Đại số tổ hợp

ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chương I QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM Môn đại số tổ hợp (có sách gọi là giải tích tổ hợp) chuyên khảo sát các hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác định số cách xảy ra một hiện tượng nào đó mà không nhất thiết phải liệt kê từng trường hợp. 1. Trong đại số tổ hợp, ta thường dùng hai quy tắc cơ bản của phép đếm, đó là quy tắc cộng và quy tắc nhân. a) Quy tắc cộng : Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện tượng này không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện tượng kia là : m + n cách. Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thuỷ. Cần chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ? Giải Có : 3 + 2 = 5 cách chọn. Ví dụ 2. Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt. Thực khách cần chọn đúng 1 loại thức uống. Hỏi có mấy cách chọn ? Giải Có : 3 + 4 + 6 = 13 cách chọn. b) Quy tắc nhân : Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra hiện tượng 1 rồi tiếp đến hiện tượng 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra hiện tượng 1 “rồi” hiện tượng 2 là : m × n. Ví dụ 1. Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có 3 loại phương tiện giao thông : đường bộ, đường sắt và đường hàng không. Hỏi có mấy cách chọn phương tiện giao thông để đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội rồi quay về? Giải Có : 3 × 3 = 9 cách chọn. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví dụ 2. Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 uỷ ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có mấy cách ? Giải Có 15 cách chọn chủ tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch và phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký. Vậy có : 15 14 × 13 = 2730 cách chọn. × 2) Sơ đồ cây Người ta dùng sơ đồ cây để liệt kê các trường hợp xảy ra đối với các bài toán có ít hiện tượng liên tiếp và mỗi hiện tượng có ít trường hợp. Chú ý ta chỉ dùng sơ đồ cây để kiểm tra kết quả. Ví dụ. Trong một lớp học, thầy giáo muốn biết trong ba môn Toán, Lý, Hóa học sinh thích môn nào theo thứ tự giảm dần. Số cách mà học sinh có thể ghi là : HT L L H T H T L H L H T L T 3. Các dấu hiệu chia hết – Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. – Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276). – Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4 (ví dụ : 1300, 2512, 708). – Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5. – Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3. – Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8 (ví dụ : 15000, 2016, 13824). – Chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835). – Chia hết cho 25 : số tận cùng là 00, 25, 50, 75. – Chia hết cho 10 : số tận cùng là 0. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví dụ. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 9. Giải Gọi : n = abc là số cần lập. m = a b c′ ′ ′ là số gồm 3 chữ số khác nhau. = m′ 1 1 1a b c là số gồm 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 9. Ta có : tập các số n = tập các số m – tập các số m′ . * Tìm m : có 5 cách chọn a′ (vì a′ ≠ 0), có 5 cách chọn b′ (vì b ), có 4 cách chọn (vì c và ′ ≠ a′ c′ ′ ≠ a′ c′ ≠ b′ ). Vậy có : 5 × 5 × 4 = 100 số m. * Tìm m : trong các chữ số đã cho, 3 chữ số có tổng chia hết cho 9 là {′ }0,4,5 , { }1,3,5 , { }2,3,4 . • Với { }0,4,5 : có 2 cách chọn a1, 2 cách chọn b1, 1 cách chọn c1, được 2 × 2 × 1 = 4 số m′ . • Với { }1,3,5 : có 3! = 6 số m′ . • Với { }2,3,4 : có 3! = 6 số m′ . Vậy có : 4 + 6 + 6 = 16 số m′ . Suy ra có : 100 – 16 = 84 số n. Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy nếu số cách chọn thỏa tính chất p nào đó quá nhiều, ta có thể làm như sau : Số cách chọn thỏa p bằng số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏa p. Người ta còn gọi cách làm này là dùng “phần bù”. Bài 1. Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi : a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B ? b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B ? c) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần ? Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giải a) Có 4 cách đi từ A đến B, có 3 cách đi từ B đến C. Do đó, theo quy tắc nhân, có 4 x 3 = 12 cách đi từ A đến C, qua B. b) Có 12 cách đi từ A đến C, qua B và có 12 cách quay về. Vậy, có : 12 × 12 = 144 cách đi rồi về từ A đến C, qua B. c) Có 4 cách đi từ A đến B, có 3 cách đi từ B đến C; để tránh đi lại đường cũ, chỉ có 2 cách từ C quay về B và 3 cách từ B quay về A. Vậy có : 4 x 3 x 2 x 3 = 72 cách. Bài 2. Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc ? Giải Có 4 cách chọn cho mỗi ngày. Vậy, số cách chọn cho 6 ngày trong tuần là : 46 = 4096 cách. Bài 3. Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm 1 người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu : a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần ? b) Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần ? Giải a) Đêm thứ nhất, chọn 1 trong 12 bạn để đến thăm : có 12 cách. Tương tự, cho đêm thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy. Vậy, có : 127 = 35831808 cách. b) Đêm thứ nhất, chọn 1 trong 12 bạn để đến thăm : có 12 cách. Đêm thứ hai, chọn 1 trong 11 bạn còn lại để đến thăm : có 11 cách. Đêm thứ ba : 10 cách. Đêm thứ tư : 9 cách. Đêm thứ năm : 8 cách. Đêm thứ sáu : 7 cách. Đêm thứ bảy : 6 cách. Vậy có : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách. Bài 4. Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình bắt đầu ở 1 nhà ga và chấm dứt ở 1 nhà ga khác, biết rằng từ nhà ga nào cũng có thể đi tới bất kì nhà ga khác? Giải Nhà ga đi : có 10 cách chọn. Nhà ga đến : có 9 cách chọn. Vậy có : 10.9 = 90 cách chọn. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Bài 5. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau ? Giải a) Có 6 cách chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có 3 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách chọn vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6. Vậy có : 6.3.2.2.1.1 = 72 cách. b) Cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ nhất và chỗ thứ hai, có 2 cách. Tiếp đến, chỗ thứ ba có 2 cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1 cách chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn. Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ hai và chỗ thứ ba. Khi đó, chỗ thứ nhất có 2 cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1 cách chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn. Tương tự khi cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ ba và thứ tư, thứ tư và thứ năm, thứ năm và thứ sáu. Vậy có : 5 ( 2 × 2 × 2 × 1 × 1) = 40 cách. c) Số cách chọn để cặp nam nữ đó không ngồi kề nhau bằng số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để cặp nam nữ đó ngồi kề nhau. Vậy có : 72 – 40 = 32 cách. Bài 6. