Đề cương ôn thi học kỳ II Toán khối 11

KHUNG MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 11 HỌC KÌ 2 Chủ đề Mạch KTKN Mức nhận thức Cộng Nhận Biết Thông Hiểu Vận dụng 1 Vận dụng 2 Phần chung Giới hạn 1 1,0 1 1,0 2 2,0 Hàm số liên tục 1 1,0 1 1,0 Đạo hàm 1 0,5 1 0,5 2 1,0 Quan hệ vuông góc 1 1,0 1 1,0 1 1,0 3 3,0 Tổng phần chung 3 2,5 3 2,5 2 2,0 8 7,0 Phần riêng Liên tục 1 1,0 1 1,0 Đạo hàm 2 1,0 2 2,0 Tổng phần riêng 3 3,0 3 3,0 Tổng toàn bài 3 2,5 6 5,5 2 2,0 11 10,0 Diễn giải: 1) Chủ đề – Hình học: 3,0 điểm – Đại số & Giải tích: 7,0 điểm + Giới hạn: 2,0 điểm + Liên tục: 2,0 điểm + Đạo hàm: 3,0 điểm 2) Mức nhận biết: – Chuẩn hoá: 8,0 điểm (hoặc 7,0 điểm) – Phân hoá: 2,0 điểm (hoặc 3,0 điểm) DẠNG 1:PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ I. Điều cần nhớ: Định nghĩa giới hạn hữu hạn (SGK). Các định lý, nhận xét của dãy số có giới hạn 0 (SGK). Nguyên lý kẹp (SGK) Các định lý, nhận xét của dãy số có giới hạn hữu hạn (SGK). II. Phương pháp giải: Dưới đây là phương pháp giải các dạng bài tập thường gặp và tìm giới hạn hữu hạn của dãy số được cho bởi công thức tổng quát: Dạng : Trong đó A là đa thức có bậc cao nhất là x, B là đa thức có bậc cao nhất là y (trong bài này chỉ xét trường hợp , nếu x>y thì bài toán có thể về dạng vô định mà chúng ta sẽ xét sau). Cách giải: chia A và B cho ny (n là số có số mũ y, trong trường hợp có nhiều số có số mũ là y thì chọn hãy chọn số lớn nhất ) rồi kết hợp với các định lý trong bài dãy số có giới hạn 0 để suy ra kết quả. Ví dụ 1: ; vì Ví dụ 2: ; vì Bài tập: tìm giới hạn của dãy số (un) với: Đáp số: a) 3; b) 5 Dạng : Trong đó A,B là hai đa thức cho trước. Cách giải: nhân thêm vào để trở thành bài toán tìm giới hạn của. Đến đây ta có thể áp dụng cách giải của bài toán dạng . Ví dụ: ; vì Bài tập: a) Tính b) Tính Đáp số: a) 0; b) Mở rộng: đôi khi bài toán có thể cho ở dạng tìm , lúc này ta sẽ nhân thêm vào rồi giải tương tự. ------------------------------------------------------------------ §3: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa: (sgk) Áp dụng định nghĩa, có thể chứng minh được rằng: lim n = +∞ ; lim = +∞ ; lim = +∞ lim un = −∞ lim(-un) = +∞ Nếu lim = +∞ thì lim = 0 Ÿ nếu ; ·Nếu · Ÿ Ÿnếu · · ; · · 2. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực: a). Quy tắc 1: Nếu limun=∞ và limvn = ∞ thì lim(unvn) được cho trong bảng sau: limun limvn lim(unvn) +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ b). Quy tắc 2 Nếu linun=∞ và limvn= L0 thì lim(unvn) được cho trong bảng sau: limun Dấu của L lim(unvn) +∞ +∞ −∞ −∞ + − + − +∞ −∞ −∞ +∞ c). Quy tắc 3 Nếu limun = L 0, limvn = 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì lim được cho trong bảng sau: Dấu của L Dấu của vn lim + + − − + − + − +∞ −∞ −∞ +∞ Bài tập rèn luyện 1. Tìm các giới hạn sau: a) lim b) lim; c..lim. d) lim ; Dạng:MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC I/ Quy tắc 1: Nếu f(x) = ± ∞ và g(x) = L ≠ 0 thì [f(x).g(x)] được cho trong bảng sau : lim f(x) lim g(x)=L lim(unvn) +∞ +∞ −∞ −∞ + - + - +∞ −∞ −∞ +∞ II/ Quy tắc 2: Nếu f(x) = L ≠ 0 và g(x) = 0 và g(x) ≠ 0 với mọi x ≠ x0 thì được cho trong bảng sau : Dấu của f(x) Dấu của g(x) + + − − + − + − +∞ −∞ −∞ +∞ Chú ý : 1) Các quy tắc trên đúng cho mọi trường hợp : x → x0 ; x → x0− ; x → x0+ ; x → - ∞ ; x → + ∞ 2) Trong bảng quy tắc 2 , dấu “+”( hoặc “-” ) trong cột thứ hai được hiểu là : g(x) > 0 ( hoặc g(x) < 0 ) với mọi x x0 . lim f(x) = + ∞ lim [ f(x) + g(x) ] = + ∞ lim g(x) = + ∞ Ta cũng có : lim f(x) = - ∞ lim [ f(x) + g(x) ] = - ∞ lim g(x) = - ∞ III/ Định lí : a) g(x) = 0 g(x)0 , với mọi xx0 ` b) = + ∞ = 0 Phương pháp giải : Dạng 1 : Tìm giới hạn hàm số theo quy tắc 1 + Dạng đa thức : Ta đặt x với số mũ lớn nhất làm nhân tử chung và coi đây là hàm f(x), phần trong ngoặc là g(x) + Daïng caên thöùc : ta cuõng ñaët x vôùi soá muõ cao nhaát laøm nhaân töû chung roài ñöa ra khoûi caên (nhôù coù daáu giaù trò tuyeät ñoái neáu x coù soá muõ leû ).Caàn chuù yù raèng x → - ∞ nghiaõ laø x 0 ;x → x0− nghóa laø x x0− . Daïng 2 : Loaïi 1 : Khi x daàn ñeán x0 : Tính tröïc tieáp giôùi haïn töû , daáu cuûa giôùi haïn ? . Giôùi haïn cuûa maãu bao giôø cuõng baèng 0 , daáu cuûa maãu laø gì ? Caên cöù vaøo daáu giôùi haïn cuûa töû vaø daáu giôùi haïn cuûa maãu , aùp duïng quy taéc 2 ñeå keát luaän . Loaïi 2 : Khi x daàn ñeán ∞ : Chia caû töû vaø maãu cho x vôùi soá muõ cao nhaát . Tìm giôùi haïn cuûa töû , daáu cuûa giôùi haïn ? Chuù yù : Caùc baøi toaùn aùp duïng ñöôïc quy taéc 2 loaïi naøy , bao giôø baäc cuûa töû cuõng lôùn hôn baäc cuûa maãu . Ví duï :a) Vì : = + = 0 Bài tập : 1. Tính caùc giôùi haïn sau: a. d. b. e./ c. f./ 2. Tính caùc giôùi haïn sau: a. f. b. g. c. h. d. i. Vấn đề 2:Hàm số liên tục I. Hàm số liên tục tại một điểm 1. Định nghĩa: ŸGiả sử hàm số f xác định trên khỏang (a;b) và xo (a;b). Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm xo nếu ŸHàm số không liên tục tại điểm xo được gọi là gián đọan tại điểm xo * Cách chứng minh hàm số y = f(x) liên tục tại x = xo Ta chứng minh: II. Hàm số liên tục trên 1 khỏang, trên 1 đọan: Định nghĩa * Hàm số y = f(x) xác định trên J, trong đó J la một khỏang hoặc hợp của nhiều khỏang . Hàm số f(x) liên tục trên J f(x) liên tục tại mọi điểm xo J * Hàm số y = f(x) xác định trên [a;b] f(x) liên tục trên (a;b) f(x) liên tục bên phải tại a f(x) liên tục bên trái tại b y= f(x) liên tục trên [a;b] * Cách chứng minh hàn số f(x) liên tục trên J ta cần chứng minh: => Hàm số f(x) liên tục tại điểm xo => f(x) liên tục trên J * Cách chứng minh hàm số f(x) liên tục trên [a;b] Ÿ Bước 1: ta chứng minh f(x) liên tục trên (a;b) (1) Ÿ Bước 2: ta chứng minh f(x) liên tục bên phải tại a Tức là: (2) Ÿ Bước 3: ta chứng minh f(x) liên tục bên trái tại b Tức là: (3) Ÿ Kết luận: từ (1), (2) và (3) => Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] * Cách chứng minh hàm số f(x) liên tục trên [a;b) Ÿ Bước 1: ta chứng minh f(x) liên tục trên (a;b) (1) Ÿ Bước 2: ta chứng minh f(x) liên tục bên phải tại a Tức là: (2) Ÿ Kết luận: từ (1) và (2) => Hàm số f(x) liên tục trên (a;b] * Cách chứng minh hàm số f(x) liên tục trên (a;b] Ÿ Bước 1: ta chứng minh f(x) liên tục trên (a;b) (1) Ÿ Bước 2: ta chứng minh f(x) liên tục bên trái tại b Tức là: (2) Ÿ Kết luận: từ (1) và (2) => Hàm số f(x) liên tục trên (a;b] * Cách chứng minh hàm số f(x) liên tục trên [a;+) Ÿ Bước 1: ta chứng minh f(x) liên tục trên (a;+) (1) Ÿ Bước 2: ta chứng minh f(x) liên tục bên phải tại a Tức là: (2) Ÿ Kết luận: từ (1) và (2) => Hàm số f(x) liên tục trên [a;+) * Cách chứng minh hàm số f(x) liên tục trên (-;b] Ÿ Bước 1: ta chứng minh f(x) liên tục trên (-;b] (1) Ÿ Bước 2: ta chứng minh f(x) liên tục bên trái tại b Tức là: (2) Ÿ Kết luận: từ (1) và (2) => Hàm số f(x) liên tục trên (-;b] VD3: Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng (-1;1) Giải Hàm số f(x) xác định => TXĐ: (-1;1) ta có: => Hàm số f(x) liên tục tại điểm => f(x) liên tục trên khoảng (-1;1) VD4: xét tính liên tục hàm số trên đoạn [-1;1] Giải + Xét tính liên tục trên (-1;1) Ÿ ta có: Ÿ Vì liên tục trên (-1;1) (a) + Xét tính liên tục bên phải (-1) Ÿ Ÿ f(-1)=0 => Hàm số liên tục bên phải (-1) (b) + Xét tính liên tục bên trái 1 Ÿ Ÿ f(1)=0 => Hàm số liên tục bên trái 1 (c) Từ (a), (b) và (c) => liên tục trên [-1;1] * Nhận xét: Ÿ Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục tại 1 điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó ( trong trường hợp thương, giá trị mẫu tại điểm đó phải khác 0) Ÿ Hàm đa thức là hàm phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng. Các hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng * Định lí 1: Bài tập rèn luyện: a) Chứng minh rằng hàm số: liên tục trên R liên tục trên nửa khoảng b) Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó III. Tính chất của hàm số liên tục: * Định lý 2: SGK trang 171 * Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(c)=0 * Phương pháp giải toán: Giả sử hàm số f(x) liện tục trên [a;b]. f(a).f(b)f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trên (a;b) Cách trình bày lời giải bài toán chứng minh pt có nghiệm trên đoạn Ÿ Đặt Ÿ Vì f(x) là hàm .nên hàm số liên tục trên . Þ hàm số liên tục trên Ÿ Mặt khác ta có: Kết luận: VD:Chứng minh rằng phương trình =0 có ít nhất một nghiệm bé hơn 1. Giải Ÿ Đặt ŸVì f(x) là hàm đa thức => f(x) liên tục trên R mà f liên tục trên Ÿ Mặt khác ta có: Bài tập rèn luyện: x2 với 2ax – 3 với 1. Tìm số thực a sao cho hàm số: a) liên tục trên R với (1-ax) với b) liên tục trên R 2. Chứng minh rằng hàm số liên tục trên tập xác định của nó. 3. Cho hàm số với m với Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x=2. 4.. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 1 nghiệm âm lớn hơn -1 thuộc (1;3). 5.Chöùng minh raèng phöông trình x3 + 3x2 +5x-1= 0 coù ít nhaát 1 nghieäm trong khoaûng (0;1) 6.Chöùng minh raèng phöông trình x3-3x+1= 0 coù 3 nghieäm phaân bieät. 7.Chöùng minh raèng phöông trình x5-3x4 +5x-2= 0 coù ít nhaát 3 nghieäm phaân bieät naèm trong khoaûng (-2 ;5 Vấn đề 3:Đạo Hàm KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Định nghĩa : Cho hàm số xác định trên khoảng và , đạo hàm của hàm số tại điểm là : . Chú ý : Nếu kí hiệu thì : . Nếu hàm số có đạo hàm tại thì nó liên tục tại điểm đó. Ý nghĩa của đạo hàm Ý nghĩa hình học: Cho hàm số có đồ thị là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị của hàm số tại . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là : . Ý nghĩa vật lí : Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : tại thời điểm là . Cường độ tức thời của điện lượng tại thời điểm là : . Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm AHãy điền khuyết vào bảng sau: (1) (2) (3) (4) (14) (15) (16) ( C)’ =với C là hằng số(1) (5) (6) (7) (8) (17) (18) (19) (20) (9) (u.v)’ = (10) (11) Ñaëc bieät: Neáu k laø haèng soá thì (k.u)’ = (12) (13) Lưu ý: Khi cần tính đạo hàm của biểu thức ; ta có thể tính theo cách sau: 1. (21) 2. (22) Vi phân a./Định nghĩa : Cho hàm số có đạo hàm tại , vi phân của hàm số tại điểm là : . Cho hàm số có đạo hàm thì tích được gọi là vi phân của hàm số . Kí hiệu : hay . b./ Ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng : . Đạo hàm cấp cao a./Đạo hàm cấp 2 : Định nghĩa : Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm là . b.Đạo hàm cấp cao : . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Tìm đạo hàm theo định nghĩa Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau : Cách 1 : Theo quy tắc Bước 1 : Cho một số gia và tìm số gia tìm . Lập tỉ số Bước 2 : Tìm giới hạn Cách 2 : Áp dụng công thức: . Các ví dụ minh họa : VD 1:Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra: a) tại ; b) tại Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc biệt là đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ( là hằng số) . Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; k) . Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) ; b) c) ; d) ; e) ; f) ; Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; k) ; l) ; m) ; n) ; o) ; p) ; q) . a) Cho hàm số . Tính . b) Cho hàm số . Chứng minh: Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) ; b) ; Cho hàm số chứng minh : a) ; b) . Cho các hàm số : , . Chứng minh : . a) Cho hàm số . Chứng minh : . b) Cho hàm số . Chứng minh : . Giải phương trình biết : a) ; b) ; c) ; Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong Phương pháp : Phương trình tiếp tuyến của đường cong y =f(x): ?Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x0;y0) coù daïng ? Trong đó : là .. là .. :. Chuù yù : Neáu ñöôøng thaúng () coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa () laø: VD: ?Hệ số góc của đường thẳng y= -7x+ 2 là: k=.. ?Hệ số góc của đường thẳng 2x+2y-32=0 là: k=.. ?Hệ số góc của đường thẳng 2x-4y-7=0 là: k=.. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN -------------ef-------------- I. Daïng 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y = f(x) taïi ñieåm (C): y=f(x) Phöông phaùp: Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x0;y0) coù daïng: Thay vào đề y - y0 = k ( x - x0 ) Trong ñoù : x0 : hoaønh ñoä tieáp ñieåm y0: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y0=f(x0) k : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : II.Daïng 2: (C): y=f(x) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho tröôùc Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau: Böôùc 1: Goïi laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C) Böôùc 2: Tìm x0 baèng caùch giaûi phöông trình : , töø ñoù suy ra =? Böôùc 3: Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. Chuù yù : Ñoái vôùi daïng 2 ngöôøi ta coù theå cho heä soá goùc k döôùi daïng giaùn tieáp nhö : tieáp tuyeán song song, tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc . (C): y=f(x) (C): y=f(x) Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau: Ñònh lyù : Neáu ñöôøng thaúng () coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa () laø: FCho hai ñöôøng thaúng . Khi ñoù: III. Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(xA;yA) Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau Böôùc 1: Goïi là tiếp tuyến cần tìm và là tiếp điểm Ta có: pt của có dạng : Böôùc 2: Vì đi qua A nên ta được: (*) Böôùc 3: Giaûi (*) tìm Từ đó tìm pt tiếp tuyến. VD :Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyến của trong các trường hợp sau : a) Tại điểm ; b) Tại điểm thuộc và có hoành độ ; c) Tại giao điểm của với trục hoành . d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm VD :Cho đường cong a) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ; b) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Bài tập rèn luyện: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp với : a) Tại điểm có hoành độ ; b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : ; c) Vuông góc với đường thẳng : ; d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm . Cho hàm số : . a) Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm ; b) Vết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục hoành; c) Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục tung ; d) Viết phương trình tiếp tuyến của bết tiếp tuyến song song với đường thẳng ; e) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Cho hàm số : .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình Cho hàm số .Tìm phương trình tiếp tuyến với : a) Tại điểm có hoành độ ; b) Song song với đường thẳng : . Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân Phương pháp : Dựa theo định nghĩa và công thức sau : Cho hàm số có đạo hàm thì tích được gọi là vi phân của hàm số . Kí hiệu : hay Các ví dụ minh họa : Tìm vi phân của các hàm số sau : a) ; b) . Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) : a) b) Đạo hàm cấp cao Phương pháp : Dựa theo các định nghĩa sau : Đạo hàm cấp 2 : Đạo hàm cấp cao : . Chú ý : Để tìm công thức tính đạo hàm cấp của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 sau đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp . Dạng toán: Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm FPhương pháp: Tìm các đạo hàm đến cấp cao nhất có mặt trong đẳng thức cần chứng minh. Thay vào vị trí tương ứng và biến đổi vế này bằng vế kia. VD:Chứng minh các đẳng thức sau: a) nếu ; b) nếu ; c) nếu ; d) nếu ; e) nếu ; f) nếu ; Vấn đề 4:Quan Hệ Vuông Góc Dạng 1: Phöông phaùp giaûi : Ñeå chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc ta thöôøng söû duïng moät trong hai caùch sau: +Caùch 1: Chöùng minh chuùng cuøng thuoäc moät maët phaúng vaø duøng phöông phaùp chöùng minh vuoâng goùc trong hình hoïc phaúng. +Caùch 2: Söû duïng tröïc tieáp ñònh nghóa goùc giöõa hai ñöôøng thaúng trong khoâng gian và chứng minh góc đó bằng 900 +Caùch 3: Ñeå chöùng minh hai ñöôøng thaúngAB vaø CD vuoâng goùc ta coù theå chöùng minh Trong các bài toán có nhiều câu hỏi,có thể sử dụng kết hợp chứng minh bằng cách dùng các tính chất: Caùch 1: Ñeå chöùng minh ñöôøng thaúng a vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng b,ta caàn kheùo löïa choïn maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng b sao cho vieäc chöùng minh deã thöïc hieän . Caùch 2: Söû duïng ñònh lyù ba ñöôøng vuoâng goùc . Neáu ñöôøng thaúng d naèm trong mp(P), OA laø ñöôøng xieân coù hình chieáu leân (P) laø HA.Ta coù : Caùch 3:Chứng minh: Dạng 2: Cách 1:Duøng Tích Voâ Höôùng Ñeå Tính Goùc Giöõa Hai Ñöôøng Thaúng Trong Khoâng Gian. Phöông phaùp giaûi : Ta tính góc giữa hai vecto và suy ra góc giữa hai đường thẳng. + Ñeå tính goùc giöõa ta coù theå döïa vaøo coâng thöùc : +Góc giữa hai đường thẳng: Cách 2:Dùng định nghĩa. VD 1 :Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=1.Gọi M là trung điểm cạnh Ab. a./Tính góc giữa hai vec tơ . b./Tính góc giữa hai đường thẳng. VD 2 :Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=1.Gọi M là trung điểm cạnh AB.Tính góc giữa hai vec tơ . Chöùng Minh Ñöôøng Thaúng Vuoâng Goùc Maët Phaúng Phöông phaùp giaûi : Ñeå chöùng minh ñöôøng thaúng a vuoâng goùc vôùi maët phaúng ta thöôøng duøng moät trong hai caùch sau: Caùch 1: Chöùng minh ñöôøng thaúng a vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng caét nhau naèm trong nghóa laø: Caùch 2: Chöùng minh ñöôøng thaúng a song song vôùi moät ñöôøng thaúng b maø b vuoâng goùc vôùi (P). Cách 3: Cách 4 Cách 5: ÄMột số chú ý khi giải toán: ŸĐường vuông góc với mặt thì nó vuông với mọi đường nằm trong mặt. Trình bày: Qua đó ,ta có nhận xét : để chứng minh hai đường vuông góc ta cần khéo chọn một mp nào đó chứa một đường và vuông góc với đường còn lại. Tóm lại: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó. II. Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P). ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). Bài tập rèn luyện: Bài 1:Trong mpcho tam giác ABC với cả ba góc đều nhọn.Trên đường thẳng d vuông góc với tại A lấy M khác A.Trong mp vẽ BK vuông góc AC tại K và trong mp(MBC) vẽ BH vuông góc CM tại H. Đường thẳng KH cắt d tại N .Chứng minh: a./BN CM . b./BMCN Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ,SA vuông góc với mp(ABCD).Gọi M là trung điểm của SC .Chứng minh:MO (ABCD). Bài 3:Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC) và AI BC .Gọi H là trực tâm của tam giác ABC .Kẻ HK DI .Chứng minh:HK (DCB) va K là trực tâm của tam giác DBC. Bài 4:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a.Gọi M,N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AB,AD sao cho :AM=AN=x (với 0<x<a) và I là trung điểm MN. a./Chứng minh rằng: MN AC’ b./Chứng minh rằng: (A’MN) (A’AI) c./Xác định góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (A’MN).Tính tan của góc đó theo a và x. d./Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(A’MN).Tính AH theo a và x. Sách tài liêu HDGD toán 11 trang 347. Câu 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) .Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SC,SD.Chứng minh rằng: a./ và . b./AH,AI,AK đồng phẳng. c. Chöùng Minh Hai Maët Phaúng Vuoâng Goùc FPhương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. II. Các định lý: ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. Vaán ñeà: CÁCH XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH CÁC LOẠI GÓC Kiến thức cần nhớ: I.Các loại góc: 1.Góc giữa hai đường thẳng: A Ÿ 2.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Người ta định nghĩa góc giữa đường thẳng a với mặt phẳng (p) là góc nhọn giữa đường thẳng a với hình chiếu vuông góc a’ của nó trên mặt phẳng (p). Chú ý:Cách xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng ŸGiả sử d cắt (P) tại O. ŸTừ một điểm A thuộc d (A không trùng với O) ,ta dựng đường thẳng vuông góc với (P) cắt (P) tại H. ŸTa có :OH là hình chiếu của d lên mp(P). ÄMột số ví dụ áp dụng: VD1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a ,SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và .Xác định và tính : a./Góc giữa đường thẳng SB và mp(ABCD). b./Góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD). VD2:Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng 2a Xác định và tính góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC). 