Đề 9 ôn thi Học kì II ­ Toán khối 11

ĐỀ 9 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11  ĐỀ 9  Bài 1 ( 1,75 điểm ) Tìm các giới hạn sau :  a/  4 2  x  lim ( 3 2) x x x ®-¥ - + - +  b/  2  x 2  2 4 5  lim  2  x x  x - ® - + + -  c/  2  x ­  lim ( 4 5 3 2 1) x x x ® ¥ + + + -  Bài 2 ( 1,75 điểm )  a/  Cho  hai hàm số  2 ( ) 2 4 5 y f x x x x = = + +  ,  2 ( ) tan (sin ) y g x x = =  Tính  f ‘(1)  và  g’(0)  b/ Giải  phương trình  y’’= ­36 , biết rằng  y = cos(6 ) 4  x p +  .  Bài 3 ( 1, 25 điểm) Cho hàm số  2  2 5  1  x x  y  x - + = -  .  a/ Tìm các khoảng của x  để y ’ > 0 .  b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng  3.  Bài 4 .  (1 , 25 điểm )  Cho hàm số  3 2 1 ( ) (3 2) 1  3  y f x x mx m x = = - - + -  với   m  là một tham số thực .  a/ Khi  m = 1  , hãy tính  y ''(1) .  b/ Với giá trị nào của  m  thì phương trình  y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  x1 , x2  sao cho ba số  1 2 ,  7  , x x  lập thành một cấp số nhân hữu hạn theo thứ tự đó.  Bài 5 ( 0,75 điểm)  Với giá trị nào của a  thì hàm số  2  4 3  khi  x   3  ( )  3  a + 3x   khi  x  = 3  x x  y f x  x ì - + ¹ ï = = - í ï î  liên tục tại x = 3  Bài 6 ( 2,75 điểm)  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật  tâm O , AB = a ; AD = 2a ; SA  = 2a  SA ^ (ABCD) ( với  a > 0) , M là trung điểm của SD .  a/  Chứng minh rằng : (SAM) ^ (SCD) . Tính AM.  b/  Tính góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) .  c/  Mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng AM và vuông góc với SD . Mặt phẳng (Q) cắt SC tại điểm N .  Chứng minh rằng : Bốn điểm A , M , N, B  đồng phẳng  và MN // (ABCD) .  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và CD .  Bài 7 (0,5 điểm) Gọi  S là tổng các hệ số của đa thức sau :  2 3 99 99 100  99  1 1 1 1  f(x) = 1­ ... ( 1)  2 4 8 2  x x x x x + - + + - +  Hãy so sánh tổng  S với số 2 .  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ·  Học sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài . ·  Giám thị coi thi không giải thích gì thêm . ĐỀ 9 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11  ĐÁP ÁN  ĐỀ 9  Bài  Câu  Nội dung  Điểm  a/  4 2 4  2 3 4 x  3 1 2  lim ( 3 2) lim ( 1 )  x  x x x x  x x x ®-¥ ®-¥ é ù - + - + = - + - + = -¥ ê ú ë û  0,5  b/  2  x 2  2 4 5  lim  2  x x  x - ® - + + = -¥ -  Vì khi  x ® 2 ­  thì (x – 2)  < 0  và  (x – 2) ® 0  và  2  2  lim ( 2 4 5) 8 0  x  x x + ® - + + = >  0.5  1  1,75đ  c/  2 2  2  2 x ­  2 2  4 5 3 4 4 1  lim ( 4 5 3 2 1) lim  4 5 3 (2 1)  2  (9 ) 9 2 9  lim lim  4 5 3 5 3 1  4 (2 1) ( 4 2 )  x  x x  x x x x  x x x  x x x  x x  x  x x x  x x x x x ® ¥ ®-¥ ®-¥ ®-¥ + + - + - + + + - = + + - - + + = = = - + + - - - + + - +  0,25  0,5  a  *  2 ( ) 2 4 5 y f x x x x = = + +  2 2  2  2  2  8  '( ) (2 4 5) ' (2 4 5 )  2 4 5  4  '( ) 2 4 5  4 5  x  f x x x x x x  x  x  f x x x R  x = + + = + + + + = + + + Î +  2  4 4 19 '(1) 2 4.1 5 5  3 3 3  f Þ = + + + = + =  *  2 ( ) tan (sin ) y g x x = =  2  2  (sin ) '  '( ) 2 tan(sin )(tan sin ) ' 2 tan(sin ).  cos (sin )  cos  2 tan(sin ).  cos (sin )  x  g x x x x  x  x  x  x = = =  tan'(0) Þ =  '(0) 0 g =  0,25  0,25  0,25  0,25  2  (1,75đ)  b  y = cos(6 ) 4  x p +  .  ' (cos(6 )) ' 6sin(6 )  4 4  y x x p p = + = - +  '' ( 6sin(6 )) ' 36cos(6 )  4 4  y x x p p = - + = - +  0,25  0,25 ĐỀ 9 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11  '' 36 36cos(6 ) 36 cos(6 ) 1 2  4 4 4  3  +k2    ,  4  y x x x k  x k Z p p p p p p p = - Û - + = - Û + = - Û + = + Û = Π 0,25  a  2  2 2  2  2  2 5  ,   x  1  1  x 2 5 2 3  y'=( ) '  1 ( 1)  ' 0 2 3 0 ( ; 1) (3; )  x x  y  x  x x x  x x  y x x x - + = ¹ - - + - - = - - > Û - - > Û Î -¥ - È +¥  0,25  0,5 3  1,25đ  b  Khi  x = 3 thì  y = 4 .  Ta có điểm M(3 ; 4) thuộc đồ thị hàm số đã cho .  y’(3) = 0  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm M là  y = 0(x – 3) + 4  hay  y = 4  0,25  0,25  4  1,25đ  a  3 2 1 ( ) (3 2) 1  3  y f x x mx m x = = - - + -  Khi  m  = 1  ta có  3 2  2  1  5 1  3  ' 2 5  '' 2 2  ''(1) 0  y x x x  y x x  y x  y = - - - = - - = - Þ =  0,25  0,25  b  3 2  2  2  2  1  ( ) (3 2) 1  3  ' 2 (3 2)  ' 0 2 (3 2) 0  ' 3 2  y f x x mx m x  y x mx m  y x mx m  m m = = - - + - = - - + = Û - - + = D = + +  Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2  khi và chỉ khi  2 ' 0 3 2 0 ( ; 2) ( 1; ) m m m D > Û + + > Û Î -¥ - È - +¥  .  Theo định lí Viet ta có : x1 + x2 = 2m   ; x1x2 = ­(3m + 2)  Ba số  x1  ,  7  , x2  lập thành một cấp số nhân theo thứ tự đó khi và chỉ  khi  2 1 2 . ( 7) 7 3 2 7 3 x x m m = = Û - - = Û = -  .  0,25  0,25  0,25  5  0,75đ  2  4 3  khi  x   3  ( )  3  a + 3x   khi  x  = 3  x x  y f x  x ì - + ¹ ï = = - í ï î  Với x ≠ 3 ta có ĐỀ 9 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11  2  2  3 3  3  4 3  ( )  3  4 3 ( 1)( 3)  lim lim lim( 1) 2  3 3  (3) 9  x x  x  x x  f x  x  x x x x  x  x x  f a ® ® ® - + = - - + - - = - = - - = +  Để hàm số đã cho liên tục tại  x = 3 thì  3  lim ( ) (3) 2 9 7  x  f x f a a ® = Û = + Û =  0,25  0,5  2 a  a  N  O  M  D A  B  C  S  0,25  a  Ta có  CD ^ AD  ( Vì ABCD là hình chữ nhật)  Và  CD ^ SA  ( Vì  SA ^ (ABCD) )  Do đó CD ^ (SAD) .  Vì SA = AD  = 2a nên tam giác SAD cân tại A . Mà  M là trung điểm  của SD nên AM ^ SD .  Lại có AM ^ CD ( vì CD ^ (SAD) )  Vậy  AM ^ (SCD)  Þ (SAM) ^ (SCD).  Tam giác SAD vuông tại A và AM là đường cao nên  2 2 2 2 2 2  2 2  1 1 1 1 1 2  4 4 4  2 2  AM AD SA a a a  AM a AM a = + = + = Þ = Þ =  0,25  0,25  0,25  b  Vì  SA ^  (ABCD)  tại A  , SB cắt (ABCD) tại B nên AB là hình chiếu  vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD).  · · · ( , ( ) ( , ) SB ABCD SB AB SBA = =  Tam giác SAB vuông tại A  nên  · tan  SA SBA  AB =  SA = 2a ; ABCD là hình chữ nhật có AB = a  · ·  0  2  tan 2  63 26 '  SA a  SBA  AB a  SBA = = = Þ »  0,25  0,25  0,25  6  2,75đ  c  Mặt phẳng (Q) cắt (SCD) theo giao tuyến MN .  Theo giả thiết  SD  ^ (Q) nên SD ^ MN  Trong mặt phẳng (SCD) có CD và MN cùng vuông góc với SD nên  CD // MN .  Lại có CD // AB  0,25 ĐỀ 9 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11 Þ MN // AB . Do đó bốn điểm A , B , N , M đồng phẳng .  //  ( ) //( )  ( )  CD MN  CD ABCD MN ABCD  MN ABCD ì ï Ì Þ í ï Ë î  Vì (ABNM) đi qua BM và song song với CD nên khoảng cách giữa BM  và CD bằng khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABNM).  Mà MD ^ (ABNM) tại M  nên  ( , ( )) 2  2  SD  d D ABNM DM AM a = = = =  Vậy  ( , ) 2 d AN CD a =  0,25  0,25  0,25  7  100  100  100 99  1 1  1(1 ( ) ) 1  2 1 5 1 2 2 1 1 (1 ) 1 2  1 3  3 2 3 3.2 1  2 2  S - - - = + = + = - + = - < +  Suy ra  S < 2  0,5