Chuyên đề Góc nhìn từ bất đẳng thức cô si

góc nhìn từ bất đẳng thức cô si I. Đặt vấn đề: Chắc các bạn cho rằng lại là "Bất đẳng thức" quá quen thuộc và cũ kỹ phải không? Nhưng tôi xin nói rằng, các bạn hãy đọc đi sẽ có nhiều điều lý thú đấy,đọc rồi các bạn sé thấy được vấn đề tưởng chừng như cũ kỹ đó lại ẩn chứa rất nhiều điều mới mẻ .Đề tài được chia làm ba phần: Phần I:-Kỷ thuật côsi ngược dấu. Phần này là một cái nhìn mới cho bất đẳng thức côsi. Phần II: -Phát triển một bài toán bất đẳng thức.Phần này tôi sẽ chỉ ra những ưu điểm và hạn chế trong chứng minh bất đẳng thức "Nesbitt" và cách phát triển một bài toán BĐT. Phần III:- Vận dụng các bổ đề trong chứng minh bất đẳng thức. ở đây tôi đã lấy ba bổ đề hay sử dụng trong các kỳ thi HSG để chứng minh BĐT. 1.Lý do chọn đề tài. Bất đẳng thức là một vấn đề rất rộng và sâu,có rất nhiều tài liệu viết về nó,rất nhiều người tìm hiểu về nó.Trong hầu hết các kỳ thi HSG từ THCS đến THPT hầu như đều có các bài tập về bất đẳng thức.Học sinh chúng ta rất ham học về toán BĐT đó là một thực tế và thực tế trong các kỳ thi không phải bao giờ các em cũng đều làm được.ở chương trình toán học THCS bất đẳng thức côsi chiếm một vai trò quan trọng trong toán BĐT vì vậy tôi chọn đề tài này mục đích nâng cao khả năng chứng minh BĐT cho học sinh. 2. Đối tượng áp dụng: -Dùng làm tài liệu bồi dữơng HSG.Học sinh thi vào các trường chuyên lớp chọn. II.Nội dung. 1.Bài toán gốc: Với a1,a2,,an.Là các số thực không âm ta có. Đẳng thức xẩy ra khi Bây giờ chúng ta cùng chứng minh nó nhé. Hiển nhiên khi n=2 bất đẳng thức đúng.Giả sử bất đẳng thức đúng khi n=k (kZ)tức là. Ta cần chứng minh bất đẳng thức búng với n=k+1. Giả sử Thì đặt Thì (y0) và (do giả thiết quy nạp).Khi đó ta có: đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: a1=a2=an 2.Vận dụng bài toán gốc trong chứng minh bất đẳng thức. 2.1: Kỷ thuật côsi ngược dấu.(đây là một kỷ thuật mới trong bất đẳng thớc côsi) Bài toán 1: Cho a,b,c là các số dương thoả mãn điều kiện:a+b+c=3 Chứng minh rằng: Thoạt nhìn ta thấy quen lắm hình như đã làm Rồi phải không?bằng cách thông thường các bạn hãy cầm bút xem.Nếu sử dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi ta thấy: ! Làm sao bây giờ,rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác (kỷ thuật cô si ngược dấu) Ta có: Tương tự ta có: .Cộng vế theo vế (1),(2),(3) ta có: Vì ab+bc+ca3.Đẳng thức xẩy ra khi a=b=c=1(đpcm) . Bài toán 2: Ta lại mở rộng bài toán với 4 số thực dương a,b,c,d.Ta được bài toán mới. Đề bài: cho a,b,c,d là các số dương thoả mãn điều kiện a+b+c+d=4. Chứng minh răng: Bằng cách giảI thông thường thì chắc chắn đây là một bài toán rất khó có thể thực hiện được lời giải.Nhưng nếu sử dụng kỷ thuật cô si ngược dấu thì bài toán trở nên dễ dàng phảI không. Lời giải: Ta có: (1) Tương tự ta có: ; (3) ; Cộng vế theo vế (1),(2),(3), (4) ta có; Vì ab+bc+cd+da4.Đẳng thức xẩy ra khi a=b=c=d=1 (đpcm).Xin nói thêm "kỷ thuật cô si ngược dấu"rất hiệu quả với các bài toán bất đẳng thức hoán vị.Bằng cách này ta chứng minh được bài toán tổng quát một cách dễ dàng. Bài toán 3: Cho a,b,c,d>0; a+b+c+d=4 chứng minh rằng: Hướng dẫn: (1) Hoàn toàn tương tự ta có :(2) ; (3) ;(4) cộng vế theo vế (1) (2) (3) (4) Ta có: .Mặt khác ta dễ dàng suy ra được từ bất đẳng thức côsi: =4 =4.Do đó: Đẳng thức xẩy ra khi a=b=c=d=1(đpcm). Bài toán 4: Cho a,b,c,d>0 Chứng minh rằng: *Hướng dẫn:(1)tương tự ta xây dựng ta xây dựng ba bất đẳng thức tiếp theo rồi cộng vế theo vế ta có (đpcm) * Lời dẫn: Các bạn thấy chưa nếu áp dụng kỷ thuật côsi nghược dấu bài toán trở nên nhẹ nhàng và trong sáng hơn.Hầu hết các bài toán giảI bằng kỷ thuật này nếu các bạn giải theo cách khác sẽ rất khó có thể làm được.Nừu lam được cũng rất dài dòng.Mong các bạn sẽ nghiên cứu nó trong bồi dưỡng học sinh giỏi. *Bài tập vận dụng: Bài tập 5:Cho a,b,c,d là các số thực dương.Chứng minh bất đẳng thức. Bài tập 6:Cho a,b,c>0 ; a+b+c=3. Chứng minh rằng: Bài tập 7: Cho a,b,c,d>o ; a+b+c+d=4. Chứng minh rằng: Bằng cách tương tự các bạn phát triển bài tập bảy lên cho bài toán tổng quát. Bài tập 8: Cho a,b,c,d>0 ; a+b+c+d=4 Chứng minh rằng: . 