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau : a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. Đại học Quốc gia TP. HCM 1999 Giải Đánh số các ghế theo hình vẽ Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a) V V Vậy số cách xếp 2 học sinh ngồi cạnh hoặc đối diện phải khác trường là : 12 × 6 × 52 × 42 × 32 × 22 × 12 = 1036800. b) Ghế 1 12 2 11 3 10 4 9 5 8 6 7 Số cách xếp chỗ ngồi 12 6 10 5 8 4 6 3 4 2 2 1 Vậy số cách xếp 2 học sinh ngồi đối diện phải khác là : 12 × 6 × 10 × 5 × 8 × 4 × 6 × 3 × 4 × 2 × 2 = 33177600. Bài 7. Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một khác nhau và : a) gồm 3 chữ số ? b) gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400 ? c) gồm 3 chữ số và chẵn ? d) gồm 3 chữ số và chia hết cho 5 ? Giải Đặt n = abc a) Có 6 cách chọn a, 5 cách chọn b (b ≠ a), 4 cách chọn c (c ≠ a, c ≠ b). Vậy có : 6 5 × 4 = 120 số. × b) Chọn a = 2 hay a = 3, có 2 cách. Sau đó, có 5 cách chọn b (b a), 4 cách chọn c (c a, c ≠ b). ≠ ≠ Vậy có : 2.5.4 = 40 số nhỏ hơn 400. c) Vì n chẵn, có 2 cách chọn c (c = 2 hay c = 6). Sau đó, có 5 cách chọn a (a ≠ c), có 4 cách chọn b (b a, b ≠ ≠ c). Vậy có : 2.5.4 = 40 số chẵn. Ghế 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Số cách xếp chỗ ngồi 12 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 21 53 64 11 12 9 8 7 10 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - d) Vì n chia hết cho 5, có 1 cách chọn c (c = 5). Sau đó, có 5 cách chọn a (a ≠ c), có 4 cách chọn b (b a, ≠ ≠ c). Vậy có : 1.5.4 = 20 số chia hết cho 5. Bài 8. Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau. Đại học Quốc gia Hà Nội Khối G 1997 Giải Gọn n = 1 2 3 4 5a a a a a là số in trên mỗi vé. Số cách chọn a1 là 10 (a1 có thể là 0). Số cách chọn a2 là 9. Số cách chọn a3 là 8. Số cách chọn a4 là 7. Số cách chọn a5 là 6. Vậy số vé gồm 5 chữ số khác nhau : 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30240. Bài 9. Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, ., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, các chữ số 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Đại học Quốc gia TP.HCM 1997 Gọi số cần tìm là n = 1 2 7a a ...a . Số cách chọn a3 là 5 (do a3 chẵn). Số cách chọn a7 là 8 (do a7≠ 0 và ≠ 5). 4 5 6 Số cách chọn a là 10 Số cách chọn a là 9 Số cách chọn a là 8 ⎫⎪⎬⎪⎭ (do a4, a5, a6 đôi một khác nhau). Số cách chọn a1 là 10 (do n là dãy số nên a1 có thể là 0). Số cách chọn a2 là 10. Vậy số cách chọn là : 5 × 8 × 10 × 9 × 8 × 10 × 10 = 2880000. Bài 10. Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 7, 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các chữ số trên. Đại học Y Hà Nội 1997 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giải Gọi số cần tìm n = 1 2 6a a ...a với 1≤ a1 ≤ 5 và a6 lẻ. Đặt X = { }0, 1, ..., 8, 9 • Trường hợp 1 : a1 lẻ a1 ∈ { }1, 3, 5 có 3 cách chọn a6 ∈ { }1, 3, 5, 7, 9 \ { }1a có 4 cách chọn a2 ∈ X\{ }1 6a , a có 8 cách chọn a3 ∈ X\{ }1 6 2a , a , a có 7 cách chọn a4 ∈ X\{ }1 6 2 3a , a , a , a có 6 cách chọn a5 ∈ X\{ }1 6 2 3 4a , a , a , a , a có 5 cách chọn. • Trường hợp 2 : a1 chẵn a1 ∈ { }2, 4 có 2 cách chọn a6 ∈ { }1, 3, 5, 7, 9 có 5 cách chọn. Tương tự a2, a3, a4, a5 có 8 × 7 × 6 × 5 cách chọn. Do đó số các số n thỏa yêu cầu bài toán : (4 × 3 + 2 × 5) x 8 × 7 × 6 × 5 = 36960. Bài 11. Cho X = { }0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ X mà chữ số 1 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Giải Xét 1 hộc có 8 ô trống. Có 7 cách lấy chữ số 0 bỏ vào hộc (do a1≠ 0) Có 7 cách lấy chữ số 2 bỏ vào hộc do còn 7 hộc trống Có 6 cách lấy chữ số 3 bỏ vào hộc do còn 6 hộc trống Có 5 cách lấy chữ số 4 bỏ vào hộc do còn 5 hộc trống Có 4 cách lấy chữ số 5 bỏ vào hộc do còn 4 hộc trống Có 1 cách lấy 3 chữ số 1 bỏ vào hộc do còn 3 hộc trống và 3 chữ số 1 như nhau. