Chuyên đề Toán lớp 9 Đường tròn

CHUYÊN ĐỀĐƯỜNG TRÒNA - ĐẶT VẤN ĐỀB - NỘI DUNGC - KẾT LUẬN I – KIẾN THỨC CƠ BẢNII – BÀI TẬP VẬN DỤNGII – BÀI TẬP TỔNG HỢPĐẶT VẤN ĐỀMôn Toán là một trong những môn học khó đòi hỏi người dạy và người học đều phải có những phương pháp dạy và học phù hợp thì mới đem lại kết quả tốt . Đặc biệt môn Toán 9 là một bộ môn nằm trong chương trình cuối cấp THCS , chính vì thế nó vừa nghiên cứu kiến thức mới vừa mang ý nghĩa tổng hợp các kiến thức của các lớp 6 , 7 , 8 .Phần hình học là một phần của bộ môn Toán mà đa số học sinh rất ngại học phần này vì từ kiến thức đến bài tập khó học và khó tìm ra lời giải .“Đường tròn” là nội dung cơ bản của hình học lớp 9 , tất cả các tính chất hình học , các hình , các phương pháp giải bài tập đều được tích hợp trong bài toán liên quan đến đường tròn . Chính vì thế khi dạy và học đến phần này đòi hỏi giáo viên và học sinh phải biết tổng hợp kiến thức , nắm được các phương pháp giải các loại toán về đường tròn .Để giải quyết vấn đề trên đây , chúng tôi xin đưa ra một số định hướng về việc nghiên cứu giảng dạy và học tập kiến thức về “Đường tròn” để các đồng nghiệp cùng tham khảo , đóng góp ý kiến cho việc giảng dạy của giáo viên và việc học tập của học sinh đạt kết quả tốt hơn .PHẦN 1LÝ THUYẾTTrong một đường tròn , hai dây không bằng nhau , dây lớn hơn khi và chỉ khi dây đó gần tâm hơn .NH÷NG KIÕN THøC C¥ B¶N1 - Sù X¸C §ÞNH Vµ C¸C KIÕN THøC C¥ B¶N CñA §­êng trßnTập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi R gọi là đường tròn tâm O bán kính R , kí hiệu là (O,R) .Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó . Nếu AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao cho góc AMB = 900 . Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng AB/2.Qua 3 điểm A,B ,C không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn và chỉ một mà thôi . Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Trong một đường tròn , đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó . Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó .Trong một đường tròn hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm . Đường tròn bàng tiếp của tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia .NH÷NG KIÕN THøC C¥ B¶N2 -TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßnĐịnh nghĩa : Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có một điểm chung với đường tròn . Điểm đó được gọi là tiếp điểm .Tính chất : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm . Ngược lại , đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến .Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm .Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác đó . Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác của tam giác .NH÷NG KIÕN THøC C¥ B¶N3 -vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng trßnHai đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi tiếp điểm nằm trên đường nối tâm .Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây cung chung và chia dây cung đó ra hai phần bằng nhau .d > R + r ( d CD AB = CD AB OK nên AB < CD Từ bài tập trên chúng ta thấy nếu bán kính đường tròn bằng R và OI = d chúng ta có thể hỏi : - Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua I ? - Tính độ dây dài nhất đi qua I ?Bài 4 : Cho (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn . Hãy dựng cát tuyến MPQ với đường tròn sao cho MP = MQ .BÀI TẬP VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRÒNB) VÍ DỤPhân tích : Giả sử dựng được hình thỏa mãn đề bài . MNOQPIKẻ OI vuông góc với PQ . IP = PQ12MP = MI23Kẻ PN vuông góc MQ và P là giao của đường tròn đường kính MN và (O)MN = MO23MNOQPO’P’Q’Lưu ý : Chứng minh Ax là tiếp tuyến của (O;R) chúng ta làm theo một trong các cách sau : 1) A  (O;R) và góc OAx = 900 . 2) Khoảng cách từ O đến Ax bằng R . 3) Nếu X nằm trên phần kéo dài của EF và XA2 = XE.XF ( xem hình ) . 4) Góc EAX = góc AEF .BÀI TẬP VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾNỨNG DỤNG CỦA TIẾP TUYẾNXEFA- Từ các tính chất của tiếp tuyến , của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chỉ ra được các đường thẳng vuông góc , các cặp đoạn thẳng và các cặp góc bằng nhau ; cũng từ đó ta xây dựng được các hệ thức về cạnh , về góc .