3.Góc giữa hai mặt phẳng :là góc phẳng của nhị diện tạo nên bởi hai mặt phẳng ấy. (Góc giữa hai mặt phẳng bé hơn hoặc bằng ) ÄPhương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): Bước 1: Xác định giao tuyến của của hai mp(P) và (Q). Bước 2: Từ điểm O thuộc ,ta tìm hai đường thẳng Ox,Oy lần lượt nằm trong hai mp(P),(Q) và vuông góc . Bước 3: Góc giữa hai đường thẳng Ox,Oy chính là góc giữa hai mp cần tìm. Cách trình bày lời giải: * X ác định góc giữa hai mặt phẳng và (ABCD): góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc giữa SO và AO chính là góc : ÄMột số ví dụ áp dụng: VD1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a ,SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và .Xác định và tính : a./Góc giữa hai mp(SCD) và mp(ABCD). b./Góc giữa hai mp(SCB) và mp(ABCD). VD2:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B cạnh BC =3a,SA vuông góc với đáy,SA=Xác định và tính góc giữa hai mp(SBC) và mp(ABC). VD 3:Cho hình chóp S.ABCD ; ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều , mp(SAB) vuông góc mp(ABCD) Gọi I là trung điểm AB. CMR : SI vuông góc (ABCD) CMR : êSBC và êSAD vuông. Tính góc giữa các cạnh bên và đáy. §3.KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). d(a;(P)) = OH 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB Vấn đề: Hình chóp đều 1.Hình chóp đều là hình chóp mà: +Đáy là đa giác đều. +Chân đường cao trùng với tâm của đáy. 2.Trong hình chóp đều thì: +Các cạnh bên bằng nhau và hợp với mặt đáy các góc bằng nhau. +Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau .Đường cao của mặt bên kẻ từ đỉnh gọi là trung đoạn của hình chóp đều. +Các góc nhị diện kề đáy thì bằng nhau (các mặt bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau). +Các góc phẳng ở đỉnh thì bằng nhau. CChú ý: +Hình tứ diện đều là hình chóp tam giác đều (có cạnh bên bằng cạnh đáy). +Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông. III.Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.: Trong hình lăng trụ dứng thì các mặt bên (và các mặt chéo) là hình chữ nhật. 2.Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ: -Đứng -Có đáy là đa giác đều. Trong hình lăng trụ đều thì các chữ bên là các hình chữ nhật bằng nhau. 3.Hình hộp đứng :là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Trong hình hộp đứng thì: -Hai mặt đáy là hai hình bình hành. -Các mặt bên đối diện là các hình chữ nhật bằng nhau. Hình hộp đều là hình hộp đứng có đáy là hình vuông. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình hộp chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có sáu mặt đều là hình chữ nhật. Hình lập phương: là hình hộp có sáu mặt là sáu hình vuông. BÀI TẬP ÔN TẬP HÌNH HỌC CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC I. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng Bài 1.Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BDC là hai tam giác cân có chung đáy BC.Gọi I