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : 7 × 7 × 6 × 5 × 4 = 5880. Bài 12. Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng. a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành. b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành. Đại học Huế 1999 Giải Gọi X = { }0, 1, 2, 3, 4, 5 . Số cần tìm n = 1 2 3 4 5 6a a a a a a . a) a6 ∈ { }1, 3, 5 có 3 cách chọn a1 ∈ X\{ }60, a có 4 cách chọn a2 ∈ X\{ }6 1a , a có 4 cách chọn a3 ∈ X\{ }6 1 2a , a , a có 3 cách chọn a4 ∈ X\{ }6 1 2 3a , a , a , a có 2 cách chọn a5 ∈ X\{ }6 1 2 3 4a , a , a , a , a có 1 cách chọn Số các số lẻ cần tìm : 3 × 4 × 4 × 3 × 2 = 288. b) Số các số gồm 6 chữ số bất kì (a1 có thể bằng 0) là : 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 Số các số gồm 6 chữ số mà a1 = 0 là : 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Vậy số các số gồm 6 chữ số (a1≠ 0) lấy từ X 720 – 120 = 600 Mà số các số lẻ là 288. Vậy số các số chẵn là : 600 – 288 = 312. Cách khác Có 5! Số chẵn với a6 = 0. Có 2.4.4! số chẵn với a6 = 2 hay a6 = 4. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Vậy số các số chẵn thỏa ycbt là 5! + 2.4.4! = 312. Bài 13. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0, 2, 3, 6, 9. Đại học Y Hà Nội 1999 Giải Đặt X = { }0, 2, 3, 6, 9 và n = 1 2 3 4 5a a a a a (a1≠ 0) • Trường hợp a1 lẻ a1 ∈ { }3, 9 có 2 cách chọn a5 ∈ { }0, 2, 6 có 3 cách chọn a2 ∈ X\{ }1 5a , a có 3 cách chọn a3 ∈ X\{ }1 5, 2a , a a có 2 cách chọn a4 ∈ X\{ }1 5 2 3a , a , a , a có 1 cách chọn. Vậy có : 2 3 × 3 × × 2 = 36 số n chẵn. • Trường hợp a1 chẵn a1 ∈ { }2, 6 có 2 cách chọn. a5 ∈ { }0, 2, 6 \{ }1a có 2 cách chọn. Tương tự trên số cách chọn a2, a3, a4 là 3 × 2 × 1 Vậy có : 2 2 × 3 × × 2 = 24 số. Vậy số các số n chẵn là : 36 + 24 = 60 số. Cách 2: Có 4! Số chẵn với a5 = 0. Có 2.3.3! số chẵn với a5 = 2 hay a5 = 6. Vậy số các số chẵn thỏa ycbt là 4! + 2.3.3! = 60. Bài 14. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. Giải Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Gọi n = 1 2 6 7a a ...a a (a1≠ 0). Nếu a1 + a2 + + a6 là một số chẵn để n lẻ thì a7 ∈ { }1, 3, 5, 7, 9 . Nếu a1 + a2 + + a6 là một số lẻ để n lẻ thì a7 ∈ { }0, 2, 4, 6, 8 . Vậy khi đã chọn được a1, a2, a3, a4, a5, a6 thì luôn có 5 cách chọn a7 để tổng các chữ số của n là số lẻ. Mà số cách chọn của các ai (i = 1,6 ) là : a1 a2 a3 a4 a5 a6 Số cách chọn 9 10 10 10 10 10 Do đó số các số n thỏa yêu cầu bài toán là 9 × 105 × 5 = 45 × 105. Bài 15. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Giải Gọi n = 1 2 7a a ...a (a1 0) ≠ Để n chia hết cho 5 thì a7 = 0 hay a7 = 5. • Trường hợp a7 = 0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 Số cách chọn 9 8 7 6 5 4 Vậy có : 9 8 × 7 × 6 × × 5 × 4 số . • Trường hợp a7 = 5 a1 a2 a3 a4 a5 a6 Số cách chọn 8 8 7 6 5 4 Vậy có : 8 8 × 7 × × 6 × 5 × 4 số. Do đó số các số tự nhiên có 7 chữ số mà chia hết cho 5 là : (9 + 8) ×8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 114240. Bài 16. Cho X = { }0, 1, 2, 3, 4, 5 . Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một. b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5. c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9. Đại học Huế 2000 Giải a) Gọi n = 1 2 3 4a a a a (a1 ≠ 0) • Nếu a1 chẵn a1 a4 a2 a3 Số cách chọn 2 2 4 3 • Nếu a1 lẻ a1 a4 a2 a3 Số cách chọn 3 3 4 3 Vậy số các số chẵn có 4 chữ số khác nhau là : 2 × 2 × 4 × 3 + 3 × 3 × 4 × 3 = 48 + 108 = 156. b) Gọi m = 1 2 3a a a (a1≠ 0) • Nếu a3 = 0 a1 a2 Số cách chọn 5 4 • Nếu a3 = 5 a1 a2 Số cách chọn 4 4 Vậy số các số m chia hết cho 5 là : 20 + 16 = 36. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - c) Gọi k = 1 2 3a a a với a1 + a2 + a3 = 9, a1≠ 0 Xét X1 = { }0, 4, 5 X ⊂ a1 a2 a3 Số cách chọn 2 2 1 Xét X2 = { }2, 3, 4 ⊂ X a1 a2 a3 Số cách chọn 3 2 1 Xét X3 = { }1, 3, 5 X ⊂ a1 a2 a3 Số cách chọn 3 2 1 Vậy số các số k chia hết cho 9 là : 4 + 6 + 6 = 16. Bài 17. Cho X = { }0, 1, 2, 3, 4, 5 . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia hết cho 3. Đại học Lâm Nghiệp 1999 Giải Gọi số cần tìm n = 1 2 3a a a (a1 ≠ 0) n chia hết cho 3 a1 + a2 + a3 là bội số của 3. ⇔ • Số các số n bất kì chọn từ X là 5 × 5 × 4 = 100 vì a1 a2 a3 Số cách chọn 5 5 4 • Các tập con của X có 3 phần tử mà tổng chia hết cho 3 là Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - X1 = { }0, 1, 2 , X2 = { }0, 1, 5 , X3 = { }0, 2, 4 , X4= { }0, 4, 5 X5 = { }1, 2, 3 , X6 = { }1, 3, 5 , X7 = { }2, 3, 4 , X8= { }3, 4, 5 Số các số n chia hết cho 3 được chọn từ X1, X2, X3, X4 là : 4 × 2 × 2 × 1 = 16 số. Số các số n chia hết cho 3 được chọn từ X5, X6, X7, X8 là : 4 × 3 × 2 × 1 = 24 số. Vậy số các số n chia hết cho 3 là : 16 + 24 = 40 số. Do đó số các số n không chia hết cho 3 là : 100 – 40 = 60 số. (còn tiếp) PHẠM HỒNG DANH - NGUYỄN VĂN NHÂN - TRẦN MINH QUANG (Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và luyện thi đại học Vĩnh Viễn) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chương II HOÁN VỊ 1. Giai thừa Với số nguyên dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến n. n! = 1.2.3(n – 2) (n – 1)n. Vì tiện lợi, người ta qui ước : 0! = 1. Từ định nghĩa, ta có : n(n – 1) (n – r + 1) = n! (n r)!− và (n – 1)!n = n! Ví dụ : a) 5! = 1.2.3.4.5 = 120; b) 9! 5! = 9.8.7.6 = 3024; c) 3!4 = 4! = 1.2.3.4 = 24; d) (n 2)! (n 3)! + − = (n + 2)(n + 1)n(n – 1)(n – 2). 2. Hoán vị Có n vật khác nhau, sắp vào n chỗ khác nhau. Mỗi cách sắp được gọi là 1 hoán vị của n phần tử. Theo qui tắc nhân, chỗ thứ nhất có n cách sắp (do có n vật), chỗ thứ nhì có n – 1 cách sắp (do còn n – 1 vật), chỗ thứ ba có n – 2 cách sắp (do còn n – 2 vật), , chỗ thứ n có 1 cách sắp (do còn 1 vật). Vậy, số hoán vị của n phần tử, kí hiệu Pn, là : Pn = n(n – 1)(n – 2) × 1 = n! Ví dụ 1. Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau ? Giải Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy có : P3 = 3! = 6 số. (các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321) Ví dụ 2. Trong một lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dò yêu cầu học sinh ghi thứ tự 3 môn Toán, Lý, Hóa đang học theo mức độ yêu thích giảm dần. Hỏi có bao nhiêu cách ghi khác nhau ? Giải Đây là hoán vị của 3 phần tử. Vậy có: P3 = 3! = 6 cách, khi đó có 6 cách ghi là: (T,L,H), (T,H,L), (L,T,H), (L,H,T), (H,T,L), (H,L,T). Ví dụ 3. Có 2 sách toán khác nhau, 3 sách lý khác nhau và 4 sách hóa khác nhau. Cần sắp xếp các sách thành một hàng sao cho các sách cùng môn đứng kế nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp ? Giải Trước tiên, ta sắp theo môn thì có P3 = 3! = 6 cách. Tiếp đến, các sách từng môn đổi chỗ cho nhau, toán có P2 = 2! = 2 cách, lý có P3 = 3! = 6 cách, hóa có P4 = 4! = 24 cách. Vậy, theo qui tắc nhân, có : 6 × 2 × 6 × 24 = 1728 cách. Bài 18. Giải phương trình : x! (x 1)! (x 1)! − − + = 1 6 với x ∈ ¥ * Giải x! (x 1)! (x 1)! − − + = 1 6 6[x! – (x – 1)!] = (x + 1)! ⇔ 6[x(x – 1)! – (x – 1)!] = (x + 1)! ⇔ 6(x – 1)!