Cực trị hàm đa thức bậc 3 và bậc 4

CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 VÀ BẬC 4 A. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số: y = f (x) 2. Đạo hàm: 3. Điều kiện tồn tại cực trị y = f (x) có cực trị Û y = f (x) có cực đại và cực tiểu Û có 2 nghiệm phân biệt Û D¢ = b2 - 3ac > 0 4. Kỹ năng tính nhanh cực trị Giả sử D¢ = b2 - 3ac > 0, khi đó có 2 nghiệm phân biệt với và hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là: Trong trường hợp x1, x2 là số vô tỉ thì các cực trị f (x1), f (x2) nếu tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật toán sau đây: Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: hay với bậc Bước 2: Do Hệ quả: Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r(x) Đối với hàm số tổng quát : y = f (x) thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình: II. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Tìm m để hàm số: đạt cực tiểu tại x = -2. Giải: Þ Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì Tìm a để các hàm số ; . có các điểm cực trị nằm xen kẽ nhau. Giải: . Ta cần tìm a sao cho g¢(x) có 2 nghiệm phân biệt và f ¢(x) có 2 nghiệm phân biệt sao cho (*) Ta có: Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng y = ax + b. Giải: Û Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: Với m ¹ 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): Ta có (D) song song với đường thẳng y = ax + b Û Vậy nếu a < 0 thì ; nếu a ³ 0 thì không tồn tại m thoả mãn. Tìm m để có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y = -4x. Giải: Ta có: Û Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): . Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y = -4x thì (D) º (d) Û Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với y = 3x - 7. Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: suy ra Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): Ta có (D) ^ y = 3x - 7 Û Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (D): Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d): . Các điểm cực trị đối xứng nhau qua Û (d) ^ (D) tại trung điểm I của AB (*) . Ta có suy ra (*) Û Bài 7. Cho 1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT. 2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. CMR: Giải: 1. Xét phương trình: Ta có: Nếu (vô lý) Vậy D¢ > 0 "a Þ f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số có CĐ, CT. 2. Theo Viet ta có: Cho hàm số 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1. 2. Gọi các điểm cực trị là x1, x2. Tìm Max của Giải: Ta có: 1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1 có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn: 2. Do Þ (do ) Þ . Với thì Tìm m để hàm số có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất. Giải: Do có nên f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là ; . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: . Do nên Ta có: Þ . Vậy xảy ra Û m = 0. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn . Giải: Ÿ Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û Û (*) Với điều kiện (*) thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: Ta có: Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện . Giải: HS có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û (*) Với điều kiện này thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: suy ra: (thoả mãn (*) ) Vậy để thì B. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 4 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số: y = f (x) 2. Đạo hàm: 3. Cực trị: Xét 4. Kỹ năng tính nhanh cực trị Giả sử f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = x0, khi đó f (x) đạt cực trị tại x0 với số cực trị là . Trong trường hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán: Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: Bước 2: Do f ¢(x0) = 0 nên f (x0) = r(x0) Hệ quả: Các điểm cực trị của hàm bậc 4: y = f (x) nằm trên y = r(x) II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Tìm cực trị của hàm số . Giải: Ta có: ; Do phương trình có 1 nghiệm đơn x = 2 và 1 nghiệm kép x = -1 nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x = 2. Mặt khác suy ra . Vậy hàm số có cực tiểu và không có cực đại. Cho . Tìm m để ¦(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. Giải: ; . Xét các khả năng sau đây: a) Nếu thì Û g(x) ³ 0 . Suy ra f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = 0 mà f ¢¢(0) = 6(m + 1) > 0 "mÎI Þ , tức là hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. x -¥ 0 3 +¥ f ¢ - 0 - 0 + f +¥ CT +¥ b) Nếu thì Û x = 0 nghiệm kép, x = 3. Nhìn bảng biến thiên suy ra: Hàm số y = f (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. x -¥ x1 x2 x3 +¥ f ¢ - 0 + 0 - 0 + f +¥ CT CĐ CT +¥ c) Nếu thì f ¢(x) có 3 nghiệm phân biệt Nhìn bảng biến thiên suy ra: Hàm số y = f (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán. Kết luận: Cho hàm số Chứng minh rằng: "m ¹ -1 hàm số luôn có cực đại đồng thời Ta có: nên g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. x -¥ x1 0 x2 +¥ f ¢ - 0 + 0 - 0 + f +¥ CT CĐ CT +¥ Theo định lý Viet ta có: Þ PT có 3 nghiệm phân biệt 0, x1, x2. Xét 2 khả năng sau: a) Nếu m < -1 thì Þ Þ Bảng biến thiên Nhìn BBT suy ra x -¥ x1 x2 0 +¥ f ¢ - 0 + 0 - 0 + f +¥ CT CĐ CT +¥ b) Nếu m > -1 thì và Þ Þ Bảng biến thiên. Nhìn BBT suy ra Kết luận: Vậy "m ¹ -1 hàm số luôn có Bài 4. (Đề thi TSĐH khối B 2002) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị Giải. Yêu cầu bài toán có 3 nghiệm phân biệt Bài 5. Tìm m để có CĐ, CT lập thành tam giác đều. Giải. . Ta có: . Để hàm số có CĐ, CT Û có 3 nghiệm phân biệt Û m > 0 Þ 3 nghiệm là: Þ 3 điểm CĐ, CT là: x -¥ x1 0 x3 +¥ f ¢ - 0 + 0 - 0 + f +¥ A CT B CĐ C CT +¥ Þ . Để A, B, C lập thành tam giác đều thì Û Bài 6. Chứng minh rằng: Hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT Giải. Xét Û . Xét hàm số có TXĐ: x -¥ x2 +¥ f ¢ - 0 - f +¥ -¥ ; Nghiệm của phương trình cũng là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x). Nhìn bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = m cắt y = g(x) tại đúng 1 điểm Þ có đúng 1 nghiệm. Vậy hàm số y = f (x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu. Bài 7. Chứng minh rằng: Û Giải. Ta có: Û và nghiệm kép x = 0 Do f ¢(x) cùng dấu với (4x + 3p) nên lập bảng biến thiên ta có: f (x) ³ 0 "xÎR Û Û Bài 8. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân Giải. Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt , khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là . Do là hàm chẵn nên YCBT Bài 9. Chứng minh rằng: luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị Bài 10. Chứng minh rằng: Û Bài 11. Cho . Tìm m để ¦(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.