Đề khảo sát chất lượng đại học năm học 2010 - 2011 môn: Toán - khối D - Lần 4

CÂU I (2,0 điểm). Cho hàm số x 2y 2x 1    (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) ,biết khoảng cách từ điểm 1 1; 2 2 A     đến tiếp tuyến đó là lớn nhất. CÂU II (2,0 điểm). 1. Giải bất phương trình:  23 4 10 log log x 2x x 0      2. Giải phương trình: 3 3x xsin cos 12 2 cosx 2 sin x 3    CÂU III (1,0 điểm). Tính tích phân:   2 10 10 4 4 0 sinI cos x x sin xcos x dx     CÂU IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy ABC là tam giác vuông với: AB = BC = a, cạnh bên AA a 2  . M là điểm trên AA sao cho 1AM AA 3    . Tính thể tích khối tứ diện MA BC  CÂU V (1,0 điểm). Cho các số thực không âm , ,a b c .Chứng minh bất đẳng thức sau:     3 3 3 3 3 4 a b c abc a b b c c a       CÂU VI (2,0 điểm). 1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho hai điểm A(5;-2),B(-3;4) và đường thẳng d có phương trình: x-2y+1=0.Tìm toạ độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại C. 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (P) có phương trinh: 2x-y-2z-12=0 và hai điểm A(2;1;4) và B(1;1;3).Tìm tập hợp tất cả các điểm M trên (P) sao cho diện tích của tam giác MAB có giá trị nhỏ nhất. CÂU VII (1,0 điểm). Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1 2 3 4z i z i     và 2z i z i   là một số ảo. ----------------------------------------------Hết--------------------------------------------- Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì! - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! TRƯỜNG THPT CHUYÊN Vĩnh Phúc ĐỀ KSCL ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN- KHỐI D-LẦN 4 Thời gian: 150 phút, không kẻ thời gian giao đề www.VNMATH.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn: Toán 12. Khối D. ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung Điểm I 2,00 1 1,00 a/ Tập xác định : D R \       2 1 b/ Sự biến thiên: Dx x y     0 )12( 5 2 / + H/s nghịch biến trên ), 2 1(;) 2 1,(  ; H/s không có cực trị +Giới hạn –tiệm cận :     yLimyLimyLimyLim xx xx 2 1 2 1 ;; 2 1 +Tiệm cận đứng x= 1 2 ,tiệm cận ngang y= 1 2 c/Đồ thị 0,25 0, 5 0,25 2 1,00  00 0 2; 2 1 xM x C x      pt tiếp tuyến với (C) tại M là           0 2 0 00 2 2 0 0 0 25: 2 12 1 : 5 2 1 2 8 2 0 xy x x xx x x y x x                0,25 o 2 1 -    2 1 - -  Y / Y x 2 1 y x Đề thi khảo sát lần 4 www.VNMATH.com                 2 2 0 0 0 0 4 4 0 0 2 2 0 0 1 15. 2 1 . 2 8 2 5 2 12 2; 25 2 1 25 2 1 5 5; 5 25 52 1 2 1 x x x x d A x x d A x x                     theo bdt cô si.Dấu bằng xẩy ra  20 0 0 1 52 1 5 2 1 5 2 x x x         từ đó 2 tiếp tuyến là :    1 2: 1 5 & : 1 5y x y x          Vậy k/c từ A đến   lớn nhất bằng 5 khi đó 2 tiếp tuyến là :    1 2: 1 5 & : 1 5y x y x          0,25 0,25 0,25 II 2,00 1 . Giải bất phương trình:  23 4 10 log log x 2x x 0       (*) 1,00 (*)     2 2 2 2 24 2 2 4 2 0 12 0 02 0 2log 2 0 2 4 2 4 og 2 1 x x x x x x xx x x x x x x x x x x l x x x                                2 22 4 11 4 014 0 4 0 22 2 7 113 7 1137 16 02 