(x – 1) = (x + 1)x(x – 1)! ⇔ 6(x – 1) = x(x + 1) ⇔ x2 – 5x + 6 = 0 ⇔ ⇔ x 2 x 3 =⎡⎢ =⎣ Nhận do x ∈ ¥ *. Bài 19. Giải bất phương trình : n 4 n n 2 P P .P + + < n 1 15 P − (*) Điều kiện n > 1, n ∈ . ¥ Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ta có : (*) ⇔ (n 4)! n!(n 2)! + + < 15 (n 1)!− ⇔ (n 4)(n 3)(n 2)! n(n 1)!(n 2)! + + + − + < 15 (n 1)!− ⇔ (n 4)(n 3) n + + < 15 n2 + 7n + 12 < 15n ⇔ n2 – 8n + 12 < 0 ⇔ ⇔ 2 < n < 6 Do điều kiện nên n ∈ { }3, 4, 5 . Bài 20. Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử. Chứng minh : a) Pn – Pn-1 = (n – 1)Pn-1 b) 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + + (n – 1)Pn-1 = Pn. Giải a) Ta có Pn – Pn-1 = n! – (n – 1)! = n(n – 1)! – (n – 1)!. = (n – 1)(n – 1)! = (n – 1)Pn-1. b) Từ kết quả trên, ta có : 2 1 1 3 2 2 4 3 3 n n 1 n P P (2 1)P P P (3 1)P P P (4 1)P : : : : : : : : P P (n 1)P− − − = −⎧⎪ − = −⎪⎪ − = −⎪+⎨⎪⎪⎪ − = −⎪⎩ 1 Vậy : Pn – P1 = P1 + 2P2 + 3P3 + + (n – 1)Pn-1 Pn = 1 + P1 + 2P2 + + (n – 1)Pn-1. ⇔ Bài 21. Chứng minh với mọi n∈ : n! ¥ ≤ nn 1 2 +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . Giải Theo bất đẳng thức Cauchy Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 + 2 + 3 + + n ≥ n n 1 2 ... n× × × mà 1, 2, , n tạo một cấp số cộng nên 1 + 2 + 3 + + n = n(n 1) 2 + . Do đó : n(n 1) 2 + ≥ n n n! ⇔ n 1 2 + ≥ n n! ⇔ nn 1 2 +⎛ ⎞⎟ ≥⎜⎝ ⎠ n!. Bài 22. Một tạp chí thể thao định cho ra 22 kì báo chuyên đề về 22 đội bóng, mỗi kì một đội. Hỏi có bao nhiêu cách sao cho : a) Kì báo đầu tiên nói về đội bóng A ? b) Hai kì báo liên tiếp nói về hai đội bóng A và B ? Giải a) Còn lại 21 kì báo cho 21 đội bóng. Đây là hoán vị của 21 phần tử. Vậy có : 21! cách. b) Xem hai đội A và B là một phần tử. Ta có hoán vị của 21 phần tử, có 21! cách. Ngoài ra, trong mỗi cách trên, có thể đổi thứ tự của A và B, có 2 cách. Vậy, có : 2 × 21! cách. Bài 23. Tên 12 tháng trong năm được liệt kê theo thứ tự tuỳ ý sao cho tháng 5 và tháng 6 không đứng kế nhau. Hỏi có mấy cách ? Giải Tên 12 tháng trong năm được liệt kê tùy ý, có : 12! cách. Nếu tháng 5 và tháng 6 đứng kế nhau, ta xem tháng 5 và tháng 6 là một phần tử, ta có hoán vị của 11 phần tử, có 11! cách. Ngoài ra, trong mỗi cách này, thứ tự của tháng 5 và tháng 6 có thể đổi cho nhau, nên có : 2 × 11! cách. Vậy số cách để hai tháng 5 và tháng 6 không đứng kế nhau là : 12! – 2.11! = 10.11! cách. Bài 24. Người ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành 5 chủ đề, mỗi chủ đề gồm 10 câu. Cần sắp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu cùng một chủ đề đứng gần nhau, chủ đề 1 đứng đầu và chủ đề 2, 3 không đứng kế nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp ? Giải Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chủ đề 2, 3 đứng tùy ý : Trước tiên, sắp theo chủ đề, đây là hoán vị của bốn chủ đề 2, 3, 4, 5, có 4! cách. Tiếp đến, sắp các câu trong từng chủ đề, mỗi chủ đề có 10! cách. Vậy có : 4!5.10! cách = 120.10! cách. Chủ đề 2, 3 đứng kế nhau : xem chủ đề 2 và 3 là một phần tử, ta có hoán vị của 3 phần tử (2, 3), 4, 5 hay (3, 2), 4, 5, có : 2.3! cách. Tiếp đến, sắp các câu trong từng chủ đề, có : 5.10! cách. Nên có : 60.10! cách. Vậy số cách sắp theo yêu cầu là : 120.10! – 60.