Chuyên đề luyện thi đại học phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi tuyển sinh đại học

1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tập gây khó khăn cho học sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng bài tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Bài viết này sẽ giúp học sinh giải quyết những vướng mắc đó. Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán - Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: b=ctanB, c=btanC; 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + - Trong tam giác thường ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc + − = + − = . Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2ABC S ab C bc A ac B∆ = = = - V(khối chóp)= 1 . 3 B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) - V(khối lăng trụ)=B.h - V(chóp S(ABCD)= 1 3 (S(ABCD).dt(ABCD)) - S=p.r (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) Phần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. - Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến. - Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó. - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy. C B H A www.VNMATH.com 2 Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh sẽ rơi vào đường phân giác góc tạo bởi 2 cạnh nằm trên mặt đáy của 2 mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC) - Hình chóp có 2 cạnh bên bằng nhau hoặc hai cạnh bên đều tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại của cạnh bên thuộc mặt đáy. (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB và SC cùng tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC) Việc xác định được chân đường cao cũng là yếu tố quan trọng để tìm góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng hoặc góc tạo bởi 2 mặt phẳng. Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạo bởi SC và (ABCD) là 600, góc tạo bởi (SCD) và (ABCD) là 450, đáy là hình thang cân có 2 cạnh đáy là a, 2a; cạnh bên bằng a. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của SD,BC.Tìm góc tạo bởi PQ và mặt phẳng (ABCD).Tính V khối chóp? Rõ ràng đây là khối chóp thuộc dạng 2.Từ đó ta dễ dàng tìm được đường cao và xác định các góc như sau: Kẻ SH vuông góc với AD thì SH là đường cao(SC,(ABCD))= ˆ ˆ;( , ( )) )SCH SM ABCD HMS= , với M là chân đường cao kẻ từ H lên CD Từ P hạ PK vuông góc với AD ta có ˆ( , ( ))PQ ABCD PQK= Q H P K M C D B A S Phần 3: Các bài toán về tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D., có AB=AD=2a; CD=a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SCB),(ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm AD biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD).Tính thể tích khối chóp SABCD? HD giải: Vì 2 mặt phẳng (SBC) và (SBI) cùng vuông góc với (ABCD) mà (SBI) và (SCI) có giao tuyến là SI nên SI là đường cao. Kẻ IH vuông góc với BC ta có góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là 0ˆ 60SHI = . Từ đó ta tính được: 212; 5; ( ) ( ) 3 2 IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a= = = = + = www.VNMATH.com 3 2 2 2 21 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 a aIH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a= = − − = − − = nên 2 ( )S IBCIH BC = = 3 3 5 a . Từ đó V(SABCD)= 33 15 5 a . H I D C B A S Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a; AA’=2a; A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A’C’, I là trung điểm của AM và A’C’. Tính V chóp IABC theo a? HD giải: - ABC A’B’C’ là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. Vì I∈(ACC’) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ AC thì IH là đường cao và I chính là trọng tâm tam giác AA’C’ 2 4 3 3 IH CI aIH AA CA ⇒ = = ⇒ = ′ ′ Có 22 2 2 2 2AA 9 4 5 2AC A C a a a BC AC AB a′ ′= − = = = ⇒ = − = V(IABC)= 31 1 4 1 4. ( ) . . .2 . 