Chuyên đề Phương pháp giải hệ phương trình lượng giác

Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 1 PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Hệ phương trình lượng giác là một trong những dạng bài tập khó trong chương trình toán trung học phố thông. Để giải quyết được những bài toán thuộc dạng này đòi hỏi học sinh không chỉ nắm chắc các công thức lượng giác, các phương pháp giải phương trình lượng giác mà còn phải thành thạo các phương pháp giải hệ phương trình đại số và có kỹ năng nhận dạng bài tập tốt để tìm ra phương pháp giải cho từng bài tập cụ thể. Có hai dạng hệ phương trình lượng giác thường gặp: - Hệ phương trình lượng giác 1 ẩn. - Hệ phương trình lượng giác nhiều ẩn. Với hệ phương trình lượng giác một ẩn số phương pháp giải thông thường là ta tìm nghiệm của một phương trình trong hệ và thử vào các phương trình còn lại. Sau đó kết luận nghiệm. Với hệ phương trình lượng giác nhiều ẩn ta có thể giải theo các cách sau:  Giải hệ bằng phép thế.  Giải hệ bằng phương pháp cộng.  Giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ.  Giải hệ không mẫu mực. I. Giải hệ bằng phép thế Nhận dạng hệ phương trình lượng giác giải bằng phương pháp thế  Hệ phương trình bao gồm cả phương trình lượng giác và phương trình đại số.  Hệ phương trình có nhiều phương trình phức tạp nhưng ta có thể tìm được nghiệm của một phương trình trong hệ. Cách giải - Từ một phương trình trong hệ ta biểu diễn được ẩn này theo ẩn kia hoặc biểu thức chứa ẩn này theo ẩn kia. - Thế vào phương trình còn lại trong hệ được phương trình chỉ chứa một ẩn. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:     sin sin 1 1 2 3 x y x y          Giải Cách 1 Ta có    2 * 3 y x     . Thế vào phương trình (1) của hệ ta được : sin sin 1 3 x x         Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 2       3 1 sin cos sin 1 2 2 1 3 sin cos 1 2 2 sin .cos os sin 1 3 3 sin 1 2 3 3 2 2 ** 6 x x x x x x c x x x k k x k k                                    Thế (**) vào (*) ta được  2 .6 y k k     Vậy nghiệm của hệ phương trình là   2 6 . 2 6 x k k y k             Cách 2 Hệ phương trình đã cho tương đương với   2sin .cos 1 2 2 3 2sin .cos 1 cos 1 6 2 2 33 42 2 3 3 2 6 . 2 6 x y x y x y x y x y x yx y x y x y kk x y x y x k k y k                                                          Vậy nghiệm của hệ phương trình là   2 6 . 2 6 x k k y k             Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 3 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: sin sin 2 cos cos 2 x y x y       Giải Hệ đã cho tương đương với         sin cos sin cos 0 sin cos sin cos 2 2 2 sin 2 sin 0 4 4 2 sin 2 sin 2 2 4 4 sin sin 0 sin 4 4 sin 1 4 sin 1 4 x x y y x x y y x y x y x y x x y                                                                                             sin 0 4 4 2 4 2 2 4 2 2 4 ; . 2 4 y x k y h x h h k y k                                               Vậy nghiệm của hệ phương trình là   2 6 . 2 6 x k k y k             Ví dụ 3. Giải và biện luận hệ phương trình:       8cos cos cos 1 0 1 2 x y x y x y a        Giải Ta có              2 1 4 os os cos 1 0 4cos 4cos .cos 1 0. c x y c x y x y x y x y x y                 Đặt   cos 1 1 ;t x y t     vì x y a  nên phương trình trên trở thành   2 2 2 4 4 .cos 1 0 4cos 4 4 cos 1 . t t a a a         Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 4 Dễ thấy phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi cos 1.a  ta xét hai trường hợp TH1.  cos 1 2a a k k    suy ra   1 5 cos 2 . 2 6 t x y x y k           Khi đó ta có hệ phương trình 2 3 2 3 . 3 2 a x k x y k a x y a y k                           TH2.  cos 1 2a a k k       . Giải tương tự ta được nghiệm của hệ phương trình là 6 2 . 6 2 a x k a y k                 Kết luận  Với  2a k k  ; hệ phương trình có nghiệm là 3 2 . 