Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số

Chuyên đềGiá trị cực trị của hàm số dungTóm tắt lý thuyết Ví dụ minh hoạ Bài tập tự giải tắt lý thuyếtCho hàm số y = f(x), nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số và M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số.Đối với hàm bậc ba: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có 2 điểm cực trị x1; x2. Để tính giá trị cực trị của hàm số ta có thể thực hiện theo cách sau:Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f’(x)f(x) = f’(x) (mx + n) + Ax + B (trong đó mx + n là thương của phép chia và Ax + B là số dư của phép chia)Vì f’(x1) = f’(x2) = 0 nênf(x1) = Ax1 + Bf(x2) = Ax2 + BGiá trị cực trị của hàm số với hàm hữu tỉ . Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 với v’(x0)  0 thì Vậy giá trị cực trị của hàm số là Giá trị cực trị của hàm số dụ minh hoạ - Ví dụ 1Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách 2 điểm cực trị không đổi. Lời giảiGiá trị cực trị của hàm số dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 2Cho hàm số . Giá trị nào của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng : x + 2y – 3 = 0. Lời giải Để hàm số có cực đại, cực tiểu  f(x) = mx2 – 2x + m = 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt khác Giá trị cực trị của hàm số dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt)Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên:Tọa độ hai điểm cực trị (x1; y1) ; (x2; y2) thỏa mãn phương trình:Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là Giá trị cực trị của hàm số dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt)Để đường thẳng qua 2 điểm cực trị vuông góc với (không thỏa mãn)Vậy không tồn tại m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc vớiChú ý: Cho 2 đường thẳng d1: y = a1x + b1 d2: y = a2x + b2d1 vuông góc với d2  a1.a2 = -1d1 song song với d2  a1 = a2 và b1 ≠ b2Giá trị cực trị của hàm số dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 3Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m. Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : x – 2y – 5 = 0Lời giảiTa có y’ = 3x2 – 6x + m2 = 0Hàm số có cực đại, cực tiểuGọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị  y’ (x1) = y’ (x2) = 0 và theo Vi-ét ta cóLấy y chia cho y’ ta được Giá trị cực trị của hàm số dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt)Vì tọa độ (x1; y1) ; (x2; y2) luôn thỏa mãn phương trình Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là Để 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng  thì d vuông góc với  và khoảng cách từ (x1; y1) ; (x2; y2) đến  là bằng nhau Giá trị cực trị của hàm số dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt)Vậy m = 0 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : x – 2y – 5 = 0Chú ý: Cho điểm M(x0, y0) và đường thẳng : Ax + By + C = 0Giá trị cực trị của hàm số dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 4 Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 3x – 1. Xác định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox Lời giải Ta có y’ = 3mx2 – 6mx + 3. Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  g(x) = mx2 – 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt Lấy y chia cho g(x) ta được: y = (x - 1).g(x) + (2 - 2m)xGọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số Giá trị cực trị của hàm số dụ minh hoạ - Ví dụ 4 (tt) Để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox Từ (1) và (2)  m 0 (1) 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là ABC đều  AB2 = AC2 = BC2 Giá trị cực trị của hàm số dụ minh hoạ - Ví dụ 5 (tt)Từ (1) và (2) thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác đều. Giá trị cực trị của hàm số tập tự giảiBài 1: (HVQHQT Khối D – 2001) cho hàm sốChứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất. Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.Bài 3: (HVQHQT – 97) Xác định m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 – x + 2m + m4 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều. Giá trị cực trị của hàm số tập tự giải (tt)Bài 4: Chứng minh rằng nếu hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thì: |y(x1) – y(x2)| = 4|x1 – x2|Bài 5: (ĐHQG Khối A – 99) cho hàm số a) Xác định m để hàm số có cực trịb) Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất Bài 6: (ĐHSP I Khối A –2000) Cho hàm số Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau. Giá trị cực trị của hàm số tập tự giải (tt)Bài 7: Cho hàm số Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu thỏa mãn |yCĐ - yCT| = 4Bài 8: Cho hàm số Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía đối với trục Ox. Giá trị cực trị của hàm số