Đề 1 ôn thi Học kì II ­ Toán khối 11

ĐỀ 1 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11  1  ĐỀ 1  ( Thời gian làm bài 90 phút  )  I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )  Câu I ( 2,0 điểm )  1)  Tìm đạo hàm của hàm số  y x 4. 1 x = + -  2)  Giải phương trình :  y' 0 =  Câu II ( 2,0 điểm )  Tìm các giới hạn sau :  1)  n n  n n  3 4  lim  3 4 - +  2)  2 3 7 2  lim  2 2  4 + + ® - -  x x  x  x  Câu III ( 3,0 điểm )  Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,với AC = a ,  · ACB 60 = o .Biết BC’ hợp với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30 o .  1)  Chứng minh rằng : AB (AA'C'C) ^  .  2)  Tính độ dài AC’ và diện tích tam giác ABC .  3)  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC .  II . PHẦN RIÊNG  ( 3 điểm )  Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)  1.Theo chương trình chuẩn :  Câu IV.a  ( 1,0 điểm )  :  Xét tính liên tục của hàm số  3 x    khi x 1 f (x)  x +1  khi x >1 ì ï £ = í ï î  tại điểm  o x 1 =  .  Câu V.a  ( 2,0 điểm )  :  1) Cho hai hàm số  3 2 f (x) x x 2x 1 = - + +  ,  2 g(x) x 3x 1 = - -  . Tìm  u 0  f ''(sin5u) 2  lim  g '(sin3u) 3 ® + +  .  2) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C):  3 y x =  , biết hệ số của tiếp tuyến bằng 3 .  2.Theo chương trình nâng cao :  Câu IV.b  ( 1,0 điểm )  :  Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên dương . Tích của số hạng đầu và  số hạng thứ 3 bằng 1, tích của số hạng  thứ 3 và số hạng cuối bằng  1  36  . Tìm cấp số nhân đó .  Câu V.b  ( 2,0 điểm )  :  1)  Cho hàm số  y 2x =  . Chứng minh rằng : 2xy'' y ' 0 + =  .  2)  Cho M là một điểm có hoành độ x = -1 nằm trên đường cong  3 2 m  1 m 1  (C ) : y x x  3 2 3 = - +  .  Tìm m để tiếp tuyến với  m (C )  tại M song song với đường thẳng (d) : 5x y 0 - =  .  . . . . . . .  .HẾT . . . . . .  . ĐỀ 1 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11  2  HƯỚNG DẪN  I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )  Câu I ( 2,0 điểm )  1) 1đ  Tập xác định : D ( ;1] = -¥  . Ta có :  2  y ' 1  1 x = - -  2)  1đ  2  y ' 0 1 0 1 x 2 0 1 x 2 1 x 4 x 3  1 x = Û - = Û - - = Û - = Û - = Û = - -  (nhận)  Câu II ( 2,0 điểm )  Tìm các giới hạn sau :  1) 1đ  n  n  n  n n  n  n n n  n n  n  3  3 4 ( 1)  ( ) 1 3 4  4 4 lim lim lim 1  3 3 4 3  ( ) 1 4 ( 1)  4 4 - - - = = = - + + +  . Vì  n  3  lim( ) 0  4 =  2)  1đ  2 3 7 2  lim  2 2  4 + + = ® - -  x x  x  x  2 2  ( 2)(3 1) (3 1) 5  lim lim  ( 2)( 2) ( 2) 4 ®- ® - + + + = = - - - + - - x x  x x x  x x x  Câu III ( 3,0 điểm )  1)  1đ  ABC D  vuông tại A có  · ACB 60 = o  nên AB AC.tan60 a 3 = = o  Ta có : AB AC  ( vì  ABC vuông