- Từ tính chất của tiếp tuyến chúng ta có thể vận dụng vào tam giác tìm ra công thức tính diện tích của đường tròn nội tiếp , đường tròn ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếp tam giác , cũng như bán kính .Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; d là tiếp tuyến của đường tròn tại A . Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E .a)Tính góc DOE .b) Chứng minh : DE = BD + CE .c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R là bán kính đường tròn tâm O )d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE .BÀI TẬP VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾNB) VÍ DỤHướng dẫn chứng minh :a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được :b) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được : DE = DA + EA = BD + ECc) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có : BD.CE = DA.EA .Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác DOE DA.EA = OA2 = R2.d) Trung điểm I của DE là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông DOE . Ta thấy OI là đường trung bình của hình thang vuông BDEC nên OI // BD // CE hay OI  BC hay BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE . AECOBDIBài 2 :Cho hai đường tròn ( O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ các đường kính AOB ; AOC’ . Gọi DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ; D  ( O ) ; E  ( O’) . Gọi M là giao điểm của BD và CE .a) Tính số đo góc DAE .b) Tứ giác ADME là hình gì ?c) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn .BÀI TẬP VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾNB) VÍ DỤHướng dẫn chứng minh :a) Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn đi qua A cắt tiếp tuyến chung DE ở F . Dựa vào tính chất tiếp tuyến ta có FA = FD = FE . Vậy tam giác DAE là tam giác vuông tại A hay góc DAE = 900 .b) Tứ giác ADME vuông tại D,A,E nên nó là hình chữ nhật .c) Từ câu b) AM đi qua trung điểm của DE hay AM trùng với AF nên AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn - Với những bài tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc nhau , ta nên lưu ý đến tiếp tuyến chung của chúng . Nó thường có một vai trò rất quan trọng trong các lời giải .- Với bài tập trên chúng ta có thể hỏi : +CMR : góc OFO’ là góc vuông . +DE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’ . +Các tia AD và AE cắt (O) và (O’) ở H ; K . Chứng minh : SAHK = SADE .ABCDEFOO’MBài 3 : Gọi a , b, c là số đo 3 cạnh của tam giác ABC , r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác . Tính diện tích tam giác theo p và r , trong đó p là nửa chu vi tam giác . BÀI TẬP VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾNB) VÍ DỤHướng dẫn :Gọi D , E , F là các tiếp điểm .Từ bài tập trên hãy tính :-Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác vuông , tam giác đều theo các cạnh của tam giác .-Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo các cạnh a , b, c của tam giác .IABCEFDTheo tính chất tiếp tuyến : ID = IF = IE = r .Nên : SABC = SABI + SBCI + SACI = ½.( a + b + c).r = prHay S = pr .Bài 1 : Cho A là một điểm cố định trên đường tròn (O) và M là một điểm di động trên đường tròn đó . N là giao của AM với đường kính cố định BC . Chứng minh giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN là cố định . BÀI TẬP CÁC GÓC TRONG ĐƯỜNG TRÒNHướng dẫn chứng minh :Kẻ DA // BC . Kẻ đường kính DP . CBOADPMNTa dễ thấy : ( cùng bằng góc A ) .Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN đi qua P  (O) cố định Nhận xét :Trong bài này P còn là góc nội tiếp của hai đường tròn nên nó đóng vai trò đại lượng trung gian để chứng minh những góc bằng nhau . Kĩ năng này còn được gặp lại khá thường xuyên BÀI TẬP CÁC GÓC TRONG ĐƯỜNG TRÒNHướng dẫn chứng minh :a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường tròn , ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC nên AI  BC .c) Góc BAC = 600  Góc DBE = 300 chắn cung DE Số đo cung DE = 600  Góc DOE = 600 mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE là tam giác đều .Bài 2 : Cho tham giác ABC có 3 góc nhọn . Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự ở D , E . Gọi I là giao điểm của BE và CD . a) Chứng minh : AI  BC b) Chứng minh : c) Chứng minh : Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE là tam giác đều b) Góc IAE = EBC góc có cạnh tương ứng vuông góc .Góc EBC = EDC cùng chắn cung EC .Từ hai điều trên suy ra điều chứng minh EBCDAIOBÀI TẬP CÁC GÓC TRONG ĐƯỜNG TRÒNHướng dẫn chứng minh :a) AD là phân giác hai cung AE và CE bằng nhau .Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh được BE vừa là phân giác vừa là đường cao của tam giác ABD , nên ABD cân đỉnh B.Từ bài tập trên có thể ra các câu hỏi khác :- Chứng minh OE  AC .- Tìm vị trí của C trên cung AB để ABD đềuBài 3 : Cho đường tròn (O) đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn . Điểm C thuộc nửa đường tròn cùng nửa mặt phẳng với Ax với bờ là AB. Phân giác góc ACx cắt đường tròn tại E , cắt BC ở D .Chứng minh : a) Tam giác ABD cân . b) H là giao điểm của BC và DE . Chứng minh DH  AB . c) BE cắt Ax tại K . Chứng minh tứ giác AKDH là hình thoi .b) Dựa vào góc chắn nửa đường tròn .Ta thấy H là trực tâm của ABD nên DH  AB. ABCDKEHOc) Ta thấy KE = HE (vì AKH cân đỉnh A) và AE = DE ( ABD cân đỉnh B) và ADKH , nên tứ giác AKDH là hình thoi .BÀI TẬP CÁC GÓC TRONG ĐƯỜNG TRÒNBài 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) .Chứng minh rằng :Hướng dẫn chứng minh :a) Kẻ đường kính AA’lúc đó ACA’ vuông tại C .Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông và góc nội tiếp chắn cùng một cung ta có :b = AA’. SinAA’C = 2R.SinA= 2R.SinBHay R = b/2SinB .Chứng minh tương tự b) Ta thấy hai tam giác vuông AHB và ACA’ đồng dạng nên Từ bài tập trên hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông , tam giác đều .ABCA’HOabcBÀI TẬP TỔNG HỢPTrong phần I , chúng ta đã làm quen dần với các dạng toán tương ứng với những kiến thức cơ bản của đường tròn .Trong phần II này , chúng ta sẽ nâng cao kĩ năng giả toán trên những bài tập tổng hợp của những dạng toán trên .II - BÀI TẬP TỔNG HỢPCác câu hỏi thường gặp trong các bài toán hình II - BÀI TẬP TỔNG HỢP1 - Chứng minh : Nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn (đặc biệt là 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp ) .2 - Chứng minh hai đường thẳng song song , vuông góc với nhau .Trong các câu hỏi trên tùy theo từng bài mà ra các câu hỏi sao cho có sự logic giữa các câu thứ nhất , thứ hai và các câu sau . Thông thường kết quả của các câu trên bao giờ cũng là giả thiết để chứng minh câu dưới, đôi khi cần vẽ thêm hình thì bài toán trở lên đơn giản hơn .9 - Toán các đại lượng hình học : Đoạn thẳng , cung ,góc , chu vi , diện tích 8 - Toán cực trị hình học .7 - Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt .6 - Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn , tiếp tuyến chung của hai đường tròn .4 - Nhận biết hình là hình gì ? ( có thể là tam giác cân , hình bình hành , hình thoi , hình chữ nhật , hình thang cân ) . Lưu ý : Khi chứng minh tứ giác là hình thang cân không được chứng minh là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau .3 - Chứng minh đẳng thức hình học .5 - Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ; 3 hay nhiều điểm thẳng hàngII - BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 1 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By . Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F . 1) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp . 2) AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q . Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao ? 3) Kẻ MH  AB ( H  AB) . Gọi K là giao của MH và EB . So sánh MK và KH. ABFEMOPQKHHướng dẫn chứng minh :1) EAO = EMO = 900 . Nên AEMO là tứ giác nội tiếp .2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có MPO = MQO = 900 và PMQ = 900 nên PMQO là hình chữ nhật .3) EMK  EFB (g.g)  mà MF = FB  EAB  KHB (g.g)  mà (Talet)  Vì EM = EA  MK = KH II - BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 2 : Cho (O) cắt (O’) tại A và B . Kẻ cát tuyến chung CBD  AB ( C ở trên (O) và D ở trên (O’).) 