Chuyên đề Đại số 11: Nhị thức Niu-Tơn

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 11NHỊ THỨC NIU-TƠN***Phan Minh Mẫn 11/1Hãy khai triển các hằng đẳng thức sau: (a+b)2 và (a+b)3 (a+b)2= a2+2ab+b2 (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3KIỂM TRA BÀI CŨTại sao lại có kết quả như vậy?  Giải thích: Ta có thể thấy rằng Các hệ số khai triển (a+b)2 theo thứ tự từ trái sang phải là 1= ; 2= ; 1= tức là (a+b)2= a2 + ab + b2.Vì áp dụng công thức với k {0;1;2} & n=2 Tương tự (a+b)3= a3 + a2b + ab2 + b3 Vậy các bạn có biết (a+b)4, (a+b)5, hay (a+b)n khai triển như thế nào không?Nhìn lại 2 hằng đẳng thức: (a+b)2 & (a+b)3À! Hãy nghĩ đến một công thức tổng quát đi nào.Vì vậy người ta có thể tổng quát thành công thức gọi là Nhị thức Niu-tơn như sau:(a+b)n = an + an-1b++ an-kbk ++ bn = an-kbk (quy ước a0 = b0 = 1). Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0 Chú ý:Trong biểu thức ở vế phải của công thức- Số các hạng tử là n + 1Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhauSố mũ của b tăng dần từ 0 đến nTổng số mũ của a & b trong mỗi hạng tử luôn bằng n Quy ước a0=b0=1.(a+b)n = an + an-1b++ an-kbk ++ bn = an-kbk (quy ước a0 = b0 = 1).Từ công thức: khi cho n = 0, 1, 2, 3,và sắp xếp các hệ số thành dòng, ta có:11 + 11 + 2 + 11 + 3 + 3 + 11 + 4 + 6 + 4 + 111 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1Xếp các hệ số thành dòng ta nhận được một tam giác gọi là tam giác Pa - CanCách tính: Sử dụng hằng thức Pascal để tính các số ở từng dòng nhờ số đã có ở dòng trước đó.Ví dụ: Số hạng thứ 3 khi n=5Dạng 1: Khai triển hằng đẳng thức Cách giải: Áp dụng công thức Nhị thức Niu-tơn Ví dụ: khai triển: (2a-b)5(2a-b)5= (2a)5 - (2a)4b+ (2a)3b2 - (2a)2b3+ (2a)1b4- b5. = 32a5- 80a4b+ 80a3b2- 40a2b3+ 10ab4- b5.MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶPBÀI TẬPDạng 2: Tìm hệ số của số hạng thứ m trong khai triển (a+b)nCách giải: áp dụng công thức tổng quátLúc này, k= m-1, thay vào công thức ta sẽ có hệ số cần tìm.Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng thứ 5 trong khai triển (a+1)7 Tk+1= Theo đề bài ta có k=5-1=4, n=7 =>thay vào công thức ta được: Vậy hệ số cần tìm là: =35 GiảiDạng 3: Tìm hệ số của axby trong khai triển (a+b)x+y.Cách giải: áp dụng công thức tổng quát của Nhị thức Niu-tơnTheo công thức ta có k=y, nên => hệ số cần tìm là: Ví dụ: Tìm hệ số của a12b13 trong khai triển (a+b)25GiảiTheo công thức ta có: k=13 => hệ số cần tìm là:Dạng 4: Tìm hệ số của số hạng không chứa a trong khai triển Giải Tìm hệ số không chứa a tức là ta có: an-k.bk=1  an-ka-k=1  an-2k=1  n-2k=0 n=2k. Vậy hệ số không chứa a là Ví dụ: Tìm hệ số không chứa a trong khai triển GiảiThay vào công thức có: Tìm hệ số không chứa a nên ta có: 20-5k=0  k=4 => Hệ số cần tìm của số hạng thứ 5 là:D Câu 1:Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển Củng cố kiến thứcVì số hạng không chứa x nên:Giải: Ta có Tk+1=612015ABCKết quả: DCâu 2:Tìm hệ số của x9 trong khai triển (2-x)19DABC-94595072 94950722-94595082 94595072Giải: Kết quả là ACâu 3: Tìm hệ số của x9 sau khi khai triển và rút gọn đa thức là:(1+x)9 + (1+x)10 + (1+x)11 + + (1+x)14.CDAB3001300430023003GiảiHệ số x9 của: (1+x)9 là 1 (1+x)10 là (1+x)14 là Hệ số x9 của đa thức là: 1+ ++ =3003Đáp án là CTHE END