3 2 a x k a y k                  Với  2a k k    ; hệ phương trình có nghiệm là 6 2 . 6 2 a x k a y k                 Bài tập vận dụng Câu 1. Giải hệ phương trình: 2cos 1 0 3 sin 2 2 x x       ĐS:  2 . 3 x k k     Câu 2. Giải hệ phương trình: tan tan tan tan 1 cos2 3 cos2 1 x y x y y x        ĐS:     5 6 ; . 6 x h k h k y h              Câu 3. Giải hệ phương trình:  sin sin sin 1 x y x y x y        ĐS: 1 1 1 1 ; ; ; 2 2 2 2                     1;0 ; 1;0 ; 0;1 ; 0; 1  II. Giải hệ bằng phƣơng pháp cộng Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:     1 sin .cos 1 2 tan .cot 1 2 x y x y       Giải Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 5 Cách 1 ĐK: cos .sin 0.x y  Ta có   sin .cos 2 1 sin .cos cos .sin . cos .sin x y x y x y x y     Thế (1) vào (2) ta được hệ sau     1 sin .cos 3 2 1 cos .sin 4 . 2 x y x y         Lấy từng vế phương trình (3)+(4) và (3)-(4) ta được hệ sau               sin 1 sin 0 2 2 2 4 2 ; 2 4 2 x y x y x y k k x y h h x k h h k y k h                                        Cách 2 Hệ phương trình đã cho tương đương với                       1 1 sin sin 2 2 sin .cos 1 0 cos .sin sin sin 1 sin cos sin cos 0 sin sin 1 sin 0 sin 1 2 2 sin 0 2 4 2 2 . 4 2 x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y x y x y x y k x y x y h x k h y k h                                                                      ;h k     Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:     3 3 os cos sin 0 1 sin sin cos 0 2 c x x y x y x         Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 6 Giải Lấy (1) + (2) ta được 3 3sin os 0x c x      3 3 3 sin os tan 1 tan 1 * . 4 x c x x x x k k                 Từ (1) ta có:  3 2 2 sin cos - cos cos 1- cos 1 cos .sin sin 2 .sin . 2 1 sin - .sin - 2 2 4 1 - sin - 2 4 2 nêu 2 ; 4 = 2 - nêu 2 1; 4 y x x x x x x x k k k l l Z k l l Z                                       Đặt 2 sin 4   (với 0 2   ). Ta có nghiệm của hệ phương trình là  2 , 2 1 , 4 4 2 , 2 , 2 , 2 , . x l l x l l y h h y h h y h h y h h                                                   Bài tập vận dụng Câu 1. Giải hệ phương trình: 2 cos 1 cos 2 sin sin x y x y      ĐS:  2 ; 2 , 4 2 x m y l m l            2 ; 2 1 , 4 2 x m y l m l           Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của a để hệ sau có nghiệm và giải hệ đó: 2sin cos2 1 cos sin 2 x y a x y a      ĐS: 0a  Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 7 2 ; 2 1 2 , 2 2 2 , 2 2 2 , 2 x m y n x k y l x l y k x m y k                                   III. Giải hệ bằng ẩn phụ Mục đích của phương pháp này là chuyển hệ phương trình lượng giác về hệ phương trình đại số giúp cho lời giải bài toán ngắn gọn và dễ dàng hơn. Cách giải - Đặt ẩn phụ thích hợp tìm điều kiện cho ẩn phụ. - Chuyển hệ phương trình về ẩn mới; giải hệ phương trình và so sánh điều kiện nếu có. - Tìm nghiệm của hệ phương trình theo hệ thức đã đặt Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: 2 3 tan tan 3 2 3 cot cot . 3 x y x y          Giải Đặt tan ; tan ;X x Y y  hệ đã cho trở thành 2 2 3 2 3 3 3 1 1 2 3 2 3 . 3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 1 1 0 3 13 31 3.3 X Y X Y X Y X Y XY X Y X Y XY X X X X Y Y                                                   Nên hệ đã cho tương đương với Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 8 1tan 3 tan 3 1 tan tan 3.3 , ; 3 6 , . , 6 3 x x y y x k k x k k y h h y h h                                              Ví dụ 2. Cho hệ phương trình: 1 sin sin 2 os2 os2 x y c x c y m        a. Giải hệ khi 1 . 2 m   b. Tìm m để hệ có nghiệm. Giải Hệ đã cho tương đương với       2 2 2 2 2 1 sin sin 2 1 2sin 1 2sin 1 sin sin 2 2 sin sin 2 1 sin sin 2 sin sin 2sin .sin 1 2 1 sin sin 2 1 2sin .sin 1 4 2 1 sin sin 2 3 sin .sin . 8 4 x y x y m x y m x y x y m x y x y x y m x y x y m x y                                                   Đặt sin ; sinX x Y y  với ; 1X Y  thì ; X Y là nghiệm của hệ phương trình 1 2 3 . . 8 4 X Y m X Y          Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 9 Nên X; Y là nghiệm của phương trình  2 1 3 0 * 2 4 8 m t t    . a. Khi 1 2 m   thì (*) trở thành 2 2 1 1 0 2 2 2 1 0 1 1 2 t t t t t t             Vậy hệ đã cho tương đương với sin 1 1 sin 21 sin sin 12 x x y y                 1 1 2 , 1 , 2 6 1 , 2 , . 6 2 h h x k k x h h y h h y k k                                    b. Ta có 2 1 3 (*) . 2 8 4 m t t    Xét hàm số 2 1 3 2 8 y t t    có đồ thị ;à (C) trên  1;1D   . Ta có 1 ' 2 2 y t   nên 1 ' 0 . 4 y t   Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm trên  1;1 . Nên 4 m y  cắt (C) tại 2 điểm hoặc tiếp xúc trên  1;1 . Nên 1 7 1 7 . 8 16 2 4 m m       Vậy hệ đã cho có nghiệm khi 1 7 . 2 4 m   Bài tập áp dụng Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 10 Câu 1. Giải hệ phương trình: 2 2 3 sin sin 2 5 sin sin . 4 x y x y         ĐS:   2 6 2 ; 52 2 ; 6 y l x k y k k l                  Hoặc   2 6 ; 2 ; 5 2 2 6 x k y l l k x k                 Câu 2. Cho hệ phương trình: 2 2 sin .tan tan sin x m y m y m x m       a. Giải hệ khi 4.m   b. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm. ĐS: a. Vô nghiệm b. 0.a  IV. Hệ không mẫu mực Ví dụ 1. Giải hệ phương trình tan cot 2sin 4 tan cot 2sin 4 x x y y y x                      Giải Cách 1 Ta có 2 2sin os 2 tan cot 2sin 4 sin . os sin 2 c y c                   . Nên hệ đã cho tương đương với     1 sin 1 sin 2 4 1 sin 2 sin 2 4 1 sin 2 .sin 4 1 sin 2 .sin 4 y x x y x y y x                                       Ta có   sin 2 1 sin 2 1 1 sin 1 sin 1. 4 4 x x y y                                Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 11 , , 4 4 3 3 2 , 2 , 4 4 x k k x k k y h h y h h                                   Thay 4 3 2 4 x k y h              vào (2) ta được: sin 2 .sin sin .sin 0 1 4 2 y x k             (loại). Thay 4 3 2 4 x k y h               vào (2) ta được:   3 sin 2 .sin sin sin 1 4 2 2 k y x k                              Do đó hệ có nghiệm là     2 1 4 ; . 3 2 4 x m m h y h                Cách 2 Ta có tan cot 2x x  (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy). Dấu bằng xảy ra khi 1 tan cot tan tan 1 tan x x x x x       . Do đó tan cot 2 2 sin . 4 x x y          Dấu bằng xảy ta khi       tan 1 tan 1 sin 1 sin 1 4 4 4 4 ; 3 2 2 4 4 x x y y x k x k I h k II y h y h                                                          Thay (I) vào (2) ta có tan cot 2sin 4 y y x         . Ta thấy 2 2sin 2 k           không thỏa mãn. Thay (II) vào (2) ta thấy 2 2sin 2 k           chỉ thỏa mãn khi k lẻ. Vậy hệ đã cho có nghiệm là     2 1 4 , 3 2 4 x m m h y h                . Phạm Thị Hải Yến – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN. Ban toán Email: yenhai132@gmail.com ; mobile: 0973357093; https://www.facebook.com/nguyenhoangchau 12 Ví dụ 2. Xác đinh m để hệ:     sin sin 2 1 cos cos2 2 x x m x x m       có nghiệm? Giải Từ (1) và (2) sin sin2 cos cos2x x x x    sin cos cos2 sin 2 2 sin 2 sin 2 4 4 2 2 4 4 3 2 2 4 4 x x x x x x x x k x x k                                           2 6 3 2 k x k k            Các trường hợp xảy ra  2 sin sin2 0 0.x k x x m          .2 6 x l    (với 3 ,k l l  ) 1 3 1 3 sin sin 2 . 2 2 2 2 x x m        5 2 6 x l    (với 3 1,k l l   ) 1 3 1 3 sin sin 2 . 2 2 2 2 x x m        3 2 2 x l    (với 3 2,k l l   ) sin sin2 1 1.x x m     Vậy hệ đã cho có nghiệm khi 1 3 1;0; . 2 2 m           Bài tập áp dụng Câu 1. Giải các hệ phương trình sau: tan tan tan tan 1 cos2 3 cos2 1 y x x y y x        ĐS:   5 ; , 12 6 x m y n m n           . Câu 2. Cho hệ phương trình:   22 cos2 cos2 1 4cos 0 x y m x y m        Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. ĐS: 2 3 m h     hoặc 2 2 , 3 m h h     