1 - Chứng minh A , O , C và A ,O’, D thẳng hàng . 2 - Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo thứ tự tại I và K . Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp . 3 - Chứng minh BA , CK và DI đồng quy .CDBGKIOO’AHướng dẫn chứng minh :1) CBA = DBA = 900 nên AC và DA là đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng hàng .2) Từ câu 1) và dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta thấy K , I cùng nhìn CD dưới một góc vuông nên tứ giác CDIK nội tiếp 3) A là trực tâm của tam giác ADG có AB là đường cao hay BA đi qua G .II - BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A,B . Các đường AO và AO’cắt đường tròn (O) lần lượt tại C và D , cắt đường tròn (O’) lần lượt tại E , F . a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng .b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp .c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE .d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) EDCBO’AOHướng dẫn chứng minh :a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng b) D, E cùng nhìn CF dưới một góc vuông nên CDEF nội tiếp .FGiả sử DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ta có OO’ // CE cùng vuông góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy ra : AOO’ = ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1) . DE là tiếp tuyến thì DE vuông góc với OD và O’E (2)Vậy ODEO’ là hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường tròn có bán kính bằng nhau )c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ đó suy ra EDF = ADB . Hay DE là phân giác góc D của BDE . Tương tự EC là phân giác góc E của BDE . Hai phân giác cắt nhau tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp BDE .II - BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 4 : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động . Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại B . Đường thẳng d cắt các đường thẳng AC , AD theo thứ tự tại P và Q . a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp một đường tròn .b) Chứng minh AD. AQ = AC.AP .c) Tứ giác ADBC là hình gì ? Tại sao ?d) Xác định vị trí của CD để SCPQD = 3.SACDABQDCOPdHướng dẫn chứng minh :a) CPB = CDA ( cùng bằng CBA) nên CPB + CDQ = 1800. b) ADC APQ (g.g) suy ra AD.AQ = AC.AP c) Tứ giác ADBC là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông. d) Để SCPQD = 3.SACD  SADC = ¼ SAPQ tức là tỉ số đồng dạng của hai tam giác này là ½ . Suy ra AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông tại B nên C là trung điểm của CP  CB = CA hay ACB cân  CD  AB .II - BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 5 : Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó .Gọi E là trung điểm của dây CD . Chứng minh 5 điểm S ,A , E , O , B cùng nằm trên một đường tròn . Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì ? Tại sao ?c) Chứng minh AC . BD = BC.DA = ½ AB.CDHướng dẫn chứng minh :a) A,E,B cùng nhìn SO dưới một góc vuông nên SAEOB nội tiếp đường tròn đường kính SO. SODACBEKb) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên tứ giác SAOB là hình vuông .c) SAC SDA  SCB SBD  Mà SA = SB  AC.BD = AD.BC (1) .Trên SD lấy K sao cho CAK = BAD lúc đó CAK BAD (g.g)  AC.DB = AB.CKBAC DAK (g.g)  BC.AD = DK.ABCộng từng vế ta được AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2)Từ (1) và (2) suy ra : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CDVậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD . II - BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 6 : Cho tam giác ABC vuông ở A . Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D . Trên cung AD lấy một điểm E . Nối BE và kéo dài cắt AC tại F .a) Chứng minh CDEF nội tiếp .b) Kéo dài DE cắt AC ở K . Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N . Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q .Tứ giác MNPQ là hình gì ?Tại sao ?c) Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC , ADB , ADC . Chứng minh : r = r12 + r22 ABKFQNDEPMHướng dẫn chứng minh :Dựa vào số đo cung ta thấy : C = DEB  C + DEF = 1800 Cb)BED BCQ ( g.g)  BPE = BQC  KPQ = KQP hay KPQ cân .CNK MK  EMK = CNK  BMN = BNM hay BMN cân .  MN  PQ và MN cắt PQ là trung điểm của mỗi đường . Nên MNPQ là hình thoi.c) ABC DAB DAC    r2 = r12 + r22  II - BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 7 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) . Hạ các đường cao AD , BE của tam giác . Các tia AD , BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M , N . Chứng minh rằng :a) Bốn điểm A , E , D , B nằm trên một đường tròn . TÌm tâm I của đường tròn đó .b) MN // DE .c) Cho (O) và dây AB cố định , điểm C di chuyển trên cung lớn AB . Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi .Hướng dẫn chứng minh :a) E,D cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp trong một đường tròn đường kính AB có I ( trung điểm của AB ) là tâm ANCIBMDEOKHb) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE )mà ABE = AMN ( chắn cung AN )nên ADE = AMN hay DE // MN .Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K ( trung điểm của HC) đây cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE  KD = KE và ID = IE nên IK  DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình bình hành  KC = OI không đổi .c) Kẻ thêm hình như hình vẽ . Dựa vào góc nội tiếp của tứ giác AEBD suy ra được CN = CM nên OC  MM  OC  DE II - BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 8 : Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O,R) a) Tính theo chiều R độ dài cạnh và chiều cao của ABC .b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC ( M  B,C ) Trên tia đối của MB lấy MD = MC . Chứng tỏ MCD đều .c) CMR : M di động trên cung nhỏ BC thì D di chuyển trên một đường tròn cố định , xác định tâm và các vị trí giới hạn .d) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S = MA + MB + MC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất của S theo R .BACIEOMDHHướng dẫn chứng minh :a) AB = AC = BC = R và b) Có MC = MD ( gt)sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 3600 : 3).2 = 1200 . CMD = 600 . Vậy CMD đều c) IMC = IMD ( c.g.c)  IC = ID . Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D chạy trên đường tròn ( I ; IC ) Khi M  C  D  C ; M  I  D  E .d) ACM = BCD ( g.c.g )  AM = BD  S = MA + MB + MC = 2.AM  2.AI  S  4R . S Max= 4R khi AM là đường kính .II - BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 9 : Cho ABC ngoại tiếp (O) . Trên BC lấy M , trên BA lấy N , trên CA lấy P sao cho BM=BN và CM = CP . Chứng minh rằng :a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP .b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn .c) Tìm vị trí M , N , P sao cho độ dài NP nhỏ nhất .Hướng dẫn chứng minh :a) Từ tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và giả thiết suy ra :DN = EM = FP  ODA = OEM = OFP ( c.g.c )ON = OM = OP hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNPABCDPFEMNOOb) Từ câu a) suy ra OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp Hc) Kẻ OH  NP .Có NP = 2 .NH = 2. NO .cosHNO = 2.NO.Cos(A/2) = 2.OE .Cos (A/2) .Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) .Khi đó M , N , P trùng với các tiếp điểm ..II - BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 10 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a . Lấy AE = a trên cạnh AD và DF = a trên cạnh DC . Nối AF và BE cắt nhau ở H .a)Chứng minh : AF  BE .b)Tính cạnh của tứ giác ABFE và đường chéo của nó theo a .c)Tính theo a đoạn HE , HB .d)Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn . Đường tròn ấy cắt BF ở K . Tính theo a đoạn BK . Nhận xét gì về 3 điểm E , K ,C .ABCDFEHKHướng dẫn chứng minh :a) ADF = BAE DAF = EBA  BE  AF b) Pitago : BE = AF = a ; EF = a ; BF = a c) Dùng hệ thức lượng d) Dựa vào tổng 2 góc đối bằng 1800 nên EDFH nội tiếp.BEK BFH  e) Dựa vào vuông góc : E , K , C thẳng hàng Trên đây là một số định hướng nhằm giải quyết một số vấn đề về “Đường tròn’’ . Vì thời gian có hạn dung lượng kiến thức rộng lớn nên chuyên đề không thể tránh khỏi những khiếm khuyết . Rất mong các bạn đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu , góp ý bổ sung để cho chuyên đề đạt hiệu quả cao hơn , có tính thiết thực hơn , góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ở các nhà trường .