4 2 2 x x xx x x x x xx x x x x                                      7 113 7 113 2 2 x x      0,5 0,25 0,25 2 1,00 Phương trình được biến đổi thành :     1sin 1 sin 2 sin cos 2 2 2 2 3 1sin 1 sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x x x xcos cos x x x x x x x x x xcos cos x cos cos                                  * sin 0 tan 1 2 2 2 2 2 4 2 x x x xcos k x k            *   1 1 31 sin 2 sin sin sin 2 3 2 2 2 2 2 x x x xx x cos cos             (vn) vậy pt có 1 họ nghiệm là : 2 2 x k   ( k  ) 0,25 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com III   2 10 10 4 4 0 sinI cos x x sin xcos x dx     1,00 Rút gọn T      10 10 4 4 10 10 4 4 2 2 6 6 4 4 sin sin sin sin sin T cos x x sin xcos x cos x x sin xcos x cos x x cos x x cos x x             2 2 2 21 12 1 sin 2 2 sin 4 4 16 1 cos 4 1 15 1 11 8 cos 4 cos8 2 32 32 2 32 cos x x cos x x x cos x x x                2 2 0 0 15 1 1 15 1 1cos 4 cos8 sin 4 sin 8 32 2 32 32 8 256 15 64 I x x dx x x x I                       0,25 0,25 0,25 0,25 IV Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy ABC là tam giác vuông với. 1,00 Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.Gọi H là trung điểm AC thì  ' 'BH AC BH ACC A   .Do đó BH là đường cao của hình chóp ' ' 2. 2 B MAC BH a  .Từ giả thiết suy ra ' ' '2 2 , 2 3 MA a AC a  Ta có ' ' ' ' ' 3. 1 1 1 2 1 2 2 2. . . . . 2 3 2 3 2 2 3 9B MAC V BH MA AC a a a a   0,25 0,5 0,25 V Cho , , 0.a b c  chứng minh bđt sau 1,00 ycbt          3 3 3 3 3 3 2 2 2 93 . . 4 3 a b c abc a b b c c a a b c abc a b c a b c ab bc ca                                2 2 2 2 2 2 2 2 231 3 2 2 M a b c ab bc ca M a b b c c a a b b c c a                     31 3 2 2 N a b c a b b c c a a b b c c a             Vậy VT=    3 3 339 9. . 4 4 M N a b b c c a a b b c c a VP         dấu đẳng thức xẩy ra khi a=b=c 0,25 0,25 0,25 0,25 VI 2,00 1 .A(5;-2),B(-3;4)(d):x-2y+1=0. 1,00 Giả sử điểm        2 1; 2 6; 2 & 2 2; 4C d C t t AC t t BC t t            Góc       090 . 0 2 6 2 2 2 4 0ACB AC BC t t t t            2 2 4 0 1 5t t t       . Vậy có hai điểm C tren (d) thoả mãn ycbt 0,25 0,5 www.VNMATH.com    1 21 2 5;1 5 ; 1 2 5;1 5C C    0,25 2 2x-y-2z-12=0 và hai điểm A(2;1;4) và B(1;1;3). 1,00 Ta có    1;0; 1 ; 2; 1; 2 . 0 / /( )P PAB n ABn AB P                   min 1; ; ; . ; . 2MAB MAB M P MH d A P S MH AB S MH P      Gọi (Q) là mặt phẳng qua AB và        1;4; 1 ; 4 2 0QQ P n Q x y z         . Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng giao tuyến Của ( P) và (Q) Trong đó (P):2x-y-2z-12=0 và (Q):x+4y-z-1=0 0,25 0,25 0,5 VII Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1 2 3 4z i z i     và 2z i z i   là một số ảo. 1,00 Giả sử:  ,z x iy x y   theo gt    1 2 3 4x y i x y i              2 2 2 21 2 3 4 5x y x y y x                     2 22 2 2 1 2 32 1 1 x y i x y y x y iz iu z i x y i x y                u là số ảo        22 25; 2 1 0; 2 3 0, 1 0y x x y y x y x y            Giải điều kiện : 12 23 7 7 z i   0,25 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com