưa ra các biện pháp sau: - Hệ thống các bài tập đưa ra minh hoạ cho phương pháp từ dễ đến khó. Các bài toán có liên quan, nối tiếp nhau, mở rộng dẫn theo. - Mỗi bài tập cho các em tư duy, trả lời các câu hỏi theo sườn đã cho ở trên. - Cho các em tư duy độc lập, mỗi em nêu cách, hướng giải của mình. Cho các em so sánh và rút ra kết luận chung. - Hệ thống bài tập vừa với tầm tư duy, cập nhật, được sưu tầm từ các đề thi tuyển sinh đại học hàng năm (1998 - 2005). III. Nội dung thực hiện: 1) Định lí côsi cho u số a1, a2,,an không âm. Ta có: Hệ quả: 1. Nếu a1 + a2 ++ an = cosnt thì a1a2 x x an max a1 = a2 =an 2. Nếu a1a2 xx an = cosnt thì a1 + a2 ++ an min a1 = a2 =an 2) * ứng dụng bất đẳng thức côsi chứng minh bất đẳng thức. * ứng dụng bất đẳng thức côsi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. * ứng dụng bất đẳng thức côsi giải phương trình, hệ phương trình. 3) Nội dung cụ thể: * ứng dụng bất đăngt thứ côsi chứng minh bất đẳng thức đại số: Trước hết là các bất đẳng thức áp dụng trực tiếp: Bài 1: Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng: Giải: Bất đẳng thức (1) áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số a, b, c và Ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: Chú ý: Ta có thể phát biểu bài toán trên dước dạng: Chứng minh rằng Bài 2: Cho 3 số x, y, z không âm. Chứng minh rằng: Giải: Theo bất đẳng thức côsi ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có bất đẳng thức: Giải: