Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌCPHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi một đa thức thành dạng một tích của nhiều đơn thức và đa thức khác . Nhờ vận dụng linh hoạt các tính chất giao hoán , kết hợp của các phép cộng và phép nhân và tính chất phân phối cuả phép nhân đối với phép cộng các đa thức để một đa thức đơn giản hơn, hoặc tìm được nghiệm của một đa thức Ta có nhiều phương pháp phân tích một đa thức thành nhân tử . Sau đây là một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử : 1) Phân tích bằng cách đặt nhân tử chung - Ví dụ : a)Phân tích 15x3 – 5x2 + 10x thành nhân tử : 15x3 – 5x2 + 10x = 5x.3x2 – 5x.x+5x.2 = 5x(3x2 – x +2) b) x3 – 5x = x(x2 – 5) 2) Phương pháp phân tích dùng hằng đẳng thức đáng nhớ Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x2-4x +4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x+2)2 b) x2 – 9 = (x+3)(x-3) c) 1 – 8x3 = 1 – (2x)3 = (1-2x)(1+2x+4x2) 3) Phương pháp nhóm hạng tử : Ví dụ : 2xy +3z +6y+xz = (2xy+6y)+(3z+xy)= 2y(x+3) +z(x+3) = (x+3)(2y+z) 4) Phân tích bằng cách phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ a/ : 5x3+ 10x2y +5xy2 = 5x(x2 +2xy +y2) = 5x(x+y)2 b/ x2- 2xy+y2 – 9 = (x2- 2xy+y2 ) – 9 = (x-y)2 – 32 = (x-y+3)(x-y-3) 5) Phân tích bằng cách thêm bớt một hạng tử : Ví dụ : phân tích x4 + 4 thành nhân tử : x4 + 4 = x4 +4x2+ 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2+ 2 +2x)(x2+2 – 2x) 6) Phân tích bằng cách tách hạng tử: Cách làm như sau : Đa thức x2 + bx +c ta phải phân tích : c = b1. b2 sao cho b1+b2 = b Từ đó x2 + bx +c = x2 +( b1+ b2) x+ b1. b2 = x2 + b1x+b2x + b1. b2 = x(x+b1) +b2(x+b1) = (x+b1)(x+b2) Ví dụ : Phân tích x2 – 5x + 6 thành nhân tử x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 2.3 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3) 7) Phân tích bằng cách đặt ẩn phụ Ví dụ : A = (x2 + x)2 +4x2 +4x – 12 = (x2 + x)2 +4(x2 +x) – 12 Đặt z = x2 + x => A = z2 + 4z – 12 = (z2 +4z +4) – 16 = (z + 2)2 – 42 = (z+2-4)(z+2+4) = (z-2)(z+6) = (x2+x-2)(x2+x+6) = (x2+x+6)(x2-x+2x -2) = (x2+x+6)(x-1)(x+2) Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp chúng ta giải quyết được một số bài toán Ví dụ : a) chứng minh rằng (2n+5)2 – 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n c/m : ta có (2n+5)2 – 25 = =(2n+5-5)(2n+5+5) = 2n(2n+10) =4n(n+5) chia hết cho 4 Vậy (2n+5)2 – 25 chia hết cho 4 b/ Chứng minh rằng x2 +4x +10 > 0 với mọi x c/m : ta có x2 +4x +10 = x2 +4x + 4 +6 = (x+2)2 + 6 Vì (x+2)2 không âm với mọi x Nên (x+2)2 + 6 > 0 mọi x c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 - 6x – 3 = x2 – 6x + 9 – 12 = (x-3)2 - 12 >/= -12 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = -12 khi x=3 d/ Tìm nghiệm của đa thức : Ví dụ : tìm nghiệm của đa thức : x2 -5x +6 (x-3)(x-2)=0 => x= 2 hoặc x= 3 Trên đây là một số cách phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình chuẩn kiến thức của bộ giáo dục và đào tạo cũng như một số phương pháp mở rộng nâng cao để chúng ta cùng áp dụng cho đối tượng học sinh . Chắc chắn rằng bài viết còn rất nhiều hạn chế và thiếu sót . Rất mong sự góp ý chân thành của bạn đọc Tổ toán trường thcs Tháng 10