Chuyên đề Một số phương pháp chứng minh chia hết - Phạm Thị Thu Hằng

Năm học: 2009-2010 Trường : THCS Lê Qúi Đôn Người soạn: Phạm Thị Thu Hằng GV: Phạm Thị Thu Hằng - Tổ KHTN Chào mừng các thầy cô giáo về dự tiết học hôm nay Chuyên đề Một số phương pháp chứng minh chia hết Định lý về phép chia trong tập hợp Z. a)Định lí: Cho 2 số nguyên a ,b, với b khác 0, khi đó có 2 số nguyên q và r duy nhất sao cho:a = b.q + r với| b|>r ≥0 a: Là số bị chia, q: Là thương. r: là số dư. Khi a chia cho b thì dư có thể là 0 ; 1 ; 2; ... | b| -1. .Đặc biệt khi r = 0 thì a = b.q, ta nói a chia hết cho b hay b là ước của a. Kí hiệu: a b b) Tính chất: *Nếu a b và b c  a c. *Nếu tích ab c và ( b,c)=1  a c. * Nếu a b, a c và (b,c)=1  a bc B- Một số dạng toán. 1.Dạng 1. Sử sụng tính chất:”Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n, n ≥1”. 2. Dạng 2. Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. 3. Dạng 3. Sử dụng phép chía có dư. 4. Dạng 4. Sử dụng đồng dư. 5. Dạng 5. Tìm chữ số tận cùng của một số. 6. Dạng 6. Sử dụng nguyên tắc Điriclê. 7. Dạng 7. Sử dụng định lí Fecma 8. Dạng 8. Sử dụng phương pháp qui nạp. I.Dạng 1. Sử sụng tính chất: ”Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n, n ≥1”. Bài toán 1. Chứng minh rằng: a) Tích hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8. b) Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. c) Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120. giải: a) -Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và 2n+2 (với n Z) nên tích của chúng là: 2n( 2n+2)= 4n(n+1). -Mà n và (n+1) là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2  n(n+1) 2  4.n(n+1) 8 -Vậy tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. (Đpcm) b) -Gọi ba số nguyên liên tiếp là: (n-1), n,(n+1) (với n Z) ta có tích của chúng là: A= (n-1)n(n+1). - Trong A có một bội của 2, một bội của 3, mà (2,3)=1 nên: A 2.3 hay A 6. - Vậy tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 (đpcm) Từ bài toán 1b) ta có bài toán cùng nội dung sau: Chứng minh rằng: n3-n chia hết cho 6. . Bài 1 c) -Ta có: 120 = 3.5.8. - Tích của 5 số nguyên liên tiếp có dạng: A= (n-2) (n-1)n(n+1)(n+2) ( với n là số nguyên). -Trong 5 số nguyên liên tiếp có: + Một bội của 3  A 3 +Một bội của 5  A 5 -Ta cần chứng minh A 8. -Thật vậy: +) Nếu n là số chẵn thì n và (n+2) là 2 số chẵn liên tiếp. +) Nếu n là số lẻ thì (n+1) và (n-1) là 2 số chẵn liên tiếp. Nên: trong A có ít nhất 2 thừa số chẵn liên tiếp  A 8 ( theo bài toán 1a) - Lại có 3, 5 và 8 đôi một nguyên tố cùng nhau nên : Từ , và suy ra: A 3.5.8 hay A 120 -Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120. (đpm) I.Dạng I. Sử sụng tính chất”Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n, n ≥1”. -Ta đã chứng minh được : (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 120. -Hãy thử tìm hiểu xem bài toán trên có thể ra đề dưới hình thức khác như thế nào? Trả lời: ( n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)= n5- 5n3+ 4n. -Vậy ta có bài toán khó hơn nhưng cùng nội dung với bài 1c). Bài toán: Chứng minh rằng : n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120. -Để giải bài toán này ta dùng các phương pháp phân tích đa tnức thành nhân tử , khi đó ta được bài toán quen (Bài 1c). I.Dạng 1. Sử sụng tính chất: ”Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n, n ≥1”. Bài toán 2. Chứng minh rằng: n5-n chia hết cho 30 với n là số nguyên. Giải: * Cách 1. Phân tích n5-n thành một tổng, trong đó có một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp, số hạng kia có một thừa số bằng 5 như sau: n5-n = n(n4-1) = n(n2-1)(n2+1) = n(n2-1)( n2-4+5) = n(n2-1)(n2-2)+ 5n(n2-1) =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ 5(n-1)n(n+1) ( với n là số nguyên) -Ta thấy: +) (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho: 2.3.5=30 ( theo bài toán 1c). +) (n-1)n (n+1) 6 ( Theo bài toán1 b)  5(n-1)n(n+1) 6.5. Suy ra:(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ 5(n-1)n(n+1) 30 -Vậy : n5-n chia hết cho 30 ( n là số nguyên) (đpcm) Bài 2.Chứng minh rằng: n5-n chia hết cho 30 với n là số nguyên. Giải:* Cách 2. Xét hiệu giữa n5-n và tích của 5 số nguyên liên tiếp: (n5 –n )- ( n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = (n5- n) –( n5- 5n3+4n) = 5n3- 5n =5( n-1)n(n+1) -Ta thấy (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp,nên: (n-1) n (n+1) 6  5 (n-1)n(n+1) 5.6  (n5-n) –(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) 30 -Lại có : (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) 30 ( Theo bài 1c) Suy ra : n5 -n chia hết cho 30 (Đpcm) -Từ bài toán 2 em có nhận xét gì về chữ số tận cùng của hiệu ( n5 – n)? -Trả lời: Hiệu có tận cùng là 0. -Từ đó hãy nhận xét về chữ số tận cùng của n5 và n ? Và ta lại có bài toán dưới hình thức khác như thế nào? Bài toán Chứng minh rằng: n và n5 có chữ số tận cùng giốngnhau ( với n là số nguyên) I.Dạng 1. Sử sụng tính chất: ”Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n, n ≥1”. Bài toán 3. Cho P là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng: p2 -1 chia hết cho 24. Giải: Ta có: p2 -1= (p-1)(p+1) -Do P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P là số lẻ và P không chia hết cho 3. -Vì P là số lẻ nên (p-1) và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp nên: (p-1)(p+1) chia hết cho 8 ( Theo bài toán 1a). -Mặt khác : (p-1)p(p+1) 3 ( Theo bài toán 1b) mà P không chia hết cho 3  (p-1) 3 hoặc ( P+1) 3  (p-1)(p+1) 3 . -Lại có (3,8)=1, nên từ và suy ra (p-1)(p+1) 3.8 - Vậy (p-1)(p+1) chia hết cho 24 (Đpcm) Bài toán 4. Cho m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng mn-m –n +1 chia hết cho 192 Giải: -Hai số chính phương lẻ liên tiếp có dạng: m = (2k-1)2 và n=(2k+1)2 (với k Z) -Do đó: mn-m-n+1 =(m-1)(n-1) = ((2k-1)2-1)((2k+1)2-1) =(4k2- 4k)(4k 2 + 4k) =16(k-1)k.k(k+1) -Ta có:(k-1)k(k+1) 3 ( Theo bài toán 1b) (k-1)k.k(k+1) 4 ( Hai tích của 2 số nguyên liên tiếp) -Lại có (3,4)=1, nên từ và suy ra: k2(k-1)(k+1) 12 16k2(k-1)(k+1) 16.12 Vậy: mn-m-n+1 192 (Đpcm) Bài tập vận dụng: Bài1. Chứng minh rằng: Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24. Tích của 6 số nguyên liên tiếp chia hết cho 720 Tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Bài 2. Cho a, blà hai số lẻ không chia hết cho 3. Chứng minh rằng: a2-b2 chia hết cho 24 Bài 3. Chứng minh rằng : n4+6n3+11n2+6n chia hết cho 24. ( Với n là số nguyên) n4-4n3-4n2+16n chia hết cho 384 (với n là số chẵn, n>4) Bài 4 Cho a, b là các số nguyên không chia hết cho 5.Chứng minh rằng : a5-b5 chia hết cho 5 Bài 5. Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp trong đó số ở giữa là lập phương của một số tự nhiên. thì chia hết cho 504. Phần này thực hiện trong 60 phút. Các phần tiếp theo sẽ được gửi sau.