Chuyên đề Số thực

CHUYÊN ĐỀ SỐ THỰC Mục tiêu 1. Kiến thức Nắm được số thực là tên gọi chung cho cả số hữu tỷ vá số vô tỷ. Biết được cách biểu diễn thập phân của số thừc, hiểu được ý nghĩa của trục số thực. Thấy được sự phát triển của hệ thống số từ N Z Q R. Thấy được sự cần thiết phải mở rộng tập số hữu tỷ. 2. Kỹ năng Có được kỹ năng thực hiện các phép toán trên tập số thực, so sánh 2 số thực. 3. Thái độ - Học sinh có thái độ tích cực trong học tập, cẩn thận trong tính toán khi giải các bài tập về số thực. Nội dung Nhu cầu hình thành tập hợp số vô tỷ. Xét bài toán: Cho bức tranh hình vuông ABCD có cạnh bằng 1m. Tìm đường chéo của bức tranh đó. Giải Gọi x(m) (x>0)là độ dài đường chéo của bức tranh. + Ta có diện tích của bức tranh hình vuông ABCD là 1=1m D A S= 2.S = 2..AI.BD I = AI.BD C B =.x.x =. =1 x=2. Người ta đã chứng minh được rằng không có số hữu tỷ nào mà bình phương bằng 2 và đã tính được x = 1,4142135623730950488016887… Số này là một số thập phân vô hạn mà ở phần thập phân của nó không có một chu kỳ nào cả. Đó lạ một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ta gọi những số như vậy là số vô tỷ. Kí hiệu tập hợp số vô tỷ: I Khái niệm số thực. Ví dụ về số trong các tập hợp số mà ta đã được học: -2; 2; ; -0,234; -3; ; ; 2,34… Trong đó: -2 Là số nguyên âm. 2 Là số tự nhiên. Là phân số. -0,234 Là số thập phân. -3 Là hỗn số. ; ; 2,34 Là số vô tỷ. Tất cả các số này được gọi chung là số thực, và người ta đưa ra khái niệm về số thực như sau: Khái niệm: Số hữu tỉ và số vô tỷ được gọi chung là số thực. Kí hiệu số thực: R. R Nhận xét: Vậy tất cả các tập hợp số đã học: N, Z, Q, I đều là tập con của tập R. Ngoài ra, người ta còn biểu diễn mối quan hệ giữa các tập hợp số bằng sơ đồ ven như sau: Z Q N Lưu ý: Nếu nói đến một số nào đó mà không chỉ rõ gì thêm thì sẽ được hiểu là nói đến một số thực. Quan hệ trên tập hợp số thực R. Với hai số x, y bất kỳ, ta luôn có hoặc x = y hoặc x y. Vì tập hợp các số thực bao gồm các số hữu tỉ và các số vô tỷ nên có thể nói: Nếu a là số thực thì a biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. khi đó ta có thể so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân. Ví dụ: 0,3192…< 0,32(5) 1,24598…> 1,24596… 4. Các phép toán trên tập hợp số thực R. Khi thực hành tính toán với các số thực, ta thường tính trên các số hữu tỉ biểu thị giá trị gần đúng của chúng với độ chính xác tùy theo yêu cầu quy định. 7,1325415152451… +1,45625542…=? Chính xác đến chữ số thập phân thứ tư. 7,1325415152451… +1,45625542…= 8,58879693…=8,5888. (-1,12) x 1,55 chính xác đến chữ số thập phân thứ hai. ( -1,12) x 1,55= -1,7360=-1,74 Tương tự với phép trừ và phép chia. a) Phép toán lũy thừa. Chú ý: Trong so sánh, tính toán về số thực thì các số hữu tỉ và các căn số nói riêng, các số vô tỉ nói chung là bình đẳng với nhau, với mục đích đó, có thể đưa ra các bài tập so sánh, tính toán. Trong đó có cả số vô tỷ và hữu tỷ. Các tính chất trên tập hợp số thực. Có các tính chất tương tự như trong Q: Phép cộng: Tính chất giao hoán: a +b = b + a Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c) Cộng một số với số 0: a + 0 = 0 Phép nhân: Tính chất giao hoán: a .b = b .a Tính chất kết hợp: (a .b) .c = a.