tai A) ^ D &  (1)  Mà AB AA' ( Do ABC.A'B'C' là lăng tru ^ &  đứng )  (2)  Từ (1),(2) suy ra : AB (AA 'C'C) ^  2)  1đ  Vì AB (AA 'C'C) ^  tại A . Suy ra : AC’ là hình chiếu của BC’ trên (AA’C’C)  Do đó : · · (BC',(AA 'C'C)) BC'A 30 = = o  AC'B D  vuông tại A nên  AB  AC' 3a  tan30 = = o  ABC D  là nửa tam giác đều cạnh a , suy ra :  2  ABC  a 3  S  2 =  3)  1đ  Trong  ABC D  vuông tại A , kẻ d0ường cao AI .  Khi đó :  AI BC ^  (3)  Mặt khác : AA' (ABC) AA' AI ^ Þ ^  (4)  Từ (3),(4) suy ra :  d(AA ',BC) AI =  ABC D  vuông tại A , có đường cao AI nên :  2 2 2 2 2 2 2 2  1 1 1 1 1 4 1 5 a a 5  AI  a  5 5 AI AB AC a a a a ( ) 2 = + = + = + = Þ = =  Vậy :  a 5  d(AA',BC) AI  5 = =  II . PHẦN RIÊNG  ( 3 điểm )  Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)  1.Theo chương trình chuẩn :  Câu IV.a  ( 1,0 điểm )  :  Ta có :  + f(1) = 1 ĐỀ 1 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11  3  +  3  x 1 x 1  lim f (x) lim x 1 - - ® ® = =  +  x 1 x 1  lim f (x) lim (x 1) 2 + + ® ® = + =  Do  x 1 x 1  lim f (x) lim f (x) - + ® ® ¹  nên  hàm số không liên tục tại  o x 1 =  Câu V.a  ( 2,0 điểm )  :  1)  1đ  Ta có :  2 f '(x) 3x 2x 2 f ''(x) 6x 2 f ''(x) 2 6x f ''(sin5u) 2 6sin5u = - + Þ = - Þ + = Þ + =  g '(x) 2x 3 g '(x) 3 2x g '(sin3u) 3 2sin3u = - Þ + = Þ + =  .  Khi đó :  u 0 u 0 u 0  sin5u  f ''(sin5u) 2 6sin5u  5u lim lim 5 lim 5  sin3u g '(sin3u) 3 2sin3u  3u ® ® ® + = = = +  2) 1đ  Ta có :  2 y ' 3x =  . Gọi  o x  là hoành độ của tiếp điểm .  Theo đề : Hệ số góc của tiếp tuyến bẳng 3 nên  o 2 2 o o o  o  x 1  y '(x ) 3 3x 3 x 1  x 1 = é = Û = Û = Û ê = - ë  +  o o 1 x 1 (y 1) pttt( ) : y 3(x 1) 1 y 3x 2 = = Þ D = - + Þ = -  +  o o 1 x 1(y 1) pttt( ) : y 3(x 1) 1 y 3x 2 = - = - Þ D = + - Þ = +  2.Theo chương trình nâng cao :  Câu IV.b  ( 1,0 điểm )  :  Gọi cấp số nhân đó là  1 2 3 4 5 u ,u ,u ,u ,u  với công bội q .  Theo đề :  2  1 3  1 1  2 4  3 5  1 1  u .u 1  u .u q 1         (1)  1  1 u .u  u q .u q   (2)  16  16 ì = ì = ï ï Û í í = = ï ï î î  Lấy (2) chia cho (1) theo vế , ta được :  4  1 1  q q  16 2 = Þ = ±  .  Do  1 2 u ,u 0 >  nên  2  1  u  q 0  u = >  nên  1  q  2 =  . Thay vào (1) , ta có :  2 1 1 1 u 4 u 2 (do u 0) = Þ = >  Vậy cấp số nhân là :  1 1 1  2;1; ; ;  2 4 8  .  Câu V.b  ( 2,0 điểm )  :  1) 1đ  Ta có :  2  2  1 y '  y 2x y 2x 2y.y ' 2 y.y ' 1 y ' y ''  y  y - = Þ = Þ = Þ = Þ = Þ =  2 y y '' y ' 0 2xy '' y ' 0 Þ + = Þ + =  2)  1đ  Ta có :  2 y' x mx = - Þhệ số góc tiếp tuyến  y'( 1) 1 m - = +  Hệ số góc của đường thẳng :  d k 5 =  Theo đề : tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) nên : y '( 1) 5 1 m 5 m 4 - = Û + = Û =