Các định nghĩa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt
phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như :
. Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì ? AB
JJJG
+ BC
JJJG
= AC
JJJG
. Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2
cạnh là 2 vectơ đã cho.
3 trang |
Chia sẻ: quynhsim | Lượt xem: 370 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề 8: Vectơ trong không gian, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHUYÊN ĐỀ 8
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Các định nghĩa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt
phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như :
. Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì ∀ ABJJJG + BCJJJG = ACJJJG
. Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2
cạnh là 2 vectơ đã cho.
. I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có:
MI =
JJJG
2
MA MB+JJJJG JJJJG
. G là trọng tâm của ΔABC ⇔ GAJJJG + GBJJJG + GCJJJG = 0G .
Ngoài ra ta còn có :
. Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm
trong một mặt phẳng .
0
G
. Bất kỳ vectơ a 0 nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong
không gian, đều có thể phân tích theo
G ≠ G 1eG 2eG
1e
G
, 2e
G
có nghĩa:
a = G α 1eG + β 2eG (α ,β ∈ R)
và sự phân tích trên là duy nhất .
. Bất kỳ vectơ a nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ
không đồng phẳng , , có nghĩa :
G ≠ 0G
1e
G G G
2e 3e
a = + βG α 1eG 2eG + γ 3eG (α ,β , γ ∈ R)
. G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD
+ + GC + ⇔ GAJJJG GBJJJG JJJG GDJJJG = 0G
Ghi chú :
1) Nếu một trong 3 vectơ , aG b
G
, cG là 0G thì chúng đồng phẳng.
2) a , b , c đồng phẳng ⇔ G G G , . 0a b c⎡ ⎤ =⎣ ⎦
G G G
1
3) OA , OB , đồng phẳng
JJJG JJJG
OC
JJJG ⇔ O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng.
Ví dụ 1:
Cho một hình lăng trụ ABCA′ B′ C′ . Gọi I, I′ lần lượt là trọng tâm của ΔABC và
Δ A′ B′ C′ , O là trung điểm của I I′ .
a) Chứng minh rằng
+ + OBOA
JJJG
OA′JJJJG JJJG + OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G
b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABCC′ và M là trung điểm của A′ B′ . Chứng
minh rằng O, M, G thẳng hàng.
c) Tính tỉ số OM
OG
JJJJG
JJJG
Giải
a) + OA + + OA
JJJG ′JJJJG OBJJJG OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G
I là trọng tâm của ABC ⇒ Δ IAJJG + IBJJG + ICJJG = 0G
( + ) + ( IO + OB ) + (⇒ IOJJG OAJJJG JJG JJJG IOJJG + OCJJJG ) = 0G
OA + + OC = 3OI ⇒ JJJG OBJJJG JJJG JJG
Tương tự, là trọng tâm của I′ Δ A′ B′ C′
OA + + OC = 3OI⇒ ′JJJJG OB′JJJJG ′JJJJG ′JJJG
Vậy OA +
JJJG
OA′JJJJG + OB + JJJG OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG =
= 3OI
JJG
+ 3OI′JJJG = 3(OIJJG + OI′JJJG )
= 0
G
(vì 0 là trung điểm I I′ )
b) O, M, G thẳng hàng
G là trọng tâm của tứ diện ABCC′
⇒ GA + + GC + JJJG GBJJJG JJJG GC′JJJJG = 0G
⇒ ( + OA ) + (GO + ) + (GOJJJG JJJG JJJG OBJJJG GOJJJG + OCJJJG ) + (GOJJJG + OC′JJJJG ) = 0 G
⇒ OA + + OC + OCJJJG OBJJJG JJJG ′JJJJG = 4OGJJJG
M là trung điểm của A B′ ′
⇒ OA + = 2OM ′JJJJG OB′JJJJG JJJJG
⇒ OA + + OC + OCJJJG OBJJJG JJJG ′JJJJG + OA′JJJJG + OB′JJJJG = 4OGJJJG + 2OMJJJJG
2
⇒ 0 = 4 + 2OM G OGJJJG JJJJG
⇒ OM = –2 JJJJG OGJJJG
⇒ OM cùng phương với OGJJJJG JJJG
⇒ OM , OG cùng giá (vì cùng gốc O) JJJJG JJJG
⇒ O, M, G thẳng hàng.
c) Tỉ số
JJJJG
JJJGOM
OG
OM
JJJJG
= –2 OG
JJJG ⇒ OM
OG
JJJJG
JJJG = –2
Ví dụ 2:
Cho hình hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ với AA′JJJJG = aG , ABJJJG = bG , /ACJJJJG = . Hãy biểu thị các
vectơ
cG
AD
JJJG
, AC′JJJJG JJJJG JJJJG, , theo các vectơ aB D′ BD′ G , bG , cG .
Giải
Ta có với hình hộp ABCD. A′ B′ C′ D′ thì :
AD
JJJG
= AC′JJJJG + /C D′JJJJJG + D D′JJJJG
= cG – b
G
– aG
AC′JJJJG = A A′JJJJG + /ACJJJJG + /C CJJJJG
AC′JJJJG = –2aG + cG
B D′JJJJG = B B′JJJJG + BAJJJG + ADJJJG
= – aG –b
G
+ cG – – b
G
aG
= – 2aG – 2b
G
+ cG
BD′JJJJG = BAJJJG + ADJJJG + DD′JJJJG
= –b
G
+ ( cG – – a ) + b
G G aG
= – 2b
G
+ cG
* * *
D′ A
B′
′
cG
B C
D A
a
C′
G
b
G
3
File đính kèm:
- vectotrongkhonggian.pdf