(b .c) T Tính chất phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng. a.(b + c) = a.b + a.c Đặc biệt: Nhân một số với 1 : a.1=1.a=a Nhân một số với 0 : a.0=0.a=0 5. Trục số thực. Từ bài toán: Cho bức tranh hình vuông ABCD có cạnh bằng 1m. Tìm đường chéo của bức tranh đó. Qua đó, ta có thể biểu diễn số trên trục số như sau: 4 3 2 1 0 -1 -2 - Nhưng không phải là số hữu tỉ mà là số vô tỉ. Điều đó chứng tỏ rằng không phải mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số hữu tỉ, nghĩa là các điểm biểu diễn số hữu tỉ không lấp đầy trục số. Người ta chứng minh được rằng: - Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. - Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực. Như vây, có thể nói rằng các điểm biểu diễn số thực đã lấp đầy trục số. Vì thế, trục số còn đuợc gọi là trục số thực. BÀI TẬP Dạng 1: Bài tập so sánh Phương pháp giải: Bài 1: So sánh a) và b) -0,2673 và -0,367(3) c) 1,(2357) và 1,2357 d) 0,(428571) và Giải a) 2,(15) > 2,(14) b) -0,2673 > -0,267(3) c) 1,(2357) > 1,2357 d) 0,(428571) = Bài 2 Sắp xếp các số thực sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: -1,75; -2; 0; ; ; ; Giải -2 < -1,75 < 0 < < < < 2. Dạng 2: Bài tập tính toán Phương pháp giải: Bài 1: Tính nhanh a) b) Giải a) = b) = Bài 2: Tính giá trị của biểu thức Giải = = 3. Dạng 3: Bài toán tìm x Phương pháp giải: Bài1: Tìm biết: a) b) Giải a) b) Bài 2: Tìm a) b) Giải a) bình phương hai vế ta được: đáp số: b) bình phương hai vế ta được: Đáp số: Bài 3: Cho biểu thức: tìm để cho M nhận giá trị nguyên. Giải Điều kiện Để M có giá trị nguyên thì là số chính phương và là số lẻ. giá trị có thể nhận là: 1; 9; 25; 49 Dạng 4: Trắc nghiệm Phương pháp giải: Ví dụ: Mỗi biểu thức X, Y, Z sau đây được cho ba giá trị A, B, C trong đó chỉ có một giá trị đúng. Hãy chọn giá trị đúng ấy: a) A = 72; B = 12; C = -12 b) A = ; B = 8; C = 4 c) A = 2+6+9; B = ; C = 11 Giải B C C Dạng 5: Chứng Minh Phương pháp giải Bài 1: Chứng minh rằng số: x = là một số hữu tỉ. Giải Xét x = 6 – 5x, hay x + 5x – 6 = 0 Suy ra x là nghiệm của đa thức x + 5x – 6 (2) Ta có x + 5x – 6 = vì đa thức bậc hai không có nhiệm nên x = 1 là nghiệm thực duy nhất của đa thức (2) Kết luận : x = 1 là một số hữu tỉ. Bài 2: chứng minh rằng số a = là số vô tỷ. Giải: Xét , hay: Suy ra a là nghiệm của đa thức : (3) Số a không phải là số hữu tỷ, vì giả sử ngược lại a là số hữu tỉ thì theo hệ quả 2, a phải là số nguyên. Dễ thấy 2<<4, tức là 2<a<4. suy ra a = 3. nhưng 3 lại không phải là nghiệm của đa thức (3). Vô lý… Điều vô lý chứng tỏ là số vô tỷ Bài 3: Chứng minh rằng số là số vô tỷ. Giải: Giả sử ngược lại c là số hữu tỉ, ta có . Suy ra là một sô hữu tỉ, điều này vô lý, suy ra giả sử là sai. Vậy: số đó chính là số vô tỷ.