Chuyên đề Một số sai lầm khi làm toán Hoán vị -Chỉnh hợp- tổ hợp

CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ ĐẾN DỰ CHUYÊN ĐỀMỘT SỐ SAI LẦM KHI LÀM TOÁN :HOÁN VỊ -CHỈNH HỢP- TỔ HỢP Đây là loại toán mới được đưa vào chương trình Toán ở phổ thông cho nên nhiều học sinh lúng túng và dẫn đến kết quả không đúng.Cơ sở để giải các bài toán là việc áp dụng các quy tắc nhân, quy tắc cộng,và các khái niệm chỉnh hợp,hoán vị,tổ hợp.Các sai lầm do không biết là vận quy tắc nào,khái niệm nào cho bài toán đang giải.Bài 1: Một buổi đám cưới có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi.Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy.Hỏi có bao nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy.Lời giải của một học sinh như sau:Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 nam trong 10 nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10 nên số cách chọn 3 nam có thứ tự là: cáchTương tự số cách chọn 3 nữ có thứ tự là cáchVậy số cách bố trí 3 cặp nhảy là: cáchVậy số cách bố trí 3 cặp nhảy là: ? Ta phân tích:Tại sao lại sắp thứ tự cả 3 nam và 3 nữ.Giả sử có 3 nam theo thứ tự là A,B,C ghép nhảy với 3 bạn nữ theo thứ tự là a,b,c tức là ta có 3 cặp nhảy (A,a),(B,b),(C,c).Nếu lấy thứ tự khác của 3 nam là (A,B,C) và thứ tự khác của 3 bạn nữ là (a,b,c) thì ghép 3 cặp nhảy (A,a),(C,c), và (B,b) vẫn là cách ghép 3 cặp nhảy trước.sai lầm dẫn tới cách ghép lớn hơn thực tế vì có cách ghép 3 cặp nhảy được tính nhiều lần.Bài 1: Một buổi đám cưới có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi.Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy.Hỏi có bao nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy.Lời giải đúng :Mỗi cách chọn 3 nam trong 10 bạn là Tương tự số cách chọn 3 nữ trong 6 bạn nữ là Với 3 bạn nam và 3 bạn nữ được chọn,ta xem có bao nhiêu cách ghép thành 3 cặp nhảy ( tất nhiên mỗi cặp 1 nam và 1 nữ)Giả sử A,B,C và 3 bạn nữ a,b,c thì cứ mỗi cách ghép 3 cặp nhảy chẳng qua là 1 hoán vị của 3 bạn nữ mà thôi! (Tất nhiên có thể coi là 1 hoán vị của 3 nam thì kết quả cũng thế!)vậy số cách ghép 3 cặp nhảy cho 6 bạn này là Do đó: số cách bố trí 3 cặp nhảy chỉ là Bài 1: Một buổi đám cưới có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi.Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy.Hỏi có bao nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy.Bài 2: Từ 5 chữ số có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số phải có chữ số 1.Lời giải của một học sinh như sau:Gọi số thỏa mãn bài toán là ,vì nên có 4 cách chọn,mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 4 chữ số còn lại,nên với mỗi cách chọn sẽ có cách chọn .Do đó số các số thỏa mãn bài toán là: ? Ta phân tích:Lí luận trên quên mất (và chưa có gì bảo đảm ) để số thỏa mãn bài toán có chữ số 1.Bài 2: Từ 5 chữ số có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số phải có chữ số 1.Lời giải đúng :Cách 1: Gọi số thỏa mãn bài toán là ,vì nên có 4 cách chọn,mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 4 chữ số còn lại,nên với mỗi cách chọn sẽ có cách chọn Do đó có: Hãy xem có bao nhiêu số trong 96 số đó không viết bởi chữ số 1 ?Khi đó chỉ có 3 cách chọn và mỗi cách viết chỉ là một hoán vị của 3 chữ số còn lại.Vậy số các số gồm 4 chữ số khác nhau viết bởi 0,2,3,4 là sốSuy ra các số thỏa mãn đề bài là Cách 2: Gọi số thỏa mãn bài toán là thì mỗi cách viết là một chỉnh hợp chập 3 của 4 chữ số còn lại,nên có thì có 3 cách viết , mỗi cách viết là một chỉnh hợp chập 2 của 3 chữ số còn lại,nên có số.Tương tự thì có 18 số, có số.Vậy số các số thỏa mãn bài toán là:78 số.Bài 3: Một nhà hàng có 4 của ra,vào.hỏi có bao nhiêu cách vào một cửa và ra cửa khác.Lời giải của học sinh ?Mỗi cách chọn vào một của và ra một của khác là một tổ hợp chập 2 của 4.Do đó số cách thỏa mãn là Lời giải đúng:Vì phân biệt cửa ra vào nên mỗi cách vào một cửa ,ra cửa khác phải là một chỉnh hợp chập 2 của 4.Do đó số cách thỏa mãn là Bài 4: Trong một buổi họp mặt có 5 bạn nam và 5 bạn nữ.Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi quanh một bàn tròn sao cho các bạn nam, nữ ngồi xen kẽ nhau.Lời giải củahọc sinh ?Hãy cố định chỗ ngồi cho 1 bạn nam thì mỗi cách sắp xếp 4 bạn nam còn lại là một hoán vị của 4 nên có 4! cách sắp xếp.Mặt khác 5 chỗ ngồi của 5 bạn nữ là xác định 5! Cách sắp xếp các bạn nữ.Vậy số cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn thỏa mãn là cáchLời giải đúng ?Hãy bố trí chỗ ngồi cho bạn nam thì có 10 vị trí khác nhau.Với mỗi vị trí chỗ ngồi cho bạn nam thì mỗi cách sắp xếp 4 bạn nam còn lại là một hoán vị của 4 nên có 4! cách sắp xếp bạn nam và mỗi cách sắp xếp vị trí cho 5 bạn nữ là một hoán vị của 5 nên có 5! cách xếp.Vậy với mỗi vị trí sắp xếp của bạn nam sẽ có 4!5! cách bố trí chỗ ngồi cho 9 bạn còn lại.Do đó có cách.