Chuyên đề Bất đẳng thức

Chuyên đề Bất đẳng thức I. Mục đích yêu cầu - Cần nắm được 3 dạng Toán cơ bản : 1. Chứng minh bất đẳng thức. 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số. 3. Giải các bất phương trình quy về bất phương trình bậc nhất. - Biết áp dụng các dạng Toán trên vào các bài tập liên quan : Phương trình bậc hai, hệ phương trình có tham số, các bài tập rút gọn, … II. Kiến thức cần chú ý Trang 19 - 20 (Tài liệu ôn tập) 1. Cần nhớ và vận dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. - Với mọi số thực a, b, c ta có : - Với mọi số thực a, b, c, d ta có : - Với mọi số thực a, b, c, nếu c > 0 thì nếu c < 0 thì - Cho a, b là hai số thực, ta có : Nếu thì - Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A cho bởi : Ta có : - Bất đẳng thức Côsi : Cho a, b là hai số thực không ầm, ta có . Có đẳng thức khi và chỉ khi a = b. 2. Cho biểu thức P = P(x) phụ thuộc biến x. Để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của P, trước hết cần dự đoán giá trị đó (chỉ ra x = a và giá trị P(a) của P tại a). Sau đó vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh rằng : (tương ứng , với mọi x). 3. Với một số dạng bất phương trình một ẩn, có thể vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi tương đương, đưa về bất phương trình bậc nhất dạng : hoặc - Với a > 0, có nghiệm là có nghiệm là - Với a < 0, có nghiệm là có nghiệm là III. Các ví dụ 1. Bài toán chứng minh bất đẳng thức : Ví dụ 1 (Trang 20 - Tài liệu ôn tập) Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng : ? Giải : Theo giả thiết Mặt khác, ta có : Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên, ta được : Ví dụ 2 (Trang 20 - Tài liệu ôn tập) Cho a, b là hai số thực không âm. Chứng minh rằng : ? Giải : Ta biến đổi tương đương : Bất đẳng thức cuối cùng là đúng. Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. Ví dụ 3 ( Đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh năm học 1998 - 1999) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ? Giải : Ta có : với m => > 0 với m => Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất : Ví dụ 4 (Trang 21 - Tài liệu ôn tập) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ? Giải : Ta có : với mọi x, y. Với y = 1 và x = - 2, ta có P = - 4. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = - 4 tại x = - 2 và y = 1. Ví dụ 5 (Đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh năm học 2001 - 2002) Cho a/ Rút gọn M ? b/ Tìn x để M đạt giá trị nhỏ nhất ? Giải : a/ Rút gọn ta có : b/ Ta có : M nhỏ nhất khi lớn nhất Mà nên lớn nhất khi nhỏ nhất ú khi x = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 1 khi x = 0 3. Giải bất phương trình : Ví dụ 5 (Trang 21 - Tài liệu ôn thi) Giải các bất phương trình : a/ b/ c/ Giải : a/ Vậy nghiệm của bất phương trình là b/ Vậy nghiệm của bất phương trình là c/ Vậy nghiệm của bất phương trình là Ví dụ 6 (Đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh năm học 2001 - 2002) a/ Chứng minh rằng : với b/ Tìm a để A < 0 ? Ta có : Kết hợp với ĐKXĐ : 0 < a < 1 Vậy với 0 < a < 1 thì A < 0 Ví dụ 7 (Đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh năm học 2003 - 2004) Cho phương trình bậc 2 ẩn x, m là tham số : Tìm m để phương trình có nghiệm ? Giải : Ta có : Phương trình có nghiệm Vậy với thì phương trình có nghiệm. IV. Các bài tập 1. Bài tập trong Tài liệu ôn tập : 2. Bài tập trong các đề thi Bắc Ninh gần đây : Bài 1 (Bắc Ninh năm 1997 - 1998) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : a/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m ? b/ Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1, x2. Hãy tìm m để : Bài 2 (Bắc Ninh năm 1998 - 1999) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ? b/ Hãy tìm m để phương trình (1) có một nghiệm , khi đó hãy tìm nghiệm của phương trình đó ? Bài 3 (Bắc Ninh năm 1999 - 2000) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m la tham số : a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm ? b/ Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) không thể có hai nghiệm ? c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 - 2x2 = 5 ? Bài 4 (Bắc Ninh năm 1999 - 2000) Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số) : a/ Giải các phương trình (1) và (2) trong trường hợp a = - 1 ? b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai phương trình trên luôn có ít nhất một trong hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ? Bài 5 (Bắc Ninh năm 2000 - 2001) Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) : a/ Giải phương trình khi m = n = 1 ? b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phương trình luôn có nghiệm ? c/ Tìm m, n để phương trình đã cho tương đương với phương trình ? Bài 6 (Bắc Ninh năm 2001 - 2002) Cho a/ Rút gọn M ? b/ Tìn x để M đạt giá trị nhỏ nhất ? Bài 7 (Bắc Ninh năm 2001 - 2002) Cho phương trình : a/ Giải phương trình khi ? b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm ? Bài 8 (Bắc Ninh năm 2001 - 2002) a/ Chứng minh rằng : với b/ Tìm a để A < 0 ? Bài 9 (Bắc Ninh 2001 - 2002) Cho phương trình bậc hai : a/ Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ? b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn (Trong đó x1; x2 là hai nghiệm của phương trình) ? Bài 10 (Bắc Ninh năm 2002 - 2003) Cho hệ phương trình : a/ Giải hệ với m = 6 ? b/ Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x = 3y ? c/ Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn xy > 0 ? Bài 11 (Bắc Ninh năm 2002 - 2003) Cho hai phương trình : a/ Giải hai phương trình trên với m = -3 ? b/ Tìm các giá trị của m để hai phương trình trên có nghiệm chung ? c/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm ? Bài 12 (Bắc Ninh năm 2003 - 2004) Cho hệ phương trình : a/ Giải hệ phương trình với m = 2 ? b/ Tính các giá trị của x, y theo m và từ đó tìm các giá trị của m để S = x + y đạt giá trị nhỏ nhất ? Bài 13 (Bắc Ninh năm 2003 - 2004) 1.Tìm số nguyên a để phương trình có nghiệm ? 2. Cho hàm số : y = (m - 2)x + m + 3 (d) (m là tham số) a/ Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến ? b/ Tìm giá trị của m để đồ thị (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 ? c/ Tìm m để đồ thị các hàm số y = - x + 2; y = 2x - 1 và (d) đồng quy ? Bài 14 (Đề thi vào Chuyên Bắc Ninh năm 2003 - 2004) Cho biểu thức : a/ Rút gọn A ? b/ Tính giá trị của A với ? c/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của x thuộc tập xác định ? 2. Cho hai đường thẳng : y = 2x + m - 1 (d) và x + 2y - 1 = 0 (d’) và parabol (P) a/ Tìm các giá trị của m để (d) tiếp xúc với (P) ? b/ Tìm các giá trị của m để (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm nằm trên (P) ? Bài 15 (Đề thi tuyển sinh vào trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh năm 2003 - 2004) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm ? b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình (1) không thể có hai nghiệm cùng âm ? c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 - 2x2 = 5 ? Bài 16 (Bắc Ninh năm 2004 - 2005) 1. Cho phương trình : a/ Giải phương trình với m = 2 ? b/ Tìm m để phương trình có nghiệm kép ? vô nghiệm ? có hai nghiệm phân biệt ? 2. Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức M ? b/ Tìm các giá trị của a để M < -1 ? c/ Tìm các giá trị nguyên của a để M nguyên ? 3. a/ Cho và . Chứng minh : b/ Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của : Bài 17 (Bắc Ninh năm 2004 - 2005) Cho hàm số : a/ Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến ? b/Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3? c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số : cùng đi qua một điểm ? Bài 18 (Bắc Ninh năm 2004 - 2005) 1. Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa : ? 2. Cho biểu thức : a/ Rút gọn biểu thức M ? b/ Tìm các giá trị của a để M < -1 ? c/ Tìm các giá trị nguyên của a để M nguyên ? Bài 19 (Bắc Ninh năm 2004 - 2005) Tìm điều kiện của M để biểu thức sau có nghĩa : ? Bài 20 (Bắc Ninh năm 2005 - 2006) 1. Cho biểu thức : a/ Rút gọn N ? b/ Với điều kiện nào của x, y thì N < 0 ? 2. Cho hệ phương trình : (a là tham số) a/ Giải hệ phương trình với a = 1 ? b/ Giải hệ phương trình với ? c/ Tìm a để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x + y < 0 ? Bài 21 (Bắc Ninh năm 2005 - 2006) 1. Cho biểu thức : a/ Rút gọn M ? b/ Với điều kiện nào của a thì M > 0 ? 2. Cho phương trình : (m là tham số) (1) a/ Giải phương trình (1) với m = 1 ? b/ Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ? c/ Với x1; x2 là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức : A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) Bài 22 (Chuyên Bắc Ninh năm 2005 - 2006) 1. Xét biểu thức : a/ Rút gọn B ? b/ So sánh B với 1 ? 2. Cho phương trình có ẩn x (m là tham số) : a/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1; x2 với mọi m ? Tính nghiệm kép của phương trình (nếu có) và giá trị m tương ứng ? b/ Đặt b1/ Chứng minh : ? b2/ Tìm m sao cho A = 8 ? b3/ Tính giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng ? Bài 23 (Bắc Ninh năm 2006 - 2007) Cho phương trình (ẩn x) : a/ Giải phương trình (1) khi m = -1 ? b/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ? c/ Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương ? Bài 24 (Bắc Ninh năm 2007 - 2008) 1. Cho biểu thức : với a/ Rút gọn biểu thức M ? b/ Tính M biết ? c/ Tìm x để ? 2. Cho phương trình bậc hai : (x là ẩn) (1) a/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ? b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm m để x1 + 2x2 = - 2 ? Bài 25 (Bắc Ninh năm 2007 - 2008) Tìm m để hàm số y = (1- m)x2 luôn nghịch biến ? Bài 26 (Chuyên Bắc Ninh năm 2007 - 2008) Với x, y là nghiệm nguyên của phương trình 4x + 5y = 7. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 5|x| - 3 |y| ? Bài 27 (Bắc Ninh năm 2007 - 2008) Tìm m để phương trình : x2 – 2x + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt ? Bài 28 (Chuyên Bắc Ninh năm 2008 - 2009) Cho phương trình : a/ Tìm m để phương trình (*) có nghiệm kép ? b/ Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương ? Bài 29 (Bắc Ninh năm 2009 - 2010) 1.Cho biểu thức : với a/ Rút gọn biểu thức A ? b/ Tìm x để A < 2 ? c/ Tìm x nguyên để A nguyên ? 2. Cho phương trình : (1) (m là tham số) a/ Giải phương trình (1) với m = 3 ? b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : ?