Chuyên đề hệ thống số Nguyên

A. Mục tiêu: - Biết được sự cần thiết của các số nguyên âm trong thực tiễn và trong toán học. - Biết phân biệt và so sánh các số nguyên (âm, dương và 0). - Tìm được số đối và giá trị tuyệt đối của một số nguyên. - Hiểu và vận dụng đúng: các quy tắc thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân các số nguyên; các tính chất của các phép tính trong các tính toán không phức tạp; các quy tắc chuyển vế, dấu ngoặc trong các biến đổi các biểu thức, đẳng thức. - Thực hiện và tính toán đúng với dãy các phép tính các số nguyên trong các trường hợp đơn giản. B. Nội dung Chúng ta đã biết phép cộng và phép nhân hai số tự nhiên luôn thực hiện được và cho kết quả là một số tự nhiên, còn đối với phép trừ hai số tự nhiên không phải bao giờ cũng thực hiện được, chẳng hạn: 4 – 6 = ?. Vì vậy xuất hiện một loại số mới gọi là số nguyên âm, các số nguyên âm cùng với các số tự nhiên sẽ tạo thành tập hợp các số nguyên, trong đó phép trừ luôn luôn thực hiện được. I. Các khái niệm 1. Tập hợp các số nguyên Ví dụ 1 (nhu cầu xuất phát từ nội bộ toán học): GV đưa ra một số phép tính với các số tự nhiên 4 + 6 = 10 4 . 6 = 24 4 – 6 = -2 3 – 7 = -4 Ví dụ 2 (nhu cầu xuất phát từ thực tế): Nhiệt độ của nước đá đang tan là là 00C. Nhiệt độ của nước đang sôi là 1000C Nhiệt độ dưới 00C được viết với dấu “_” đằng trước. Ví dụ như: nhiệt độ 3 độ dưới 00C được viết -30C (đọc là âm ba độ C hoặc trừ ba độ C) Ví dụ 3: quy ước độ cao của mực nước biển là 0m. Độ cao của đỉnh núi Phan-xi-păng là 3143 mét. Độ cao của đáy vịnh Cam Ranh là -30 mét Nhận xét: - Bên cạnh các số tự nhiên người ta còn dùng các sồ với dấu “_“ đằng trước như: -1, -2, -3, … (đọc là âm 1, âm 2, âm 3, … hoặc là trừ 1, trừ 2, trừ 3, …). Những số như thế gọi là những số nguyên âm. - Các số tự nhiên khác 0 còn được gọi là các số nguyên dương. - Tập hợp các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp các số nguyên. Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là Z. Chú ý: - Số 0 không phải là số nguyên âm và cũng không phải là số nguyên dương. - Số đối của số nguyên a được kí hiệu là -a. Khi đó số đối của (-a) cũng là a -(-a) = a 2. Thứ tự trên Z GV cho HS ôn lại phần so sánh hai số tự nhiên trên tia số: Trong hai số tự nhiên khác nhau có một số nhỏ hơn số kia và trên tia số điểm ở bên trái biểu diễn số nhỏ hơn 0 1 2 3 4 5 6 Đối với các số nguyên cũng vậy: Trong hai số nguyên khác nhau có một số nhỏ hơn số kia. Khi biểu diễn trên trục số điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Chú ý: Số nguyên b gọi là số liền sau của số nguyên a nếu a5 thỡ p.p -1 chia hếtcho 24. Ta cú thể phõn tớch thành hai bài toỏn A, p.p -1 chia hết cho 8 B, p.p -1 chia hết cho 3 5, Khi gặp một bài toỏn, ta cố gắng nhớ lại xem đó gặp một bài toỏn tương tự hoặc gần giống với bài toỏn cần giải chưa, và nhớ lại con đường di đến lời giải của bài toỏn bó biết. Điều đú sẽ giỳp rỳt ngắnviệc tỡm tũi lời giải của bài toỏnn mới này và tạo thờm rất nhiều thuận lợi. VD: Hai ụtụ đi từ A và B trờn đường vành đaicủa thành phố- là đường trũn bỏn kớnh R- nếu đi cựng chiều thỡ sau a giờ hai xe gặp nhau,nếu đi ngược chiều thỡ sau b giờ sẽ gặp nhau. Tỡm vận tốc của mỗi xe và khoảng cỏch của chỳng.