3 3 3 2 9 aIH dt ABC a a a= = ( đvtt) H M I B A' C' C B A www.VNMATH.com 4 B. Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích hoặc phân chia khối đa diện thành các khối đa diện đơn giản hơn Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian đơn giản hơn. Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau: ( ) . . ( ) . . V SA B C SA SB SC V SABC SA SB SC ′ ′ ′ ′ ′ ′ = (1) ( A ABC) A A ( ) SA V S V SABC ′ ′ = (2). Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ. C B A C' B' A' S Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0ˆ 60BAD = , SA vuông góc với đáy(ABCD), SA=a. Gọi C là trung điểm SC, mặt phẳng (P) đi qua AC song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp tại B’, D’. Tính thể tích khối chóp HD giải: Gọi O là giao 2 đường chéo ta suy ra AC’ và SO cắt nhau tại trọng tâm I của tam giác SAC. Từ I thuộc mặt phẳng (P)(SDB) kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD tại B’, D’ là 2 giao điểm cần tìm. Ta có: 1 2; 2 3 SC SD SB SI SC SD SB SO ′ ′ ′ = = = = Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( )2 ; 2SAB C D SAB C SAB C SABCV V V V′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = ( ) ( ) . . 1 ( ) ( ) . . 3 V SAB C D V SAB C SA SB SC V ABCD V SABC SA SB SC ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = = = Ta có 3( ) 1 1 1 3 3 ˆ . ( ) . . . . . . 3 3 3 2 6SABCD V SA dt ABCD SA AD AB sinDAB a a a a= = = = 3 ( ) 3 18SAB C D V a ′ ′ ′ = (đvtt) www.VNMATH.com 5 A' C' D' D CB A S Ví dụ 4) (Dự bị A 2007) Cho hình chóp SABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạng SA vuông góc với đáy, cạnh SB hợp với đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy M sao cho AM= 3 3 a . Mặt phẳng BCM cắt DS tại N. Tính thể tích khối chóp SBCMN. HD giải: Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N là giao điểm cần tìm, góc tạo bởi SB và (ABCD) là 0ˆ 60SBA = . Ta có SA=SBtan600=a 3 . Từ đó suy ra SM=SA-AM= 3 2 3 23 3 3 3 SM SN a a a SA SD − = ⇒ = = Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2SABCD SABC SACD SABC SACDV V V V V= + = = ; ( ) ( ) ( )SBCMN SMBC SMCNV V V= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1. . . 1. . . 1 2 5 2. . . 2. . . 3 9 9 V SMBCN V SMBC V SMCN V SMCN V SMCN V SABCD V SABCD V SABC V SACD SM SB SC SM SC SN SA SB SC SA SC SD + ⇒ = = + = + = + = Mà 3( ) 1 1 2 3 . ( ) 3 .2 3 3 3SABCD V SA dt ABCD a a a a= = = 3 ( ) 10 3 27SMBCN V a⇒ = www.VNMATH.com 6 NM D CB A S Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian A. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần nắm chắc bài toán cơ bản và các tính chất sau * Bài toán cơ bản: Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến (SBC) - Hạ AM vuông góc với BC , AH vuông góc với SM suy ra AH vuông góc với (SBC). Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) là AH. Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 . AS AM ASAH AH AM AM AS = + ⇒ = + * Tính chất quan trọng cần nắm: - Nếu đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) thì khoảng cách từ mọi điểm trên (d) đến mặt phẳng (P) là như nhau - Nếu AM k BM=







 thì /( ) /( )A P B Pd kd= trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M Trên cơ sở các tính chất trên ta luôn quy được khoảng cách từ một điểm bất kỳ về bài toán cơ bản. Tuy nhiên 1 số trường hợp việc tìm hình chiếu trở nên vô cùng khó khăn, khi đó việc sử dụng công thức tính thể tích trở nên rất hiệu quả. Ta có V(khối chóp)= 1 3. 3 VB h h B ⇒ = www.VNMATH.com 7 H M C B A S Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S trùng với trọng tâm tam giác ABD. Mặt bên (SAB) tạo với đáy một góc 600. Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD). Lời giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, E là hình chiếu của G lên AB Ta có: ( );SG AB GE AB AB SGE⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 0 ˆ 60SAG⇒ = ˆ . tan 3SG GE SEG GE⇒ = = Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABD 1 3 3 aGE BC⇒ = = 31 3 . 3 9SABCD ABCD aV SG S⇒ = = Hạ GN vuông góc với AD, GH vuông góc với SN. Ta có /( ) /( ) 2 2 22 33 .3 . 33 33 3 23 3 3 B SAD G SAD a a GN GS ad d GH GN GS a a = = = = = +    +        M H N E G C DA B S www.VNMATH.com 8 Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ có đáy ABCD là hình thoi , 3AB a= , 0120BAD∠ = . Biết góc giữa đường thẳng AC ′ và mặt phẳng ( )ADD A′ ′ bằng 030 .Tính thể tích khối lăng trụ trên theo a. và khoảng cách từ trung điểm N của BB’ đến mặt phẳng (C’MA).Biết M là trung điểm của A’D’ Giải: Ta có . ' ' ' ' '.ABCD A B C D ABCDV AA S= (1). Đáy ABCD là hình thoi gồm 2 tam giác đều ABC, ACD nên: ( )2 23 3 3 32 2. 4 2ABCD ABC a aS S∆= = = (2) Gọi C’M là đường cao của tam giác đều C’A’D’ thì ( )' ' 'C M ADA D⊥ nên 0ˆ' 30C AM = Ta có 0 2 23 3 3' ' .cot 30 ' ' 6 2 2 a aC M AM C M A A AM A M a= ⇒ = = ⇒ = − = (3) Thay (2),(3) vào (1) ta có: 2 3 . ' ' ' ' 3 3 9 2 . 6 2 2ABCD A B C D a aV a= = . Ta có /( ' ) /( ' )N C MA K C MAd d= với K là trung điểm của DD’ (Vì K và N đối xứng nhau qua trung điểm O của AC’) Từ K hạ KH vuông góc với AM thì /( ' ) 1( ' ) ; . ( ' ' ) ( ' ) ( ' ) ( ) 2K C MA KH AC M d KH KH AM dt AA D D dt AA M dt MD K dt AKD⊥ ⇒ = = − − − 3 3 1 3 1 6 3 1 6 6 . 6. 3 6. . . . . 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a aKH a a a a KH a⇒ = − − − ⇒ = Vậy /( ' ) 6 2N C MA d a= O N C B A D H K M A' B' D' C' Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600, ABC,SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).(Đề dự bị khối A 2007) HD: Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy ra BS=BA=BC=a. Gọi O là chân đường cao hạ từ B xuống mp(SAC). O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC. Gọi M là www.VNMATH.com 9 trung điểm BC ta có ;SM BC AM BC⊥ ⊥ . Nên góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là 0 a 3 ˆ 60 AS= 2 SMA SM AM= ⇒ = = . Bây giờ ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC. Tam giác SAC cân tại C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực của SA và CN (N là trung diểm của SA). Kẻ trung trực của SC cắt trung trực của SA tại O là điểm cần tìm 2 2 2 2 3 2 1316 cos 4 SA aSC aNCSNC SC SC a   − −    = = = = 2 2 2 22 4 32 ; ˆ 13cos 13 13 SC a a aOC BO BC OC a SCN ⇒ = = = − = − = . O P N M C B A S Cách 2: 0( ) ( ) 1 22 2 . ( ) . .sin 60 3 3.2SABCD SABM aV V BM dt SAM AM MS= = = 3 3 ( ) 16 a dt SAC= = 21 1 13 3 39 3 ( ) 3 .AS= . . ( , ( ) 2 2 4 2 16 ( ) 13 a V SABC aCN a a d B SAC dt SAC = ⇒ = = Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang 0ˆˆ 90ABC BAD= = , BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= 2a , gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) (TSĐH D 2007) HD giải: Ta có 2 2 2 22; 6; 2AC a SD SA AD a SC SA AC a= = + = = + = . Ta cũng dễ dàng tính được 2CD a= . Ta có 2 2 2SD SC CD= + nên tam giác SCD vuông tại C. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 .AS . 2 2 AS 3AB AS 2 2 2 23 33 3 AB a aAH a AH AB a a a SHSH SA AH a SB a = + ⇒ = = = + + ⇒ = − = ⇒ = = www.VNMATH.com 10 21. .( ) 1( ) ( ) ( ) . ; 2 2 2 AB BC AD adt BCD dt ABCD dt ABD AB AD+= − = − = 2 2 3 1( ) . 2 2 ( ) . . 2 1 1. 2. 2 ; ( ) . ( )( ) . . 3 3 3.2 6 dt SCD SC CD a V SHCD SH SC SD a aV SBCD SA dt BCD a V SBCD SB SC SD = = = = = = = 32( ) 9 V SHCD a= .Ta có 3 2 3 ( ) 2 1( /( )) .3( ) 9 32 V SHCD ad H SCD a dt SCD a = = = H D CB A S Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang 0ˆˆ 90ABC BAD= = BA=BC=a; AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy , góc tạo bởi SC và (SAD) bằng 300.Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD) Giải: H E N M G D CB A S Kẻ CE vuông góc với AD thì E là trung điểm của AD và ( )CE SAD⊥ 0 ˆ 30 . tan 60 3 2CSE SE CE a SA a⇒ = ⇒ = = ⇒ = Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AE. Ta có BE song song với (SCD), MN cũng song song với (SCD). Ta có 3 4 ND AD= /( ) /( ) /( ) /( ) /( ) 2 2 2 2 3 1 . . 3 3 3 3 4 2G SCD M SCD N SCD A SCD A SCD GS MS d d d d d= ⇒ = = = = www.VNMATH.com 11 Vì tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với (SAC). Hạ AH vuông góc với SC thì /( ) 2 2 .( ) A SCD SA SCAH SCD d AH a SA SC ⊥ ⇒ = = = + (Ta cũng có thể lập luận tam giác SAC vuông cân suy ra AH=a) B. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên b đến mp(P) - Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã trình bày ở mục A. Ví dụ 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên 2AA a′ = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA B C′ ′ ′ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C.(TSĐH D2008) HD giải: 3 2( ) . 2 V ABCA B C S h a′ ′ ′ = = . Gọi N là trung điểm của BB’ ta có B’C song song với mp(AMN). Từ đó ta có: ( , ) ( , ( )) ( , ( ))d B C AM d B AMN d B AMN′ ′= = vì N là trung điểm của BB’. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (AMN), vì tứ diện BAMN là tứ diện vuông tại B nên ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 7 aBH BH BA BN BM = + + ⇒ = chính là khoảng cách giữa AM và B’C. K H N M C B A B' C'A' Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều kiện B’C song song với (AMN). Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy nghĩ điều này Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P) cũng bằng khoảng cách từ B đến (P)) www.VNMATH.com 12 Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.(TS B2007) HD giải: Gọi P là trung điểm của SA, ta có tứ giác MPNC là hình bình hành. Nên MN// PC. Từ đó suy ra MN//(SAC). Mặt khác BD ⊥ mp(SAC) nên BD ⊥ PC BD MN⇒ ⊥ . Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))= 1 1 1( , ( )) 2 2 4 2 d B SAC BD a= = E M P N D CB A S ( Chú ý việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC) giúp ta đơn giản hoá bài toán đi rất nhiều. Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này để vận dụng) Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, 2 ,AB BC a= = hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) cùng vuông góc với đáy (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N. Biết góc tạo bởi (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SBCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN (TSĐH A 2011) Giải: - Ta có 0 0ˆ ˆ( ); 90 60 2 3SA ABC ABC SBA SA a⊥ = ⇒ = ⇒ = Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm AC Từ đó tính được 33V a= - Kẻ đường thẳng (d) qua N song song với AB thì AB song song với mặt phẳng (P) chứa SN và (d) nên khoảng cách từ AB đến SN cũng bằng khoảng cách từ A đến (P). Dựng AD vuông góc với (d) thì / /( )AB SND , dựng AH vuông góc với SD thì / /( ) 2 2 . 2 39( ) 13AB SN A SND SA AD aAH SND d d AH SA AD ⊥ ⇒ = = = = + www.VNMATH.com 13 M N D H C B A S Ví dụ 4) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, , 2 , AA 'AB a AC a a= = = . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC. Giải: Ta có BC song song với mặt phẳng (AB’C’) chứa AB’ nên / ' /( ' ') /( ' ') '/( ' ')BC AB BC AB C B AB C A AB Cd d d d= = = (vì ' , 'A B AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) Từ A’ hạ A’K vuông góc với B’C’, Hạ A’H vuông góc với AK thì '/( ' ') 2 2 ' . ' 2 ' ( ' ') ' 3 ' ' A AB C A K A A aA H AB C d A H A K A A ⊥ ⇒ = = = + C A B H A' B' KC' (Rõ ràng việc quy về bài toán cơ bản có vai trò đặc biệt quan trọng trong các bài toán tính khoảng cách, các em học sinh cần chú ý điều này) www.VNMATH.com 14 Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA vuông góc với đáy góc tạo bởi SC và (SAB) là 300. Gọi E , F là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF. Giải: R I H K F E D CB A S Vì 0ˆ( ) 30 .cot 30 3 2CB AB CB SAB CSB SB BC a SA a CB SA ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⊥ Từ C dựng CI song song với DE ta có 2 aCI DE= = . Ta có mặt phẳng (CFI) chứa CF và song song với DE. Ta có / /( ) /( ) /( ) 1 2DE CF DE CFI D CFI H CFI d d d d= = = với H là chân đường cao hạ từ F lên AD Dựng /( ) 2 2 .( ) H CFI HK CI HK HFHR FCI d HR HR FK HK HF ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = ⊥ + Ta có 2 2 3 .1 1 . 32 . . 2 2 133 2 a aCD HI aHK CI CD HI HK CI a a = ⇒ = = =   +     Ta có 2 2 2 3 . 2 3 312 13 2 312 3 2 13 a a aFH HR a a = ⇒ = =     +       Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI). Việc làm này giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều www.VNMATH.com 15 Phần 6 Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian. Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc tạo bởi b và c. Hoặc ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a và b. Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin 2 2 2 cos 2 b c aA bc + − = hoặc theo hệ thức lượng trong tam giác vuông. Ví dụ 1) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A. AB = a , 3AC a= và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp (ABC) là trung điểm của cạnh BC , Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và tính côsin góc tạo bởi AA’ và B’C’ . (TSĐH A 2008) HD giải :Gọi H là trung điểm của BC. Suy ra A’H ⊥ (ABC) và 2 21 1 3 2 2 AH BC a a a= = + = Do đó A’H = 2 2' 3.A A AH a− = V(A’ABC) = 1 3 A’H.dt (ABC) = 3 2 a Trong tam giác vuông A’B’H ta có HB’= 2 2' ' 2A B A H a+ = nên tam giác B’BH cân tại B’. Đặt α là góc tạo bởi AA’ và B’C’ thì
1' cos 2.2 4 aB BH a α α= ⇒ = = Tel 0988844088 K H C B A C' B' A' www.VNMATH.com 16 Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a 3 mp (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN. Hd giải: Từ S hạ SH vuông góc AB thì SH vuông góc với mp (ABCD). SH cũng chính là đường cao khối chóp SBMDN . Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2 SAB⇒ ∆ vuông tại S 2 ABSM a SAM⇒ = = ⇒ ∆ là tam giác đều 3 2 aABCH⇒ =△ Dễ thấy đường thẳng(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 . Do đó V(SBMDN)= 31 3 . ( ) 3 3 aSH dt BMDN = Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra AE = 2 a giả sử (SM,DN)= ( , ).SM MEα α⇒ = Ta có SA vuông góc với AD (Định lý 3 đường vuông góc ) suy ra SA AE⊥ ⇒ 2 2 5 , 2 aSE SA AE= + = 2 2 5 2 aME AM ME= + = Tam giác SME cân tại E nên cos 52 5 SM ME α = = H M N D CB A S PHẦN 7) CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Để giải quyết tốt dạng bài tập này học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản sau: ** Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 1 2.. nSA A A thì tâm I cách đều các đỉnh 1 2; ; ..... nS A A A - Vì vậy tâm I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy 1 2... nA A A (đường thẳng này song song với đường cao khối chóp) (Phải chú ý việc chọn mặt đáy cần linh hoạt sao cho khi xác định trục đường tròn đáy là đơn giản nhất) - Tâm I phải cách đều đỉnh S và các đỉnh 1 2; ..... nA A A nên I thuộc mặt phẳng trung trực của iSA đây là vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên sao cho trục đường tròn đã xác định và cạnh bên đồng phẳng với nhau để việc tìm I được dễ dàng ** Trong một số trường hợp đặc biệt khi khối chóp có các mặt bên là tam giác cân, vuông, đều ta có thể xác định 2 trục đường tròn của mặt bên và đáy . Khi đó tâm I là giao điểm của 2 trục www.VNMATH.com 17 đường tròn. Nếu hình chóp có các đỉnh đều nhìn cạnh a dưới một góc vuông thì tâm mặt cầu là trung điểm của cạnh a. ** Khi tính toán cần lưu ý các công thức: 4 4 abc abcS R R S = ⇒ = ; 2 sin ,...a R A= Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B aADaBCAB 2; === .Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung điểm của AD.Tính thể tích khối chóp SCDE và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó. HD giải: 6 3aV = Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực của SE. Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng (ABMN) và trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE. Gọi ∆ là đường thẳng qua I là trung điểm của CD và song song với SA.Gọi K là trung điểm của AB thì KN //AM. KN và ∆ đồng phẳng suy ra OKN =∆∩ là điểm cần tìm Tam giác OIK vuông cân nên OI=IK= 2 3 2 aADBC = + ; Ta có 2 11 4 11 4 2 4 9 222222 aOCRaaaICOIOC ==⇒=+=+= (0,25 điểm) D C I EN M A B S Trong ví dụ này ta dựng mặt phẳng trung trực của SE để tận dụng điều kiện tam giác SAE vuông cân ở A Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh ; 2AB a AD a= = góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và ABCD bằng 600. Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên SAB là tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHC www.VNMATH.com 18 - Ta có ( )SH AB SH ABCD⊥ ⇒ ⊥ .Kẻ HM vuông góc với AC thì góc tạo bởi (SAC) và (ABCD) là 0ˆ 60SMH = Có 02 6 2ˆsin ; tan 60 2 6 23 BC a a a aHM AH HAM AH SH HM AC a = = = = = = 31 ( ) 3 3SABCD aV SHdt ABCD= = O A M N P I E K D C QB H S - Gọi E, K lần lượt là trung điểm của SA, HA . Kẻ đương thẳng qua K song song với AD cắt CD ở F thì KF ( )SAH⊥ . Dựng Ex song song với KF thì Ex là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SHA. Dựng đường thẳng qua tâm O của mặt đáy vuông góc với AC cắt KF, AD tại N, P thì N là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trong mặt phẳng chứa Ex và KF kẻ đường thẳng Ny vuông góc với đáy (ABCD) (đường thẳng song song với EK) thì Ny là trục đường tròn của tam giác AHC. Giao điểm I Ny Ex= ∩ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SAHC. Ta có 2 2 2 2 2 2R IH IN NH KE NH= = + = + . 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 5 3 3 . ; ( ) ˆ 2 2 4cos 2 2 2 4 2 4 2 2 3 3 31 4 324 2 AO a a a AHAP a KN HO AP HN KN a CAD a a aR a = = = = + = ⇒ = + =     ⇒ = + =           Vậy 31 32 R a= Cách 2) Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Ta có . 24 33 2 .. 4 .. a S ACHCAH S ACHCAH r ABCAHC === Kẻ đường thẳng ∆ qua J và .// SH∆ Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp AHCS. là giao điểm của đường trung trực đoạn SH và ∆ trong mặt phẳng (SHJ). Ta có www.VNMATH.com 19 . 4 2 2 22 r SHJHIJIH +=+= Suy ra bán kính mặt cầu là . 32 31 aR = Ví dụ 3) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, 3 aDA DB= = , CD vuông góc với AD.Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho 0ˆ 90AEB = .Tính góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (ABD).Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE Giải: - Gọi I là trung điểm của AB thì CI vuông góc với AB và DI vuông góc với AB. Nên góc tạo bởi (ACD) và (ABD) là ˆCID .Do hai tam giác ACD và BCD bằng nhau nên 2 2 2 0 2 2 23 ˆ ˆ 90 ( ) ; ; 2 3 4 12 a a a aBDC ADC CD ABD CD DI CI DI DA AI= = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ = = − = − = 3 1 ˆcos : 2 32 DI a aCID CI = = = - Tam giác vuông ACD có 2 2 2 2 3 CD CA DA a= − = . Tam giác ABE vuông cân, do đó 2 22 ; 2 6 a aAE DE AE DA ACE= ⇒ = − = ∆ có AD là đường cao và 2 2 . 3 aCD DE DA ACE= = ⇒ ∆ vuông tại A.Tương tự ta có tam giác BCE vuông tại B. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE có CE là đường kính tâm I của mặt cầu là trung điểm của CE. Bán