2.2. Vận dụng bất đẳng thức côsi vào trong chứng minh bất đẳng thức netbitt. Bài toán 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta có: (bất đẳng thức netbitt 3 biến) Bài toán này rất quen thuộc phải không.Nó có rất nhiều cách giải ,sau đây tôI xin trình bày một số cách để chúng ta dễ so sánh,xem cách nào tối ưu nhất,rõ ràng nhất. Cách1: (*) đúng vậy: (đpcm) Cách 2: áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: Cách 3:Ap dụng bất đẳng thức côsi mở rộng: Ta có: Tất nhiên còn có những cách khác nữa,đây tôi muốn đưa một số cách để các bạn tham khảo và so sánh.Nếu dùng những cách trên mà phát triển bài toán lên 4 biến,5 biến hay nhiều biến thì việc giải sẽ gặp rất nhiều khó khăn.Sau đây tôi xin trình bày một cách giải mà theo tôi nghĩ là rõ ràng và tường minh nhất.Nó giải quyết gọn gàng bài toán tổng quát netbitt. Xin viết lại đề để các bạn tiện theo dõi. Cho a,b,c là các số thực không âm.Chứng minh rằng: (bất đẳng thức netbitt 3 biến).Xét các biểu thức sau: áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số dương ta có: Cộng vế theo vế (1),(2) ta có: kết hợp với (3) ta có Bài toán 2: Bất đẳng thức( netbitt) bốn biến: Đề bài: Cho a,b,c,d là các số thực không âm.Chứng minh rằng: Lời giải: Xét các biểu thức: Từ đó ta có: Mặt khác từ (1),(2) ta có(đpcm). đẳng thức xẩy ra khi a=b=c=d. Bằng cách tương tự chúng ta sẽ giải quyết bài toán netbitt cho nhiều biến một cách dễ dàng phải không? 2.3.áp dụng bổ đề trong chứng minh bất đẳng thức. Từ bất đẳng thức côsi ta dễ dàng chứng minh được các bổ đề sau: Cho x1,x2,x3,,xn là các số dương. 1. Đẳng thức xẩy ra khi x1=x2 2. Đẳng thức xẩy ra khi x1=x2=x3 3. Đẳng thức xẩy ra khi x1=x2==xn Ta chứng minh bổ đề tổng quát: áp dụng bất đẳng thức côsi cho n số dương ta có: (1) (2) Nhân vế theo vế của (1),(2) ta có: Đẳng thức xây ra khi x1=x2==xn 4.Bổ đề 4: (x, y là các số dương) Chứng minh: Ta có (đpcm).đẳng thức xẩy ra khi x=y Trong chương trình toán BĐT ở THCS thì các bổ đề đó cực kỳ quan trọn,gần gũi nó không mang tính xa vời và hàn lâm.Ngược lại chúng rất hiệu quả trong việc giải toán bất đẳng thức,bây giờ chúng ta cùng bắt đầu vấn đề nhé. Bài toán 1: Cho a>0, b>0, a+b=1. Chứng minh rằng: Lời giải: áp dụng bổ đề. Và ta có: đẳng thức xẩy ra khi a=b= Bài toán 2. Cho a,b>0 ; a+b=1 .Chứng minh rằng: áp dụng bổ đề. Và Ta có (đpcm). Đẳng thức xẩy ra khi a=b= *Bằng cách tương tự ta xây dựng bài toán tổng quát: Bài toán 3. Cho a>0, b>0 ; a+b=1 . Chứng minh rằng: áp dụng bổ đề. Và ta có: (đpcm). Đẳng thức xẩy ra khi a=b= Bài toán 4. Chứng minh rằng: áp dụng bổ đề: ta có: (đpcm). Từ bài toán 4,ta có bài toán tổng quát sau: Bài toán 5. Cho chứng minh rằng: áp dụng bổ đề: ta có: Bài toán 6. Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thoả mãn: ab+bc+ca=abc thì: ( Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên toán tin ĐH Vinh 2002-2003). Giải. Từ bổ đề: (*) áp dụng (*) ta có: Đẳng thức xẩy ra khi a+c = 2(b+c);a=c ; b=cmâu thuẩn với giả thiết do đó đẳng thức không xẩy ra nên: (1) Tương tự ta có: Cộng vế theo vế (1),(2),(3) ta có: (đpcm). Bài toán 7.Cho x1,x2,x3>0 và khi thay đổi thứ tự vị trí của 3 số trên ta được: xi1; xi2 ; xi3 chứng minh rằng: Ta có: Mặt khác: Từ (1); (2) suy ra: (đpcm). Từ bài toán 7 ta xây dưng bài toán sau. Bài toán 8. Cho x1,x2,,xn > 0 và khi thay đổi thứ tự vị trí của n số trên ta được: xi1; xi2 ; xin chứng minh rằng: Cách giải bài toán này tương tự bài toán 7 (dành cho các bạn đấy). *Bài tập áp dụng: Bài toán 9.