(trong đú a,b,R được cho bằng số) Phõn tớch :Ta nhớ rằng đó gặp bài toỏn hai xe ụtụ , (người đi bộ, đi xe đạp, hai thuyền, hai đoàn tàu…) đi cựng chiều, đi ngược chiều…, do đúbài toỏn này đưa về hai bài toỏn quen đó biết , chỉ cú chi tiết mới là khi đi cựng chiều mà chỳng gặp nhau tức là xe đi nhanh cú thể phải đi trọn một số vũng cộng thờm với quóng đương mà xe kia đó đi được, và khoảng cỏch AB sẽ là hai cung( cung nhỏ và cung lớn trờn đường trũn), nếu đề toỏn khụng núi rừ là khoảng cỏch gần nhất Như vậy khi nhớ được một hay một số bài toỏn tương tự bài toỏn đang xột, cú thể về dạng toỏn,về phương phỏp, về vấn đề đặt ra, về cỏi chưa biết phải tỡm,..ta đó lợi dụng được những điểm tương đồng về phương phỏp giải, về kinh nghiệm , về kết quả,… 6, Trong khi tỡm tũi lời giải cho bài toỏn, ta cú thể thửnghiệm với một số trường hợp đặc biệt, nhiều khi sẽ chotanhững gợi ý để giải quuyết trong nhiều trường hợp trong quỏt . Việc này cũng là nội dung của phương phỏp ‘đặc biệt hoỏ’ VD : tớnh tổng sau : S= 1+3+ 5….+2005 Ta cú thể thấy ngay 1+3=2.2 1+3+5=9=3.3 1+3+5+7=16=4.4 Từđú ta cú thể nghĩ rằng S=(2005-1)(2005-1):4 rồi chứng minh kết quả đú bằng quy nạp Bảng gợi ý của Pụlya Bạn đó gặp bài toỏn này lần nào chưa? Hay đó gặp bài toỏn này ở dạng hơi khỏc ? Bạn cú biết một bài toỏn nào liờn quan khụng ? Một định lý nào cú thể sử dụng ở đõy khụng? Xột kĩ cỏi chư biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toỏn quen thuộc cú cựng ẩn hay cú ẩn tương tự. Đõy là một bài toỏn liờn quan mà bạn đó cú lần giải rồi. Cú thể sử dụng nú khụng? Cú thể sử dụng kết quả củanú khụng? Cú thể sử dụng phương phỏp của nú khụng? Cú cần phải đưa thờm một yếu tố phụ thỡ mới sử dụng được khụng? Cú thể phỏt biểu bài toỏn một cỏch khỏc khụng? Nếu bạn vẫn chưa giải được bài toỏn đó chothỡ hóy thử giải một bài toỏn liờn quan mà dễ hơn được khụng? Một bài toỏn tổng quỏt hơn? Một trường hợp đặc biệt ? Một bài toỏn tương tự? Hoặc một phần của bài toỏn? Hóy giữ lại một số điều kiện, bỏ qua cỏc điều kiện khỏc giỳp bạn xỏc địnhđược ẩn khụng? Cú thể thay đổi ẩn hoặc cỏc dữ kiện(hoặc cả hai) sao ch cỏc ẩn mớivà cỏc dữ kiện mới gần nhau hơn khụng? Bạn đó sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đó sử dụng hết cỏc quan hệ chưa ? Đó để ý đến mọi khỏi niệm chủ yếu trong bài toỏn chưa? Trỡnh bày lời giải Chỉ được dựng những lý luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Phải chỳ ý đến trỡnh tự cỏc chi tiết , đến tớnh chớnh xỏc của từng chi tiết đến mối liờn hệ giữa cỏc chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải. C.Cỏc dạng bài tập Bài tập so sỏnh Bài tập chứng minh rằng Bài tập tớnh toỏn + tớnh giỏ trị của biểu thức + Tinh nhanh + Giải phương trỡnh + Tỡm giỏ tri của chữ trong biểu thức + Điền vào ụ trống Bài toỏn tỡm số + Tỡm cỏc số khi biết tổng và hiệu ,biết tổng hiệu và cỏc tỉ số + Tỡm một số trong đú biết hai tỉ số D.Một số phương phỏp giải cỏc dạng bài tập 1.Dạng bài so sỏnh :Thường làm như sau Cỏch 1: Sử dụng một số trung gian Cỏch 2: Sử dụng tớnh chất bắc cầu của bất đẳng thức với a,b bất kỡ chỉ cú một trng ba quan hệ a=b , a>b ,ab;b>c thỡ a>c Tớnh chất đơn điệu của phộp cộng :Nếu a>b thỡ a+c>b+c Tớnh chất đơn điệu của phẻps nhõn :Nếu a>b thỡ ac>bc vớic>0 Cộng từng vế hai bất đẳng thức cựng chiều: Nếu a>b, c>d thỡ a+c> b+d VD :Giỏ tiền 7 quyển vở nhiều hơn giỏ tiền 8 bỳt chỡ .Hỏi giỏ tiền 8 quyển vở và giỏ tiền 9 bỳt chỡ, đằng nào nhiều hơn ? Bài làm A.Phõn tớch Đề bài khụng cho biết rừ mỗi cỏi bỳtvà mỗi quyển vở giỏ bao nhiờu tiến Số tiền mỗi quyển khụng thể là một số nhỏ hơn 0 Nếu gọi giỏ một quyển vở là a đồng , giỏ một bỳt chỡ là b đồng . Ta cú : 7a>8b Ta phải so sỏnh:8a và 9b B.Giải Từ 7a>8b suy ra 7a>7a vỡ a,b thuộc Z Do đú a>b Cộng hai bất đẳng thức cựng chiều ta được: 7a+a>8b+b tức là 8a>9b Vậy giả 8 quyển vở nhiều hơn 9 bỳt chỡ C.Khai thỏc bài toỏn Từ bài toỏn trờn ta cú thể làm cỏc bài toỏn sau Bài1: So sỏnh (-9).(-8) với 0 (-12).4 với (-2)(-3) (+20)(+8) với (-19)(-9) Bài 2: Khụng làm phộp tớnh hóy so sỏnh (-34).4 và 0 25(-7) và 25 (-9).5và (-9) (-3).1574.(-7).(-11).(-10) và 0 25(-37).(-29).2.(-154) và 0 Đặc biệt lưu ý bài toỏn so sỏnh hai luỹ thừa Khi so sỏnh hai luỹ thừa, ta thường biến đổi cỏc luỹ thừa sao cho cơ số của chỳng bằng nhau hoặc số mũ của chỳng bằng nhau.Ta cũng dựng cỏc luỹ thừa trung gian để so sỏnh hai luỹ thừa (bài tập nõng cao) so sỏnh 637 và 1612 1+2+3+4+5…..+1000 và1.2.3.4…11 1.2.3….20 và1+2+3+…+1000000 so sỏnh a và b biết b(1+2+3+4+…+a)<a(1+2+3+4+…+b) Với ba chữ số 2, hóy viết thành một số tự nhiờn cú giỏ trị lớn nhất 2.Dạng tớnh toỏn :Luỵện kĩ năng tớnh nhanh , tớnh chớnh xỏc cho học sinh Bài 1:Tớnh nhanh (-4)(+3(-125)(+25)(-8) (-67)(1-301)-(+301)(+67) (-53).21 (-12).45 Bài 2: Cho a=-7; b=4, tớnh giỏ trị của mỗi biểu thức sau a.a+2.a.b+3b (a+b).(a+b) a.a-b.b (a+b).(a-b) Bài 3: Điền số thớch hợp vào chỗ trống a,(-5).(-4)+(-5).14=(-5). [ (-4)+… ]= …. b,13.(…+8)=13.(-3)+13.(…)=65 Bài 4: Tỡm năm bội của 2và -2 Tỡm tất cả cỏc ước của -2,4,13,15,1 Bài 5 :Tỡm số nguyờn x ,biết: 12.x =-36 2. I x I =16 Bài 6 : Điền vào ụ trống 3.Dạng toỏn tỡm số khi biết tổng, hiệu Nhận xột: Nhiều bài toỏn về số tự nhự nhiờn, số nguyờn cú thể giải bằng cỏch căn cứ vào một số dữ kiện của bài toỏn để chọn ra một số giỏ trị của số phải tỡm,sau đú thử xẻm tường hợp nào thoả món cỏc dữ kiện cũn lại (phươg phỏp lựa chọn) VD: Tỡm số dương cú ba chữ số biết rằng số đú chia hết cho 18 và cỏc chữ số của nú nếu xắp sếp từ nhỏ đến lớn thỡ tỉ lệ với 1:2:3 Bài làm A.phõn tớch Căn cứ vào điều kiện cỏc chữ số tỉ lệ với 1:2:3 cỏc chữ số của số phải tỡm cú thể là 1,2,3 hoặc 2,4,6 hoặc 3,6,9 Số phải tỡm chia hết cho 18 suy ra nú phai đồng thời chia hết cho 2 và chia hết cho9 B.Giải 18= 2.9 ; (2;9) =1, tức chỳng nguyờn tố cựng nhau Vỡ số phải tim chia hết cho 9, Áp dụng dấu hiệu chia hết cho9 ta cú 1+2+3=6 và 2+4+6=12 Nờn cặp chữ số 1:2:3 và 2:4:6 bị loại Ta cú 3+6+9=18 chia hết cho 9 Để số phải tỡm chia hết cho 2 thỡ chữ số tận cựng phải bằng 6 Vậy số phải tim là : 396 hoặc 936 C.Khai thỏc bài toỏn Từ cỏch giải cửa bài toỏn này ta cú thể liờn hệ để giải cỏc bài toỏn sau bằng phươg phỏp lựa chọn Bài 1:Năm 1990 ,tuổi mỡnh đỳng bằng tổng cỏc chữ số của năm sinh. Hóy tớnh xem mỡnh sinh năm nào? Bài 2: Tỡm bốn số tự nhiờn liờn tiếp cú tổng bằng 5420 Bài 3: Tỡm ba số biết rằng Tổng của số thứ nhất và số thư hai bằng 56, tổng của số thứ hai và số thứ ba bằng 64, tổng của số thứ ba và số thứ tư bằng 78 Bài 4: Hai ngăn sỏch lỳc đầu cú tổng cộng 118 cuốn. Sau khi lấy đi 8 cuốn ở ngăn một, thờm 10 cuốn vào ngăn hai thỡ số sỏch ở ngăn hai gấp đụi số sỏch ở ngăn một . Tớnh số sỏch ở mỗi ngăn lỳc đầu?